Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Лекции / VTA_lektsia_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

576.23 Кб

Скачать

☆

Ф-03-Лекция 2 Замена переменной в двойном интеграле П.1 Линейная замена в двойном интервале.

x au bv	, ad bc 0
Отображение	, ad bc 0
y cu dv

прообраз области Gx, y на плоскости xoy

функции f (x, y) имеет место формулаf (x, y)dxdy f (au

называется линейной заменой переменных. Если Gu ,v

при таком отображении, то для непрерывной на Gx, y

bv, cu dv) ad bc dudv (1)

G	G
x , y	u ,v

Док.

Образом прямой при линейном отображении является прямая, образом квадрата ABCD разбиения области Gu ,v со стороной h является параллелограмм PQRT . Координаты вектора

0; h

и его образа

bh;

. Координаты вектора

h; 0

и его образа

ah; ch . Площадь

PQRT

равна

	i	j	k
	ah	ch	0	ad bc h	2


		dh	0
bh

M произвольная точка квадрата, N - ее образ в параллелограмме PQRT .

Интегральная сумма для интеграла	f (x, y)dxdy	равная f (N ) ad bc h	2

Gx , y		i, j

является

интегральной суммой для интеграла f (au bv, cu dv) ad bc dudv . Из равенства

Gu ,v

интегральных сумм следует равенство интегралов после предельного перехода при h 0 .

Пример 1. Вычислить интеграл

x	2	dxdy
	2

по области G x; y R2 : y x 2, 2 x y 4

Решение
Замена переменных:																																						1
																																						1
u	y x							x (v u) / 2				G				(u; v) R2 : 2 u 2, 2 v 4																	, J		1/ 2		1/ 2
												G				(u; v) R2 : 2 u 2, 2 v 4																	, J
													u,v
v	x y					y (u v) / 2																													1/ 2		1/ 2	2
Тогда по формуле замены переменных
								(u v)	2	1			1	4			2							1		4			u 2
x		2		dxdy				(u v)		1	dudv		1	dv (u v)					2	du				1		(u v)		3	u 2			dv
		2																	2									3
G					G			4		2			8	2		2								24		2			u 2
G					G									2		2										2
					u ,v
	4			4														1	4								1							v 4		32
	4			(2	v)		2	(2 v)(2			v) (2 v)					2	dv	1			3v		2		4	dv	1	(v		3	4v)			v 4		32
							2									2							2							3
24				2														6	2								6							v 2		3
				2															2
П.2 Нелинейная замена переменной в двойном интеграле.
Рассмотрим функцию f (x, y) непрерывную на измеримом множестве Gx, y .
																																r
ОПР. Заменой переменных называют биективное отображение u;v x, y ,
				области Gu,v на плоскости переменных u, v															на область Gx, y									плоскости x,y ,
				переводящее внутренние точки области Gu,v																	во внутренние точки области Gx, y , а
			границу Gu ,v в границу Gx, y . Это отображение задается векторнозначной функцией
r r(u,v)															x x(u,v),							,	u, v			G
					или в координатной форме																		u, v			G
					или в координатной форме																					uv
															y y(u,v)
Если функции x x(u,v)										и y y(u,v) двух переменных имеют непрерывные частные производные
первого порядка в области Gu ,v , то замена называется гладкой. В этих предположениях кусочно-
гладкая граница G									переходит в кусочно-гладкую границу G																		x, y	.
								u ,v																			x, y

Пусть Gu ,v ( )

вписанная в

Gu ,v

ступенчатая область, состоящая из квадратов со стороной h.

Один из таких квадратов обозначим через Пi, j (h) u,v : ui u ui h, v j v v j h , где

ui ,v j - координаты левой нижней вершины квадрата. Образом квадрата Пi, j (h) при отображении r является измеримая область Gi, j (h) с кусочно-гладкой границей, состоящая из внутренних точек Gx, y .

Лемма 1 Оценка площади сегмента

Если функция

f (x)

имеет две производные на отрезке

a; a

, то площадь сегмента

(h) o(h

)

a h

f (a h) f (a)

Док. S(h)

f (x)

(x a) f (a) dx .

Разложим функцию S(h) по формуле Маклорена:

f (a h) f (a)

a h

S(0) 0, S (h)

f (a h)

h f (a)

f (a h)h f (a h) f (a)

(x a)

x a h

f (a

h)h

x a

S (h) f (a h)h f (a h) f (a h)

f (a h) h

h 0

S(h) o(h

) .

Следующая лемма оценивает ее меру.

ЛЕММА 2.



a)	f (a h)h f (a h) f (a)		dx
	h	2

f (a h) f (a)	h 0	0
	h 0

. Тогда по формуле Маклорена

(G	(h))
i, j

где J (u,v)

J (u	,v	j
i		j
xu	xv
yu	yv

) h	2	o(h	2	) ,

- якобиан отображения

ДОК. По лемме 1 мера области Gi, j (h) отличается от площади четырехугольника ABCD с вершинами A r(ui ,v j ) , B r(ui ,v j h) , C r(ui h;v j h) ,

D r(ui h, v j ) на величину порядка o(h2 ) .Оценим площадь SABCD = SABC SADC

x(u

h,v

h) x(u

ABC

x(u

) x(u

y(u	i	h,v		j		h) y(u			,v	j	h)
	i			j				i		j
		y(u	;v		j	) y(u	,v	j	h
		i			j	i		j

x (c

y (c

) o(1)

)

y (u

)

) o(1)

J (ui ,v j ) o(h

) .

Аналогично, S

J (u

) o(h2 )

ADC

Знак

выбирается с расчетом, что площадь была положительной. Тогда

(Gi, j (h)) J (ui ,v j ) h

o(h

) .

ТЕОРЕМА (формула замены переменной в двойном интеграле)

Пусть функция

f (x, y) непрерывна в замкнутой измеримой области Gx, y

.На замкнутой

x x(u,v),

измеримой области

Gu,v

задано кусочно-гладкое отображение

y y(u,v)

осуществляющее биекцию Gu,v

Gx, y . Тогда

f (x, y)dxdy =

f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) dudv .

Gx , y

Gu ,v

ДОК. С учетом утверждения леммы интегральная сумма для интеграла

f (x, y)dxdy

Gx , y

f (r(ui ,v j )) (Gi, j		(h)) f (r(ui ,v j )) J (ui ,v j ) (Пi, j (h)) o(1) (Gu,v )	(7)
i, j		i, j
Первое слагаемое справа является интегральной суммой для интеграла
	f (x(u, v), y(u, v))	J (u, v) dudv . По условию теоремы, при h 0 обе интегральные суммы
	f (x(u, v), y(u, v))
G
u ,v

имеют пределы, равные соответствующим интегралам, а из равенства (7) интегралы равны.

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл			dxdy				, где G - область с границей xy
			x	2	y	2

		G
		G
y x, y 4x,	x 0, y 0.

следует, что эти

1, xy 2,

РЕШЕНИЕ. Сделаем замену u xy , v

. Тогда область Gu ,v = (u;v) :1 u 2,1 v 4 -

прямоугольник. Обратная замена x

, y

uv и якобиан J (u,v)

dxdy

dudv

ln 4

Тогда

u ,v

Полярная замена переменных Для областей, граница которых является окружностью или ее частью, употребляют ПОЛЯРНУЮ

x r cos ,
замену переменных	, якобиан которого
y r sin .

	x	y	cos
J (r, )	r	r
J (r, )	x	y	r sin
	x	y	r sin

	sin	r
	r cos	r
	r cos

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл		sin	x	2
				2

	G
	x , y

кольцо на плоскости переменных x, y .

РЕШЕНИЕ. Gr , (r, ) : r 2 ,0

переменных r, :

y	2

dxdy , где Gx, y (x,

- прямоугольник на

y) :	2	x	2	y	2

плоскости

2

												2
sin			x2 y 2		dxdy = r sin rdrd							d
G	x , y						G					0
	x , y						r ,
						2
				2						2
2		r cosr		2			cosrdr		6	2	.
2		r cosr					cosrdr		6		.

Обобщенная полярная замена
		x a r cos						, r 0, 0; 2
Замена								, r 0, 0; 2
		y b r sin

2 r sin rdr

называется обобщенной полярной заменой. Ее

якобиан

a r

cos

b r

sin

J (r, )

ab r

2 1

sin

cos

a r

cos

sin

b r

sin

cos

Пример

Вычислить интеграл

xydxdy

, где


G	(x; y) R2 :	x	y	a

	xy dxdy 4	xydxdy
G	G

Тогда граница области

Сделаем замену

	x ar cos	4

		4
	y ar sin

с якобианом

2	3	3
4a	r sin	cos

	x		y	a	a	r cos	2

G		(r, ) : 0 r 1, 0

r ,

Тогда

a	r sin	2	a

2 - прямоугольник,

r	a		r 1 r 1
xy ar sin		2	cos	2
xy ar sin			cos

Область

																								1		/ 2						a	3	/ 2
		xydxdy				4a			r	2	sin	5		cos					5	drd 4a			3	r	2	dr	sin	5	cos	5	d	a		sin	5	2 d
								3		2		5							5				3		2			5		5					5
G					G																			0		0						24		0
G					G																			0		0								0
					r ,
	a	3				a	3	1													a	3
	a		sin	5	tdt	a		(1 u					2		)	2	du				a
				5									2			2
	48					48															45
	48		0			48		1													45
			0					1
																		4a		3
			xy dxdy 4						xydxdy									4a
			xy dxdy 4						xydxdy									45
G						G												45
G						G

П.3 Формула Грина для двойного интеграла

Рассмотрим двойной интеграл по криволинейной трапеции функции f (x, y) по переменной y :

K	a,b

( , , x)

от частной производной

f	dxdy b	dx ( x)	f	dy b	f ( (x)) f ( (x)) dx b	f ( (x))dx a	f ( (x))dx
y			y
K	a	( x)		a	a	b

Пример 5

Вычислить двойной интеграл

xy	2	dxdy
xy		dxdy
K

по области

					2	:1 x 2,				1
K (x, y) R						:1 x 2,				x	y x
										x
Решение
Если f (x, y) 1 xy3							, то xy2					f		. Тогда по формуле Грина
Если f (x, y) 1 xy3							, то xy2							. Тогда по формуле Грина
			3									y
			1	2						1					1	x	5	1	2	1	31	1	19
				2													5
xy	2							3
xy		dxdy	3			x x			x	x	3		dx		3			x			5		10
K			3	1						x					3	5		x	1	3	5	2	10
																			1
П. 5 «Дифференцирование» интеграла по области.
Пусть g - произвольная измеримая подобласть G . Числовую функцию F(g)																								назовем аддитивной
по g , если g g1 g2 , где											g		1 и g2		пересекаются только по границе, выполняется равенство
по g , если g g1 g2 , где													1 и g2		пересекаются только по границе, выполняется равенство

F(g) F(g1 ) F( Например, 1) F(g)

2) F (g)

g	2	)
	2

S(g)

f (x,

площадь области

y)dxdy ;

;

3) G область с поверхностно распределенной массой,

F(g)

масса области g ;

4) G область с поверхностно распределенным давлением, F(g)

давление на

область g .

Пусть M фиксированная точка области G , а

- произвольная измеримая область,

содержащая M .

Производной функции F(g) по области в точке M

называют предел

lim

F (g

)

f (M )

, если

)

( g ) 0

он существует.

Например, для F(g) S(g) ее производная по области равна f (M ) 1 и Sg

1 dxdy

Покажем, что если F (g) f (x, y)dxdy с непрерывной функцией

f (x, y)

в области G , то ее

производная по области в точке M (x, y) равна f (x, y) .

Действительно, по теореме о среднем

F (gM ) f x, y (gM ) lim	F (gM )	lim f x, y f (x, y)
	(gM )
( gM ) 0		( gM ) 0

В этом смысле двойной интеграл является «первообразной» подынтегральной функции.

Если через (x, y)	обозначить производную по области функции F(g) из примера 3, то ее
называют поверхностной плотностью и масса пластины g		вычисляется с использованием
интеграла

В примере 4 давление на пластину g

(x, y)dxdy g

определяется интегралом

p(x, y)dxdy

, где функция

p(x, y) удельного давления – производная функции F(g) по области.

П.6 Двойной интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница для прямоугольника.

Рассмотрим двойной интеграл от непрерывной функции f (u, v)

по прямоугольнику с

		c, y	:	F (
переменными длинами сторон Пa, x			:	F (
Тогда
x	y		y
x			y
F		f (x, v)dv, F
	c

	x y
x, y) f (u, v)dudv
	a c
x		xy
		xy
	f (u, y)du,	F	f (x, y)
a

			x	y
Действительно, при фиксированном y		производная функции F (x, y) du f (u, v)dv
			a	c
	y
	f (x, v)dv . При повторном дифференцировании по y получим		F	f (x, y)	.
Fx	f (x, v)dv . При повторном дифференцировании по y получим		xy		.

Тогда

по

равна

2 F

f (x, y)dxdy

dxdy dx

(x, d )

(x, c) dx

x y

c ,d

a ,b

(x, c)dx F (b, d ) F (a, d ) F (b, c) F (a, c)

(x, d )dx

Последняя формула является аналогом формулы Ньютона-Лейбница для одномерных интегралов Римана.

Вопросы к экзамену

1. Линейная замена в двойном интеграле. Формула для вычисления двойного интеграла с помощью линейной замены.

1. Нелинейная замена переменной в двойном интеграле, якобиан преобразования. Формула для вычисления двойного интеграла с помощью замены переменных.

2. Полярная замена переменной. Обобщенная полярная замена. Примеры.

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.20246.66 Mб0Metodichka_Grishina (1).pdf
#
17.05.2024353.18 Кб0VTA_lektsia_11.pdf
#
17.05.2024232.02 Кб0VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб0VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf
#
17.05.2024450.44 Кб0VTA_lektsia_5.pdf
#
17.05.2024443.26 Кб0VTA_lektsia_7.pdf
#
17.05.2024326.27 Кб0VTA_lektsia_8.pdf
#
17.05.2024505.71 Кб0VTA_lektsia_9.pdf