Курсовая работа по термеху 2курс4вар
.pdf
Напишем дифференциальные уравнения движения каждого из этих трех тел,
для чего отделим их друг от друга, разрезав соединительные нити.
На колесо 1 механизма действуют сила тяжести G1 , движущий момент М,
составляющие реакции опоры (YA и Z A ), сила натяжения нити T2 .
На колесо 2 действуют сила тяжести G2 , составляющие реакции опоры (YB и
Z B ), силы натяжения нитей (T1 и T2 ), момент сопротивления МС.
На груз 3 действуют сила тяжести G3 , сила натяжения нити T1 .
Очевидно, что T1 T1 и T2 T2 .
Составим дифференциальное уравнение вращения колеса 1 вокруг оси х1:
J x 1 М T2 R1 |
(1) |
1
Составим дифференциальное уравнение вращения колеса 2 вокруг оси х2:
J x2 2 T2 R2 T1r2 M C |
(2) |
Составим дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:
m3 z3 T1 G3 |
|
|
|
|
(3) |
|||
Колеса 1 и 2 связаны нитью, значит 1 R1 2 R2 |
||||||||
|
R1 |
|
|
0,2 |
|
|
|
|
Отсюда 2 1 R2 |
1 0,5 |
|||||||
0,4 1 , а значит 2 |
0,4 |
|||||||
Скорость груза 3: |
|
|
|
|
|
|||
v3 2 r2 0,4 1 0,3 0,12 1 |
, а значит z3 0,12 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Моменты инерции колес 1 и 2:
J x1 |
m R2 |
|
100 0,2 |
2 |
2 |
|
2 |
1 1 |
|
|
кг·м |
|
|||
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
J x2 m2i22x |
250 0,42 |
40 кг·м2 |
|
|
|
|
|
||
Из уравнения (3): |
|
|
|
|
|
|
|
||
T1 m3 z3 G3 300 0,12 1 300 9,8 36 1 2940 |
|
|
(4) |
|
|||||
Из уравнения (2), с учетом того, что T1 T1 и T2 |
T2 : |
|
|
||||||
T2 |
J x 2 |
T1r2 M C |
|
40 0,4 |
(36 2940) 0,3 1400 |
53,61 |
4564 |
(5) |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R2 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим известные в уравнение (1):
2 1 1000 40t (53,6 1 4564) 0,2
2 1 1000 40t 10,72 1 912,8
12,72 1 87,2 40t
1 3,15t 6,86
Дважды интегрируем:
1 1,575t 2 6,86t C1
1 0,525t 3 3,43t 2 C1t C2
Используем начальные условия: при t0 0 10 0 и 10 10 1,5 рад/с
Тогда
C1 10 1,575t02 6,86t0 1,5 1,575 02 6,86 0 1,5 рад/с
C2 10 0,525t03 3,43t02 C1t0 0 0,525 03 3,43 02 1,5 0 0
Уравнение угловой скорости колеса 1 принимает вид:
1 1,575t 2 6,86t 1,5 (рад/с)
Уравнение вращательного движения колеса 1 принимает вид:
1 0,525t 3 3,43t 2 1,5t (рад)
Для момента t1 2 с:
1 3,15t1 6,86 3,15 2 6,86 13,16 (рад/с2)
Натяжения нитей определим из выражений (4) и (5):
T1 36 1 2940 36 1,5 2940 2994 (Н)
T2 53,6 1 4564 53,6 1,5 4564 4644,4 (Н)
Ответ: 1 0,525t 3 3,43t 2 1,5t (рад), T1 2994 Н, T2 4644,4 Н
6. Применение общего уравнения динамики и уравнения
Лагранжа второго рода для исследования движения механи-
ческой системы.
6.1 Основные сведения из теории: принцип возможных перемещений;
принцип Даламбера; общее уравнение динамики; кинетическая энергия механической системы; уравнение Лагранжа второго рода.
6.2Задача Д6 из (3).
Дано: m2= 2m1, m3= m1/3
Найти: ускорение груза 1
РЕШЕНИЕ:
Рассматриваемая система имеет одну степень свободы ( s 1 ) и может быть описана одним уравнением Лагранжа второго рода:
d T T Q dt q q
В качестве обобщенной координаты q выберем перемещение x1 груза 1, т.е. q x1 . Тогда обобщенная скорость q x1 v1 .
Кинетическая энергия системы:
T T1 T2 T3
Для груза 1: |
T1 |
|
m v2 |
||||
|
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Для блока 2: |
T2 |
|
J 2 |
||||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
||
|
m v2 |
J 2 |
|
Для колеса 3: T |
3 C |
|
3 3 |
|
|
||
3 |
2 |
|
2 |
|
|
||
Кинематические связи:
2 v1 r2
v |
|
v |
v |
|
|
r |
|
v1 |
|
r |
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
C |
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
2r3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Моменты инерции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
J 2 |
|
m r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J3 |
m r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m r 2 v |
2 |
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
2 |
|
|
|
m r 2 |
|
|
|
v |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
m2 |
|
m3 |
|
m3 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
T |
|
m1v1 |
|
|
|
2 r2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2r3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
v1 |
|
mпр v1 |
, |
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
8 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где приведенная масса системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
m |
m2 |
|
|
m3 |
|
|
m3 |
|
m |
2m1 |
|
|
m1 |
|
|
m1 |
|
2,13m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пр |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
T |
|
|
T |
|
0 |
|
(кинетическая |
|
энергия |
явно |
|
от |
|
выбранной |
|
обобщенной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
координаты не зависит)
T T mпр v1q v1
d T mпр a1 dt q
Полученная полная производная по времени дает левую часть уравнения Лагранжа.
Обобщенную силу Q , входящую в правую часть уравнения Лагранжа, определим через возможную мощность.
Придадим грузу 1 возможную скорость v1 и найдем мощность действующих активных сил системы (рассматриваем ненулевые мощности):
N NG1 NG2
NG1 m1gv1
NG3 m3 g sin 30 vC m3 g sin 30 v21
Тогда
|
v |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
N m gv m g sin 30 |
1 |
m g m g sin 30 |
|
|
v |
F v , |
|||
|
|
||||||||
1 1 3 |
2 |
|
1 |
3 |
|
2 |
1 |
пр 1 |
|
где приведенная сила
Fпр m1g m3 g sin 30 12 m1 9,8 m31 9,8 0,5 12 8,98m1
Для системы с одной степенью свободы возможная мощность это произведение обобщенной силы на обобщенную скорость:
N Qq
Сравнивая полученные два соотношения для определения мощности получаем:
Q Fпр
В итоге уравнение Лагранжа принимает вид:
mпр a1 Fпр
2,13m1a1 8,98m1
Откуда
a1 8,98m1 4,22 (м/с2) 2,13m1
Литература:
1.Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. – М: Высшая школа, 2008. -382 стр.,2002, 2000.
2.Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий:
Учебное пособие –С-П 2007.-192с., 2009.
3.А.А. Ратничкин, Г.В. Ставер, М.А. Лобановский. Теоретическая механика,
Сборник заданий для курсовых, контрольных и расчетно-графических работ и методические указания к их решению.-Новосиб. гос. акад. водн. трансп.-
Новосибирск, 2014.
4.О.И. Гардеев, В.В. Дегтярева, А.А. Ратничкин, А.Я. Ройтман, Г.В.Ставер.
Введение в курс теоретической механики: учебное пособие 2-е/
Новосибирская государственная академия водного транспорта. 2005.- 275с.
5.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Учебник для ВТУзов. 12изд., М.: Высшая школа, 2001.- 416с.
6.Кононенко А.Ю. Методические указания по оформлению курсовой работы по теоретической механики. Новосибирск: НГАВТ, 2008.