книги / Общие вопросы теории граничных задач
..pdf§ 5, ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ |
61 |
Мы воспользовались представлением | К | = |
| К \Ч* | К\% |
неравенством Коши — Буняковского и [переменой по рядка интегрирования.
Из доказанной леммы и свойств ядра со (|) немедлен но следует J-2.
З а м е ч а н и е . И лемма 1 и доказательство сохра няют, очевидно, силу и в том случае, когда V — произ вольная ограниченная область в R”. Мы этим в дальней шем воспользуемся. Вообще, обобщение устанавливаемых свойств на случай п [> 1 не вызывает затруднений.
J-S. При е — 0 норма разности J tu — и стремится
к нулю. |
Для |
оценки |
в IH; нормы |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||
|| J(U — и ||2 достаточно, очевидно, |
оценить |
интеграл |
|
I (и) = § | { (ое(х, х ) [и (х) — и (s)] dx' Рйх |
|
||
V V |
|
|
|
^ | ( о е(х, х') |2dx' |
^ |
|и(х')— u (х) |2dx'j dx. |
Для придания точного смысла второму из интегралов внутри фигурных скобок при любом х €Е V следует счи
тать и (х) = 0 при х V. Очевидно, \ | о>£ (х, х ) |2 dx |
се-1 |
v |
|
равномерно по вида со (|). Если dx' = dx, будем
х и постоянная с зависит лишь ст положить теперь х' = х + т, | т | <[ е, иметь
I (и) ^ се-1 С( |
С |
| и (х + т) — и (х) |2 dt) dx = |
|
V V i<£; |
|
' |
|
= |
се-1 |
\ I \ | и (х + |
х) — и (х) |2 dx) dx с^В&и, |
|
|
|tf<8 Ч |
7 |
где 33ги -*■ 0 при &-+■0 (непрерывность в среднем; п. 1.1).Ц З а м е ч а н и е . * Нетрудно убедиться, что для любо го фиксированного е > О оператор J &переводит ограни ченное множество Л С И в множество элементов JzJ l, равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных. Отсюда следует, что множество J t Jl компактно в С (тео
рема Арцела) и |
тем более в И. Таким |
образом, при фик |
сированном е > |
0 оператор J e: Н |
Н (как и всякий |
62 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
интегральный оператор с гладким ядром) вполне непре рывен.
/-4. Если а(х) €Е С (У), то при любом м б Н || aJzu — / 8 (аи) || —»- 0 при 8 — 0.
Действительно, достаточно заметить, что
|| aJtu — / е (««) II < II « {JzU — и) || + || аи — / 8 (аи) ||. Щ |
|
Свойство /-4 |
устанавливает перестановочность «в пре |
деле» оператора |
осреднения с операцией умножения на |
достаточно регулярную функцию. |
равенство |
|
/- 5 . Д ля любых в , » е И |
справедливо |
|
(Jtu, v) = |
(и, Jгv). |
(2) |
Равенство (2) немедленно следует из возможности пе
ремены порядка интегрирования.^ В дальнейшем нам потребуются операторы осредне
ния, обладающие тем свойством, что построенные с их помощью гладкие функции оказываются удовлетворяю щими дополнительно некоторым однородным граничным условиям. В одномерном случае простейшими из таких операторов являются, например,
Свойства /-1, 2, 3, 4 доказываются для этих операто ров точно так же, как для оператора / е. Свойство /-5 не сколько видоизменяется.
/-5а. Для любых и, v GE Л справедливо равенство
(Ли, v) = |
(и, Jtv). |
|
|
Но, кроме того, имеет место еще одно свойство. |
|||
/-6а. Д ля любого |
элемента и €Е И (У) справедливы |
||
равенства |
|
|
|
Л.Ц |х= 0 |
= 0 , |
JzU |х=Ь = |
0* |
Утверждение следует, немедленно из |
(3): при х = 0 |
(х = Ь) ядро оператора /ё (Л) равно нулю тождественно при любом х' е У = (0, Ь). Ц
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ |
63 |
Нетрудно построить и оператор, обеспечивающий вы полнение однородных условий на обоих концах рассмат риваемого интервала:
Jzv = |
^ со8 |
~~281и (х') d x . |
Свойство /-1 |
остается при этом неизменным. При доказа |
тельстве /-2, 3 происходит переход от якобиана, равного единице, к якобиану, равному 1 — 4ZT1e, что ничего не меняет. В свойстве /-2 надо заменить в неравенстве еди ницу на некоторое число Ег -*~1 при е 0. Существен ны лишь видоизменения свойств /-5, 6.
/-5Ь. Для |
любых и, v ее И (F) справедливо равенство |
|
- где |
(Jeu, v) = (u, Jzv), |
|
|
|
|
JsV = $ oe ( (1 - Ab~4)l - |
x' + 2&)v(xf)dx. |
|
Кроме того, можно утверждать |
||
/-6Ь. Для |
любого элемента |
и СЕ IH(F) справедливы |
равенства |
J 8и |х= 0 == / 8^ [х=Ь ~ 0. |
|
^ |
Оператор / 8 «размазывает» осредняемый элемент (как, впрочем, и исходный оператор / 8), и 7 zu не удовлетворяет, вообще говоря, однородным условиям ни на одном из
концов |
отрезка |
[0, 6]. |
Переход |
5.2. |
Осреднения в многомерной области. |
||
к случаю, когда V — ограниченная область пространства |
|||
lRn, определим оператор / е равенством |
|
||
|
J zu (х) = |
[ со8 (яг, х[) . . . (о8 (хп, х'п) и (х') dx\ |
(4) |
|
|
V |
|
где х = {хъ . . ., хп) и х', dx' определены соответственно. Формулировка свойств с /-1 по /-5 остается прежней (с заменой, естественно, Dm на частную производную
Da, где а — некоторый мультииндекс; § 2). Приведенные доказательства также сохраняют силу (с очевидной заме
ной оценки |
J | сое |2 dx' ^ се'1 на |
се”п в доказательстве |
свойства /-3 |
v |
|
и т. п.). |
|
64 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
Операторов типа J t в многомерном случае исполь зовать мы не будем и остановимся подробнее лишь на опе
раторах типа J 8, J g• |
|
|
|||
|
Пусть |
область |
V такова, что существует семейство |
||
{ф8 (ж)}, |
0 < е < е0, диффеоморфных отображений ф8: |
||||
V |
Vе а |
V области V на некоторую свою подобласть, |
|||
гладко зависящих от е и таких, что |
якобиа |
||||
|
F-1. Отображение ф° = |
1 — тождественное; |
|||
ны j (ф8), |
/ -1 (ф8) равномерно |
относительно ж €= F стре |
|||
мятся к единице при г -*• 0. |
то при любом ж' е |
F8 для |
|||
|
F-2. Если ж б 5 |
= dV, |
евклидова расстояния d (ж, ж') выполнено неравенство d (ж, ж') > кг, где к ^ 1 — некоторое фиксированное число.
Область V, удовлетворяющую условиям F-l, F-2, ус ловимся называть нормальной.
Сделанные относительно границы F в начале настоя- ’ щей главы (п. 1.1) предположения заведомо достаточны для нормальности.
З а м е ч а н н е.^Несколько менее ограничительное, чем упомянутые, предположение, обеспечивающее нор мальность, может быть сформулировано следующим обра зом. Область Vk звездна относительно шара <= Уц (радиус шара положителен), если для любой точки ж е S dVk конус с основанием £fk и вершиной ж лежит цели ком в Vk. Область F, являющаяся объединением конечно го числа областей F*, каждая из которых звездна относи тельно некоторого шара'"$*, нормальна.
В рассмотренном выше одномерном случае (F = (0, Ь))
мы использовали отображения ф8 вида |
|
||||
ф8 (ж) = |
(1 — 46_|е)ж + |
2е. |
|
|
|
Если положить |
ф8 = |
(ф|, . . ., |
фп), |
то оператор / 8 |
|
может быть определен теперь равенством |
|
||||
xt — ср®(х') |
|
*я“ |
Фп(*') |
j и (ж') d x \ |
|
/ 8ы(ж) = ^ <о8 ^ |
|
•©е (■ |
|
||
Оператор / 8 является |
оператором осреднения, впол |
не аналогичным соответствующему оператору в одномер ном случае. Сформулируем свойство /-5Ь (предполагая, естественно, что 0 <| е ^ е0).
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ |
65 |
J -ЪЬ. При |
любых в, » е |
И (F) справедливо равенство |
|
где |
|
(Ли, v) = |
(и, J tv), |
|
|
|
|
Г |
С |
/ <Рf(*) — |
/<Р»(Фп (*)—*»■'л\ , ,ч , , |
J&u= |
\со8 (-------- 1. . . (08 f---- ---- J v(z )dx |
||
Оператор |
/ 8 снова оказывается «размазывающим» |
оператором осреднения, в то время как для / 8 справед ливо свойство /-6Ь.
/-6Ь. Для любой и е Н (F) справедливо равенство
Л“ lav = 0.
5.3.Осреднения и операция дифференцирования. Как отмечалось выше, осреднения являются основным аппа ратом, позволяющим устанавливать эквивалентность сла бых и сильных расширений дифференциальных операций.
Мы приведем сейчас общую схему использования осред нений в этих целях.
Пусть Da — некоторый дифференциальный моном ви
да Df1. . . D ? . Элемент в е Н ( У ) принадлежит Э (£>сл) (области определения операции Da, понимаемой в слабом
смысле), если |
существует элемент / е Н |
(ТО» такой, |
что |
для любой «допустимой» функции <р (х) |
верно равенство |
||
|
uDaфdV<= (— 1),а| $ /<р dV. |
(5) |
|
V |
V |
|
|
Определение «допустимости» для <р, помимо необходимого требования достаточной гладкости, в каждом отдельном случае может включать те или иные дополнительные ус ловия типа граничных. (На этой стороне вопроса мы спе циально остановимся в следующем параграфе.)
Пусть теперь некоторый оператор осреднения / 8 (не обязательно совпадающий с оператором, обозначенным таким образом в формуле (4)) таков, что сопоставляет произвольному элементу » e H ( F ) допустимую функ
цию ф = J zv. Тогда, полагая в (5) ф = J ev, |
получим ра |
венство |
|
(и, D*Jzv) = (-l)M (/, J ev) |
(6) |
(скобки — скалярное произведение в 1Н).
66 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ч |
Сомножитель DaJ tv в левой части (6) можно рассмат ривать как результат применения к v некоторого интег
рального оператораDaJ &с ядром D%<ог (#, х'):
DaJtv = | [D%®e (х, х)] v (х) dx = [DaJz\ v.
Как это следует из определения оператора осреднения, при любом г^> 0 этот интегральный оператор обладает сопряженным LD«/ej*f причем
(», ID«JM = (\DaJ&]*u, v) = ( - l) :“l (/)* [/* и], v),
(7)
где последний член равенства получается за счет исполь зования четности ю (1) и замены Da(ae (х, х') на
(—1)1*1/?® <»8 (х , х') (с введением, быть может, некоторого дополнительного множителя Ее -*~ 1 при е -*• 0, включае
мого в определение / 8; ср. предыдущие пункты).
Оператор / 8 также является оператором осреднения, отображающим Н на некоторое линейное многообразие Л CZ Н гладких функций, удовлетворяющих, быть мо жет, некоторым дополнительным условиям типа гранич ных. Если теперь положить
е* = 2~к, |
к = 1 , 2 , . . . ; |
ик = |
J 4l u -*■ и при ек -»-*0, |
то в силу (6), (7) и произвольности v е IH |
|||
В |
Dauk = J t*f |
/ при к-*- оо, |
|
т. е. |
(/??„) влечет |
и е Э |
(Z)^) — области опре |
деления оператора /?^, определяемого уже как замыка ние в Н операции /?*, заданной первоначально на линей ном многообразии Л .
З а м е ч а н и е . Считая гладкую функцию <р в (5) допустимой, если она финитна в V (равна нулю вне неко торого компактного подмножества V' CZ V), придем к оп
ределению обобщенной производной Df 1. . . /?£™, при нятому в [16]. Предположив, что V нормальна, и взяв
в качестве / 8 оператор / 8 (п. 5.2), получим включение
» т а > d |
© (б®), где 0 “ — соответствующий макси |
мальный |
оператор. |
|
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ |
67 |
|
5.4. |
Лемма |
Фридрихса. Поименованная лемма |
будет |
использована в |
некоторых рассмотрениях следующего |
параграфа, которые лежат несколько в стороне от основ ной линии изложения, но представляют существенный принципиальный интерес.
Утверждение леммы непосредственно примыкает к свойству /-4 п. 5.1 и утверждает, что перестановочность (в пределе) осреднения с умножением на гладкую функ цию имеет место и «под знаком производной». Как и в п. 5.1, мы ограничимся случаем п = 1, V = (0, 6). Пе ренесение построений на случай произвольного п не вы зывает затруднений. Прежде всего сформулируем один вспомогательный результат.
У т в е р ж д е н и е |
1. Пусть К8: Н |
Н — семейство |
|||||
интегральных операторов вида Кги = |
^ # 8 (х , х ) и (xr) dx', |
||||||
причем |
|
|
|
|
не зависящая от е, |
||
КЛ. Существует постоянная М, |
|||||||
такая, что || К 81| ^ |
М. |
|
|
|
|
|
|
К-2. Для некоторого числа х, произвольных достаточно |
|||||||
малых т и х ее FT = |
(т, Ъ — т) существует в' = е' (т) та |
||||||
кое, что |
|
|
|
|
|
|
|
\ Къ(х, х ) d x = |
х |
для |
любого |
в < |
е' (т). |
(8) |
|
V |
0 |
при |
| х — х ' |
| ]> кв, к = |
const. |
||
К-3. Kz (х, х') = |
|||||||
Тогда || Кги — %и || |
0 при в -»■ 0. |
|
|
|
|||
Утверждение является |
некоторым обобщением свойст |
||||||
ва /-3 п. 5.1 (где х = |
1) и доказывается с помощью тех же |
рассуждений (надо лишь дополнительно использовать
стремление к нулю при т |
0 интеграла по V \ Vx, где |
|
равенство (8) может не иметь места). | |
||
|
Л е м м а ( Ф р и д р и х с д ) . Пусть U E IH(V), а ЕЕ |
|
Е |
С1 (V) и Je — стандартный оператор осреднения. Тогда |
|
|
|| D (aJzu) —. D JZ (аи) || -►0 при в -* 0 . |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Прежде всего заметим, что |
DJ&(аи) = |
|
|
= |
D ^ (ое (х, х ) а (х) и (х') dx‘’ — — J (D'(oz) а (х) и (х) dx' = |
|
|
V |
V |
= — | {Df [со8а (х')]} и (xf) dx'+ § (о8 • [D'a (#')] и (х') dx', (9)
68 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
где Dr — дифференцирование по х'. В то же время
D (aJzu) = Da- J со8• и (х) &х — J [Z>'coe] а (х) и{х) d x \ (10)
V V
Разность между последним членом цепочки (9) и первым членом правой части (10) стремится, очевидно, к нулю (перестановочность осреднения с умножением на непре рывную функцию). Разность остающихся членов запи шем в виде
^ D' {<о8 (я, х ) [а (х) — а (ж')]} и (х') dx v
и воспользуемся приведенным выше утверждением, пола гая Кг = D ' {со8 [л — а']}. Соответствующее семейство операторов равномерно ограничено (надо воспользовать ся тем, что | а — а' | <; Сг при | х — х' | е), выполне но свойство К-2 с х = 0 и требование локальности К-Ъ. И
Приведенная лемма имеет много вариантов. Полезно отметить, что от функции а (я), достаточно требовать ку сочной дифференцируемости и лшшшц-непрерывности.
Из леммы Фридрихса немедленно следует, что в слу чае, когда « Е Й Фсл)> а (х) е= С1 (и, следовательно, а и ^ Ь Фсл))у справедливо утверждение:
|| D (aJeu) — JJDсл (аи) || -^ 0 при е ->■ 0.
§ 6. Совпадение слабых и сильных расширений дифференциальных операций
6.1. Случай постоянных, в главном, коэффициентов. Для операций L (В) вида (1) § 2, коэффициенты которых о*, I а | > 2, постоянны, вопрос об эквивалентности сла бых и сильных расширений при наличии операторов осреднения, «хорошо приспособленных» к рассматривае мым граничным условиям, решается весьма просто за счет перестановочности осреднения с умножением на констайту и аппроксимативной перестановочности с умножением на гладкую функцию в случаях, охватываемых свойством /-4 § 5 или леммой Фридрихса. Что следует понимать под «приспособленностью» осреднения к граничным усло виям, станет ясным в ходе наших рассмотрений.
§ 6. СОВПАДЕНИЕ СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ |
69 |
Будем считать заданной область V d IR” и операцию L (£>), коэффициенты которой удовлетворяют сделанным выше предположениям. Б соответствии с обозначениями § 4 пусть у, ty — некоторые сопряженные системы гра
ничных |
условий. |
Пусть оператор осреднения |
таков, |
что для |
любой |
v GE И (F) и для любого е О |
’v — |
гладкая фикция, удовлетворяющая граничным услови
ям ty. Тогда, |
если м е Э (L£") (области определения сла |
|||
бого расширения операции L (.D) при условиях у: |
= |
|||
= (L‘?) *) и |
= |
/, то для |
любой к е И |
|
|
(и, V |
(.D )J?v) = |
(/, J?v). |
(1) |
Дальше остается применить схему, изложенную в п. 3
§ 5. Если интегральный оператор L* {D)J% таков, что для сопряженного оператора верно равенство
[V (D) J?\*u = L (D) Л и + цг (и),
причем выполнены условия:
1)— оператор осреднения, обладающий тем свой
ством, |
что для любого г |
О |
гладкая |
функция J\u при |
любой |
M E IH удовлетворяет условиям у, |
|||
2) |
для любого элемента |
и ЕЕ IH |
|| т]8 (и) || -+• 0 при |
е0, то равенство (1) немедленно приводит к равенству
L (D)Jlu = J lf - |
% (и), |
где правая часть стремится к / при е — 0. |
|
Определив последовательность |
{и*}, как в п. 3 § 5, |
получаем включение |
|
© (I4 * )C » (L ,).
Обратное включение, как всегда, очевидно.
Если взять теперь в качестве Lv максимальный опера тор, порождаемый операцией L (D), а в качестве J ? — оператор J z, определенный в п. 2 § 5, то получим теорему.
Т е о р е м а . Для |
операции L (D), коэффициенты ко |
торой аа при | а | 2 |
постоянны, в нормальной области V |
справедливо равенство |
L = (L')*. |
|
70 |
ГЛ. П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
6.2. |
Случай переменных коэффициентов» В случае об |
|
щей дифференциальной операции L (D) вида (1) § 2, со |
||
держащей |
переменные коэффициенты |
яа, |а | > 1 , во |
прос о совпадении операторов Lv, |
становится значи |
тельно более сложным. Основной причиной возникающих осложнений является недопустимость, вообще говоря, перестановки под знаком производной порядка больше единицы операций умножения (на гладкую функцию) и осреднения, т. е. отсутствие в этом случае аналога леммы Фридрихса.
Приведем простейшую модель, выясняющую характер возникающей трудности. Возьмем в качестве оператора
осреднения оператор
x+fc
|
|
|
Khu(a:) = |
-i- |
J u(l)dl, |
|
|
|
|
|
|
х—h |
|
сопоставляющий |
элементу |
|
абсолютно непрерыв |
|||
ную |
функцию |
(функцию |
Стеклова). |
Тогда, если а = |
||
= а (ж) ЕЕ С1, |
то |
|
|
|
|
|
D (aKftu) = |
а' (ж) Кhu + |
|
[И (*'+ h) — и (х —ft)]. |
|||
В то же время DKh(au) можно представить в виде |
||||||
D Кд (аи) ^ ?Ax + hl =-aJ ? - -h). U(x + h) + |
|
|||||
|
|
|
+ * (X2 h ~~ ^ ^ x + h) — и (ж — h)] |
|||
и, очевидно, при h -+■0 |
|
|
|
|||
|
|
|| D (aKhu) - |
DKh (au) || |
0 |
||
для |
любого |
элемента и €Е IH. Таков |
механизм леммы |
|||
Фридрихса. |
|
|
|
а (ж) €Е С2, провести срав |
||
Если же, предполагая а = |
||||||
нение между |
|
|
|
|
|
|
|
D2 (аКдц) = D *a-Kl и + |
2Da-DK\u + aD2 |
и D2K\(au), представив последнее выражение в виде
4h2D2Kh (аи) = [а(г + 2h) — 2а(х) + а (х — 2h)\u (ж+2А)+ + [а (ж) — а (х — 2h)] [u (ж + 2Л) — и (ж)] +
+ а (ж — 2Л) [и (ж + 2h) — 2и (ж) + и (ж — 2h)],