Вопросы Сандаков
.docxЭкзаменационные вопросы по ОДУ
Т-3 фак. ЭТФ лектор Сандаков Е. Б.
1 .Простейшие типы ОДУ
1) Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, его порядок. Определение решения уравнения. Задача Коши. Частное и общее решение, частный и общий интеграл. Интегральные кривые.
2) Интегрирование ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
3) Интегрирование линейных ОДУ первого порядка и уравнений Бернулли. Уравнение Рикатти.
4) Интегрирование ОДУ первого порядка в полных дифференциалах, интегрирующий множитель и методы его нахождения.
5) Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.
6) Понятие особого решения. Методы его нахождения.
7) Дифференциальное уравнение n-ого порядка: определение решения, постановка задачи Коши.Методы понижения порядка уравнения.
II. Системы О.Д.У.
8) Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Каноническая и нормальная формы системы.
Порядок системы. Сведение канонической системы к нормальной. Общее и частное решения, общий и частный интеграл. Задача Коши для нормальной системы, ее геометрический смысл.
9) Нормальная форма системы линейных О.Д.У., скалярная и векторная (матричная) запись. Задача Коши для системы линейных О.Д.У. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы линейных О.Д.У.
10) Линейно зависимая и линейно независимая системы вектор - функций. Критерий линейной зависимости. Достаточные условия линейной зависимости. 11) Фундаментальная система решений (Ф.С.Р.) однородной линейной системы О.Д.У. Теорема существования Ф.С.Р. 12) Фундаментальная матрица однородной линейной системы О.Д.У. Свойства фундаментальной матрицы. 13) Теорема об определителе Вронского решений линейной однородной системы О.Д.У. 14) Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы однородных линейных О.Д.У. 15) Теорема об общем решении(о структуре общего решения) нормальной системы неоднородных линейных О.Д.У
16) Метод вариации постоянных для нахождения частного решения нормальной системы неоднородных линейных О.Д.У.
17) Линейные системы О.Д.У. с комплексными коэффициентами. Следствие для однородной системы с вещественными коэффициентами.
18) Построение Ф.С.Р. для системы однородных линейных О.Д.У. с постоянными вещественными коэффициентами в случае простых действительных корней характеристического уравнения.
19) Построение Ф.С.Р. для системы однородных линейных О.Д.У. с постоянными вещественными коэффициентами в случае, когда все корни характеристического уравнения простые, но имеются комплексные корни.
20) Принцип суперпозиции при решении неоднородной линейной системы. Нахождение частного решения неоднородной системы со специальной правой частью.
III. Линейные ОДУ.
21) Линейное О.Д.У. n-ого порядка, определение его решения. Постановка задачи Коши. Редукция линейного О.Д.У. n-ого порядка к нормальной линейной системе О.Д.У. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного О.Д.У.n-ого порядка.
22) Однородное О.Д.У. n-ого порядка. Свойства его решений. Ф.С.Р. однородного О.Д.У. n-ого порядка. Теорема существования Ф.С.Р.
23) Теорема об определителе Вронского решений однородного линейного О.Д.У. n-ого порядка.
24) Теорема об общем решении (о структуре общего решения) однородного О.Д.У. n-ого порядка.
25) Теорема об общем решении (о структуре общего решения) неоднородного О.Д.У. n-ого порядка.
26) Метод вариации произвольных постоянных для опускания частного решения неоднородного линейного О.Д.У n-ого порядка
27) Линейные уравнения n-ого порядка с комплексными коэффициентами. Следствие для однородного уравнения с вещественными коэффициентами.
28) Построение Ф.С.Р для однородного линейного О.Д.У. n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения, действительных и комплексных
29) Построение Ф.С.Р для однородного линейного О.Д.У. n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда имеются кратные корни характеристического уравнения
30) Нахождение частного решения неоднородного линейного О.Д.У. n-ого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Принцип суперпозиции.
IV. Теоремы существования и единственности.
31) Теорема о сжимающем операторе.
32) Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы О.Д.У (локальная).
33) Продолжаемые и не продолжаемые решения. Т.С.Е решения задачи Коши для нормальной
системы О.Д.У.
34) Теорема существования и единственности решения задачи для уравнения y'=f(x,y)
(локальная).
35) Продолжаемые и не продолжаемые решения. Т.С Решения задачи Коши для уравнения
y'=f(x,y) (глобальная) .
36) Теорема существования и единственности решения задачи Коши для О.Д.У n-ого порядка
=f(x,y,y’,…,
)
(локальная).
37) Продолжаемые и не продолжаемые решения. Глобальная Т.С.Е. для О.Д.У n-ого порядка.
38) Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров для нормальной системы О.Д.У первого порядка.
39) Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных для нормальной системы О.Д.У первого порядка. Понятие корректности задачи Коши.
V. Вариационное исчисление.
40)Основные понятия вариационного исчисления, функционал, линейность, непрерывность,
вариация. Лемма о существовании вариации у простейшего функционала.
41) Слабый (сильный) экстремум функционала. Теорема о необходимом условии слабого экстремума функционала.
42) Основная лемма вариационного исчисления и её обобщение
43)Лемма Дюбуа-Реймона
44)Задача с закрепленными концами для простейшего функционала. Уравнение Эйлера.
46) Задачам закрепленными концами для функционала, зависящего от нескольких функций. Система уравнений Эйлера.
47) Задача с закрепленными концами для функционала с высшими производными. Уравнение Эйлера –Пуассона.
48) Основная лемма вариационного исчисления для функций, зависящих от двух переменных .
49) Вариационная задача для функционала, зависящего от функций нескольких переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского.