Теория напряженного и деформированного состояний
Анализ напряженного состояния
Твердое тело реагирует на внешнее воздействие целиком, как сплошная среда. Но реакция в каждой точке тела будет различной.
Математическое описание этой реакции в выбранной точке тела зависит от выбора системы координат, связанной с этой точкой.
Напряжения на наклонной площадке при
растяжении стержня
Fn Fx
cos
Спроектируем все силы на направление нормалиn, |
|
|
F F cos 0, |
|
|
n n |
x x |
|
|
n x cos2 |
|
Спроектируем все силы на направление оси t, |
|
|
F F sin 0, |
|
|
nt n |
x x |
|
nt x sin cos
Напряжения на наклонной площадке при |
||||||||||||
растяжении стержня (продолжение) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
( ) |
|
|
x |
cos( ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
nt |
( ) |
|
x |
cos( ) sin ( ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М Па |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжения, |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
20 |
|
40 |
|
60 |
80 |
100 |
||
|
|
|
Угол наклона площадки, градусы |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Нормальное напряжение |
|
||||||
|
|
|
|
|
Касательное напряжение |
|
||||||
Напряженное состояние в произвольной точке
|
x |
yx |
zx |
|
xy |
y |
zy |
|
xz |
yz |
z |
Касательныенапряжениядолжныудовлетворятьусловиямравновесия –
суммаобусловленныхимивращающихмоментовдолжнабытьравнанулю. Из этогоследует законпарностикасательныхнапряжений:
xy y yz z zx xz.
Касательные напряжения, действующие на взаимно
перпендикулярных площадках, равны и направлены либо к общему ребру, либо от ребра.
Теория упругости доказывает, что
1.Всегда существую площадки,на которых отсутствуюткасательные
напряжения.
2.Эти площадки взаимно перпендикулярны и называются главными площадками.
3.На трех главных площадках действую только нормальные напряжения, которые называют главными. Их обозначают как 1,
|
и |
,причем,по соглашению, |
. |
|||||||
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|||||
y |
|
|
|
|
y1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
х |
z1 |
x1 |
|
z |
3 |
||
|
|
Теория упругости доказывает, что |
||||||
|
|
|
(продолжение) |
|
|
||
1. |
Напряжения |
1 и 3 |
- это экстремальные значения нормальных |
||||
|
напряжений для всех площ адок, проходящих ч ерез данную точку. |
||||||
2. |
Тензор главных напряжений |
123 имеет диагональный вид . |
|||||
3. |
Н аибольш ие касательные напряжения max |
равны |
|
||||
|
|
|
max |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и действуют на площ адке, наклоненной к 1 |
и 3 |
на 45°. |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
x1 |
123 |
|
1 |
max |
1 |
|||
0 |
2 |
0 |
|
|
|||
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
3 |
|
Классификация напряженных состояний
Т р ех о сн о е и л и о б ъ ём н о е
1 0 |
2 0 |
3 0 |
Д вух о с н о е и л и п л о ск о е
1
1
1
0 |
|
0 |
|
0 |
|
2
2
2
0 |
|
0 |
|
0 |
|
3
3
3
0 |
|
0 
0 
max
max
max
2
1
1
min
min
min
3
3
2
О д н о о с н о е и л и л и н ей н о е
11
0 |
|
0 |
|
2
2
0 |
|
0 |
|
3
3
0
0
Д л я увер ен н о го о п р ед ел ен и я т и п а н а п р я ж ен н о го со ст о я н и я н ео б х о д и м о зн а т ь зн а ч ен и я всех т р ех гл а вн ы х н а п р я ж ен и й .
Анализ двухосного напряженного состояния
|
|
F |
|
|
Fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Спроектируем все силы на ось n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nFn xFx cos yFy sin 0 |
x y |
|
x y |
cos 2 |
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спроектируем все силы на ось t |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ntFn xFx sin yFy cos 0 |
|
|
|
x y |
sin 2 |
|||||||||
|
|
|
nt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Круг Мора
max x |
min y |
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
max min |
|
max min |
cos 2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
nt |
max min |
sin 2 |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
min |
||
|
|
|
|
|
A |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
max |
|
min |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|