тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

Таким образом, установлена биекция между множеством, составлен­

ным из элементов b f и множеством индексов N, то есть доказана

счётность множества всех конечных последовательностей, состав­ ленных из элементов некоторого счётного множества А.

2.Антирефлексивность: V xe^ (Л'фХ)

3.Симметричность: ^ х&А^у<гА(Х(РУ —^.Уф-*)

Если даны два отношения: О — (A, G) и ¥ —(A, F ), то операции над

этими отношениями сводятся к операциям над их графиками:

Отношение называется отношением частичного порядка, если оно реф­

лексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением линейного порядка, если оно явля­

ется отношением частичного порядка и связно.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно анти-

рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением строгого линейного порядка, если

оно - связное отношение строгого порядка.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно реф­

лексивно, симметрично и транзитивно.

Классом эквивалентности, порождённым элементом х, называется множество всех элементов из А, вступающих с х в отношение эквива­

лентности.

Фактор - множеством множества А по отношению эквивалентности ф

называется множество всех различных классов эквивалентности, кото­ рое обозначается А / ср.

свойством а, то отношение О также обладает свойством а ”.

Обозначения: 1- рефлексивность, 2- антирефлексивность, 3 - симмет­ ричность, 4 - антисимметричность, 5 - транзитивность, 6 - связность.

Пусть А —{а,Ь,с}, G -{(a ,b )}, F —{(b,c)}. Тогда G ° F —{(а,с)}, G оF = А 2 \ {(а,с)} = {(а,а),(а,Ь),(Ь,а),(Ь,Ь),(с,а),(с,Ь),(Ь,с),(с,с)}.

Отношение Ф ° ¥ не транзитивно, так как его график G ° F содержит пары (а,Ь) и (Ь,с), но не содержит пару (а, с). Значит, в общем случае

утверждение, приведённое в примере 1, неверно.

Ад cz G, A i с: F. Значит, выполнено также включение: Ад G и / \ а

это и означает, что отношение O kjWтакже рефлексивно. То есть мы

показали, что утверждение примера 2 верно для произвольных отно­ шений О и ¥.

Задание 1.4.2

1. Выяснить, какими из свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность обла­ дает данное отношение О —(A, G).

2. Выяснить, что представляет из себя отношение О оО, О ° 0 1.

3.Построить на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное. Изобразить его графом и аналитически.

4.Построить на бесконечном множестве отношение, обладающее набо­ ром свойств, противоположным данному. В случае невозможности по­ строения доказать противоречивость набора требований.

Замечание. В случае отношений эквивалентности указать классы экви­ валентности, фактор-множество, индекс разбиения. В случае отношений частичного или линейного порядка указать максимальные, минималь­ ные, а также наибольшие и наименьшие элементы (если они существу­ ют).

1.Выясним, какими из основных свойств обладает данное отношение.

1. Отношение ф не является рефлексивным, так как найдётся теннисист, не обыгравший сам себя.

2. Отношение ф является антирефлексивным, так как каждый теннисист не обыграл сам себя.

3 . Отношение ф не является симметричным, так как найдётся пара теннисистов х и у такая, что х обыграл у по очкам в личных встречах, а у не обыграл х .

4.Отношение ф является антисимметричным, так как если х

6. Отношение ф является связным, так как любая пара спорт­ сменов должна сыграть между собой и выявить победителя.

2. Выясним, что из себя представляют отношения Ф°Ф и ФоФ_1.

По определению композиции, х фофу означает, что найдётся z такой,

что х ф z и z фу. То есть, в отношение Ф°Ф будут вступать такие пары

спортсменов х и у, для которых найдётся теннисист z такой, что х обыграл z, a z обыграл у.

Рассуждая аналогично, получим, что в отношение ф о ф -1 будут вступать такие пары спортсменов х и у, для которых найдётся теннисист z та­ кой, что х обыграл z, a z проиграл у. То есть график отношения

ф о ф - 1 будут образовывать пары, составленные из теннисистов, для ко­

торых найдётся хотя бы один спортсмен, которого они оба обыграли в турнире.

3. Построим на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное.

6. Отношение связно, так как любая пара различных элементов из мно­ жества {а,Ь, с} вступает в отношение ф в том или ином порядке.

4. Построим на бесконечном множестве отношение рефлексивное, не антирефлексивное, симметричное, не антисимметричное, транзитивное и не связное.

Пусть А = (0,+со), х фу означает, что х и у имеют одинаковую дроб­

ную часть.

1. Отношение рефлексивно, так как любое число имеет одинаковую дробную часть само с собой.

2. Отношение не антирефлексивно, так как найдётся число (например, 1,32), имеющее одинаковую дробную часть само с собой.

3. Отношение симметрично, так как если хну1имеют одинаковую дробную часть, то у и х также имеют одинаковую дробную часть.

4. Отношение ф не антисимметрично, так как, например, числа 1,78 и 4,78 не равны, и в то же время 4,78 ф 1,78 и 1,78 ф 4,78.

5. Отношение является транзитивным, так как если х иу1имеют одина­ ковую дробную часть, у и z имеют одинаковую дробную часть, то х

иz также имеют ту же самую дробную часть.

6.Отношение не связно, так как, например, 3,1+1,6 и ЗДф1,6 и 1,6фЗД .

Эго отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, значит, оно является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности яв­

ляются множества {хг хк —хт е Z} . Индекс разбиения, соответствую­

щего данному отношению эквивалентности - континуальный, так как мощность фактор-множества А /ф равна мощности всевозможных

дробных частей, то есть множеству точек промежутка (0,1).

Задание 1.4.3

х1 ц>х2 С4> / (.\'|) = f( x 2) . Это - отношение эквивалентности, которое поро­ ждает разбиение множества X на классы эквивалентности.

В нашем примере имеем: [а] = [с] = {а,с}; \d\ = {d}-,\b\ = \e\ = {b,e}. Эти

классы образуют фактор - множество множества X по отношению <р: X/(p ={{a,c},{d},{b,e}}.Заметим, что индекс разбиения множества

X равен 3. Введём соответствие так: g(a) = g(c) = {а,с), g(d) ={d},