Литература и лекции / Векторы
.pdf
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|||||
+ aybx ¢ j £ i + ayby ¢ j £ j + aybz ¢ j £ k + |
||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|{z} |
+ |
|
k|{z} |
+ |
|
|
| |
|
|
{z |
|
|
} |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
=¡k |
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a b |
|
~ |
|
~ |
|
a b |
~ |
|
|
|
~ |
|
a b |
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|||
|
x ¢ |
k |
£ |
i |
|
y ¢ £ |
j |
|
z ¢ |
k |
£ |
|
k |
|
||||||||||||
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|{z} |
|
|
| |
=¡ |
|
|
|
|
|
| |
|
{z |
|
} |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
{z } |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
=j |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
= (aybz ¡ azby) ¢ i ¡ (axbz ¡ |
|||||||
= |
¯ by |
bz |
¯ |
¢~i ¡ |
¯ bx |
||
|
¯ |
ay |
az |
¯ |
|
¯ |
ax |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
~
azbx¯) ¢ j az ¯¯ ~ bz ¯ ¢ j
|
|
|
|
|
~ |
+ (axby ¡ aybx) ¢ k = |
|||||
+ |
¯ bx |
by |
¯ |
¢ ~k : |
|
|
¯ |
ax |
ay |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
Доказательство закончено. Определение
~ |
~ |
Смешанным произведением векторов ~a ; b ; ~c |
называется число ~a £ b ¢ ~c : |
Обозначение:
Замечание
~ ~
~a £ b ¢ ~c = ~a b~c :
Операции скалярного и векторного умножения имеют равный приоритет, поэтому раньше выполняется та из них, которая раньше выписана.
В данном случае, первой в выражении присутствует операция векторного умножения, она и выполняется первой.
Замечание
Модуль смешанного произведения тр¼х векторов, исходящих из общего начала, равен объ¼му параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на исходящих из одной вершины р¼брах.
Смешанное произведение равно объ¼му параллелепипеда, если тройка векторовправая, и равно минус объ¼му параллелепипеда, если тройка векторов левая.
Теорема о свойствах смешанного произведения векторов
~ ~ ~ ~ ~ ~
1. ~a b~c = c~a b = bc~a = ¡b~a~c = ¡~a~c b = ¡~c b~a.
~~
2.(¸~a) b~c = ¸(~a b~c).
~ ~ ~
3. (~a1 + ~a2) b~c = ~a1 b~c + ~a2 b~c.
21
Без доказательства.
Теорема о вычислении смешанного произведения векторов в декартовых компонентах
Åñëè |
~a = (ax; ay; az) |
, ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~c = (cx; cy; cz), |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
b = (bx; by; bz), |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
òî ~a~b~c = |
¯ bx |
|
by |
|
bz |
¯. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
ax |
|
ay |
|
az |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
cy |
|
cz |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
¯ cx |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теоремам о векторном и скалярном произведениях в декартовых ком- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
понентах, а также по формуле разложения определителя по элементам строки |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
~a~b~c = µ¯ by |
bz |
¯ ¢~i ¡ |
¯ bx |
|
bz |
¯ ¢~j + |
¯ bx |
|
by |
¯ ¢ ~k¶ ¢ (cx ¢~i + cy ¢~j + cz ¢ ~k) = |
|||||||||||||||||||||||||
¯ |
ay |
az |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
ax |
|
az |
¯ |
|
|
|
¯ |
ax |
|
ay |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
¯ : |
|
|
= cx |
|
ay az |
¯ ¡ |
cy |
¢ |
|
ax az |
¯ |
+ cz |
¢ |
|
ax ay |
¯ |
= |
¯ax ay |
az |
|
||||||||||||||||||
|
|
¢ ¯ by |
|
bz |
|
¯ bx |
bz |
|
|
|
¯ bx |
by |
|
|
¯ |
|
|
by |
bz |
¯ |
|
||||||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ bx |
¯ |
|
||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
места- |
Применим второе элементарное преобразование строк определителя:¯ |
обменяем¯ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ми первую и вторую строки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
||||||||
|
|
ay |
|
az |
¯ |
= |
|
¯ cx |
|
|
cy |
cz |
¯ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
cx |
cy |
|
cz |
¯ |
|
|
¡ ¯ |
ax |
|
ay |
az |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
by |
|
bz |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
by |
bz |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
¯ bx |
|
¯ |
|
|
|
¯ bx |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ещ¼ раз применим второе элементарное¯ ¯преобразование¯ |
строк¯ |
определителя: обменяем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
местами вторую и третью строки: |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¯ |
ax |
|
ay |
az |
|
|
|
ax |
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
cy |
cz |
¯ |
= + |
¯ |
|
|
|
by |
|
bz |
¯ |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ cx |
|
¯ |
¯ bx |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
by |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
cy |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ bx |
|
bz ¯ |
|
|
|
¯ cx |
|
|
cz ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, получаем: |
¯ax ay |
az |
¯ |
= |
¯ bx |
by |
|||
~a~b~c = |
|||||||||
|
¯ |
cx |
cy |
cz |
¯ |
|
¯ |
ax |
ay |
|
¯ |
|
by |
bz |
¯ |
|
¯ |
|
cy |
|
¯ bx |
¯ |
|
¯ cx |
|||||
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯
az ¯¯ bz ¯¯¯ : cz ¯
22
Теорема |
(признак компланарности векторов) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
Пусть |
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
~a 6= 0 ; b 6= 0 ; ~c 6= 0 : |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
В таком случае ~a b~c = ~a £ b ¢ ~c = 0 тогда и только тогда, когда векторы |
|||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a ; b ; ~c компланарны. |
|
|
|
|
|
||||
Доказательство необходимости будет дано позже. |
|
|
|
|
||||||
Доказательство достаточности |
|
|
|
|
|
|||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть ~a ; b ; ~c компланарны. |
|
|
|
|
|
|||||
Если векторы |
~ |
коллинеарны, то, по признаку коллинеарности, |
~ |
~ |
è |
|||||
|
|
|
~a ; b |
|
|
\ |
\ |
~a £ b = 0 ; |
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
|
||||
|
~ |
~ |
|
|
|
|||||
~a b~c = (~a £ b) ¢ ~c = j~a £ bj ¢ j~cj ¢ sin(~a £ b ; ~c) = 0 ¢ j~cj ¢ sin(~a £ b ; ~c) = 0 : |
|
|
||||||||
Если векторы ~a ; b íå|{z} |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
коллинеарны, то воспользуемся тем, что, при совмещении |
|||||
начал всех тр¼х векторов, они будут лежать в одной плоскости. По теореме о базисе
~
на плоскости, векторы ~a ; b пригодны в качестве базиса, следовательно, существуют
число ® ; ¯
~
~a b~c =
~
такие, что ~c = ®~a + ¯b : Тогда
(~a £~b) ¢ ~c = (~a £~b) ¢ (®~a + ¯b~) = ® ¢ |
³(~a £~b) ¢ ~a´ + ¯ ¢ ³(~a £~b) |
||||||||||||||||||
= ® |
0(~a |
£ |
~a) |
¢ |
~b1 |
+ ¯ |
0(~b |
£ |
~b) |
~a1 |
= ® |
¢ |
0 + ¯ |
¢ |
0 = 0 : |
||||
|
¢ @ |
|
|
|
A |
|
¢ @ |
|
|
|
¢ A |
|
|
|
|||||
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
~´
¢ b =
~ |
~ |
=0 |
=0 |
Замечание Формально признаки перпендикулярности, коллинеарности и компланарности
~
верны и для случаев, когда среди векторов ~a ; b ; ~c есть нулевые.
Теорема
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0 = (x0; y0; z0) перпендикулярно заданному вектору ~n = (A; B; C) имеет вид
A(x ¡ x0) + B(y ¡ y0) + C(z ¡ z0) = 0 : |
(1) |
23
Доказательство
Пусть M = (x; y; z) есть произвольная точка плоскости. Рассмотрим вектор
¡¡¡!
M0M :
Вектор ~n перпендикулярен плоскости следовательно, он перпендикулярен лю-
бой прямой, лежащей в этой плоскости, следовательно, он перпендикулярен прямой,
¡¡¡!
проходящей через точки M0 ; M; а с ней и вектору M0M:
¡¡¡!
По признаку перпендикулярности векторов ~n ¢ M0M = 0 ; что равносильно уравнению (1).
24