ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Ватолкин_full

Ответ: f(x1,x2,x3,x4,x5)МДНФ = ˅ ˅ ˅ ˅ ˅ ˅ ˅ ˅ .

2.4 Получение абсолютно минимальных представлений функций алгебры логики в базисе { - , &, }.

Задача №4. Во всех случаях заданий по п. №1, 2, 3 получить абсолютно минимальное представление ФАЛ в базисе { - , &, }. Сравнить результаты.

Задача о нахождении такого аналитического представления ФАЛ, при котором число букв в представлении минимально в классе ДНФ, может быть решена с использованием скобочного представления ФАЛ.

1). Для функции

(1, 2, 3)СДНФ = 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3

найдена МДНФ вида:

f(x1,x2,x3) МДНФ = x2˅x1x3 ,

откуда видно, что найденная МДНФ уже является абсолютно минимальным представлением исходной ФАЛ.

2). Для функции

(1, 2, 3, 4)СДНФ =

=1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅

˅1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4

найдена МДНФ вида:

f(x1,x2,x3, x4)МДНФ = x2x4 ˅ x2x3 ˅ x1x2.

Если вынести за скобки x2, то получим абсолютно минимальное представление:

f(x1,x2,x3, x4)АМДНФ = x2 (x4 ˅ x3 ) ˅ x1x2.

Видно, что полученное выражение содержит 5 букв вместо шести и, следовательно, является более простым, чем МДНФ исходной функции.

21

3). Для функции

f(x1,x2,x3,x4,x5)СДНФ =

= 1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅

˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅

˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅

˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5

найдена МДНФ вида:

Если сгруппировать элементы и вынести за скобки 2 3 4, 3 4,3 4, 3 4 , то получим:

2 3 4(5 ˅ 1) ˅ 3 4(1 ˅ 2 5) ˅ 3 4(1 ˅ 2 5 ) ˅ 3 4(1 ˅ 2 5 ).

Продолжая группировку, получим: f(x1,x2,x3, x4, x5)АМДНФ =

= ( ˅ )( ˅ ) ˅ ( ˅ ) ˅ ( ˅ ). (**)

Видно, что полученное выражение (**) имеет более экономичную запись, чем МДНФ исходной функции (*), так как в МДНФ исходной функции имеем 29 букв, а в абсолютной минимальной форме 17 букв.

2.5 Минимизация исходной функции, записанной в базисе Вебба.

Задача №5. Записать исходную ФАЛ во всех случаях заданий по п. №1,2,3 в базисе Вебба; минимизировать её методами неопределённых коэффициентов, минимизирующих карт, Квайна, Квайна – Мак-Класки, карт Карно. Сравнить результаты.

22

Запишем исходную ФАЛ во всех случаях заданий п. №1,2,3 в базисе Вебба:

Решение:

Функция Вебба n переменных (n 1) определяется следующим образом:

т.е. на нулевом наборе переменных функция равна единице, а на остальных наборах – нулю.

Операция « ↓ » коммутативна, но не ассоциативна.

Переход от табличного задания функции к её совершенной нормальной форме осуществляется следующим образом:

Выделяем столбцы таблицы истинности, где функция обращается в 0, и для каждого выделенного столбца составляем терм: 1 ↓ 2 ↓ ↓ , где = , если = 0, и

= , если = 1, полученные термы соединяем знаком « ↓ ».

1.Функция трёх переменных.

x = x↓x↓…↓x , где x в правой части равенства входит n раз. Это является следствием то-

го, что запись с использованием отрицания в монофункциональном базисе Вебба некорректна. Однако, в дальнейшем для краткости записи функций тем не менее будем использовать операцию отрицания.

2.Функция четырёх переменных.

Для заданной функции четырёх переменных имеем

f(x1,x2,x3, x4)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4)↓ ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 223↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4).

3.Функция пяти переменных.

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5)↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5).

24

Преобразования и минимизация в базисе, состоящем из функции Вебба:

Решение:

1. Функция трёх переменных.

f(x1,x2,x3)СНФ = (x1↓x2↓x3) ↓ (x1↓x2↓x3) ↓ (x1↓x2↓x3).

1.Метод неопределённых коэффициентов.

Как и в классическом базисе, переходя к системе уравнений с неопределёнными коэффициентами для данной функции, получаем:

С учётом того, что все коэффициенты для уравнений, у которых в левой части стоит единица, равны нулю, преобразуем исходную систему к следующему виду:

Из системы следует, что 1200 = 1, 2300 = 1. Наиболее экономное реше-

ние для оставшихся уравнений: 123000 = 123001 = 123100 = 0. Получаем окончательный ответ:

f(x1,x2,x3)МДНФ =(x1 ↓ x2) ↓ ( x2 ↓ x3).

25

2.Метод минимизирующих карт.

f(x1,x2,x3)СНФ = (x1↓x2↓x3) ↓ (x1↓x2↓x3)↓ (x1↓x2↓x3).

Строим для функции минимизирующую карту:

Работа с картой производится аналогично классическому методу. Из карты видно1 ↓ 2 =1, 2 ↓ 3 =1. Откуда получаем окончательный ответ:

f(x1,x2,x3)МНФ = ( 1 ↓ 2) ↓ ( 2 ↓ 3).

3.Метод Квайна.

f(x1,x2,x3)СНФ = (x1↓x2↓x3) ↓ (x1↓x2↓x3)↓ (x1↓x2↓x3).

Минитермы третьего ранга: (x1↓x2↓x3)*, (x1↓x2↓x3)*, (x1↓x2↓x3)*.

Произведем все возможные неполные склеивания между этими минитермами. Минитермы, которые участвовали хотя бы в одном склеивании, отмечаем звездочкой, так как они в дальнейшем будут поглощены минитермом второго ранга. Получим минитермы второго ранга: ( 1 ↓ 2), ( 2 ↓ 3).

Построим таблицу меток:

После обработки таблицы получаем окончательный ответ: f(x1,x2,x3)МНФ = ( 1 ↓ 2) ↓ ( 2 ↓ 3).

4.Метод Квайна – Мак-Класки.

f(x1,x2,x3)СНФ = (x1↓x2↓x3) ↓ (x1↓x2↓x3) ↓ (x1↓x2↓x3).

26

Заменим исходные импликанты их кодами в двоичных переменных:

000, 001, 100.

Разобьём коды исходных импликант на группы, поместим их в таблицу. Далее применим закон склеивания к членам соседних групп, перебирая каждый член 1-й группы со всеми членами 2-й группы и т.д.

Все преобразования сделаем сразу в таблице:

Построим таблицу меток:

После обработки таблицы получаем окончательный ответ:

f(x1,x2,x3)МНФ = ( 1 ↓ 2) ↓ ( 2 ↓ 3).

5.Метод карт Карно.

f(x1,x2,x3)СНФ = (x1↓x2↓x3) ↓ (x1↓x2↓x3) ↓ (x1↓x2↓x3).

Построим карту Карно:

x3 x2

0

0 0

x1

Получаем окончательный ответ: f(x1,x2,x3)МНФ = ( 1 ↓ 2) ↓ ( 2 ↓ 3).

Сравнив, все результаты, полученные разными методами, убедившись, что они все одинаковы, запишем ответ задачи.

Ответ: f(x1,x2,x3)МНФ = ( 1 ↓ 2) ↓ ( 2 ↓ 3).

27

2. Функция четырёх переменных.

f(x1,x2,x3, x4)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4)↓ ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4).

1.Метод неопределённых коэффициентов.

Опираясь на вышеизложенные алгоритмы, составим систему уравнений с неопределёнными коэффициентами для данной функции, получаем:

С учётом того, что все коэффициенты для уравнений, у которых в левой части стоит единица, равны нулю, преобразуем исходную систему к следующему виду:

0 = 1200 ↓ 123000 ↓ 124000 ↓ 134000 ↓ 12340000 ; 0 = 1200 ↓ 123000 ↓ 124001 ↓ 12340001 ; 0 = 1200 ↓ 123001 ↓ 124000 ↓ 12340010 ; 0 = 1200 ↓ 123001 ↓ 124001 ↓ 12340011 ; 0 = 134000 ↓ 234100 ↓ 12340100 ; 0 = 234100 ↓ 12341100 .

Из полученной системы следует, что 1200 = 1, тогда элементы 123000 =

123001 = 124000 = 124001 = 134000 = 12340000 = 12340001 = 12340010 = 12340011 = 0.

28

В результате этих преобразований получаем:

234100 = 1, следовательно, элементы 134000 = 12340100 = 12341100 = 0. Получаем ответ:

f(x1,x2,x3, x4)МНФ =( ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ).

2.Метод минимизирующих карт.

f(x1,x2,x3, x4)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4)↓ ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4).

Построим для данной функции минимизирующую карту (см. Приложение №1, стр. 41).

Работа с картой производится аналогично классическому методу.

Пусть ( 1 ↓ 2) = 1, ( 2 ↓ 3 ↓ 4) = 1, тогда элементы, стоящие с элементами ( 1 ↓ 2), ( 2 ↓ 3 ↓ 4) в одних строчках будут равны нулю.

В результате этих преобразований получаем окончательный ответ:

f(x1,x2,x3, x4)МНФ =( ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ).

3.Метод Квайна.

f(x1,x2,x3, x4)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4)↓ ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4).

С помощью таблицы получим минитермы 3-го и 2-го рангов:

Согласно закону поглощения меньшее количество меток в столбце может исключить большее и, обработав таблицу, получаем ответ:

f(x1,x2,x3, x4)МНФ =( ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ).

4.Метод Квайна – Мак-Класки.

f(x1,x2,x3, x4)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4)↓ ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4).

Заменим исходные импликанты их кодами в двоичных переменных:

0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 1100.

Разобьём коды исходных импликант на группы, поместим их в таблицу. Далее применим закон склеивания к членам соседних групп, перебирая каждый член 1-й группы со всеми членами 2-й группы и т.д.

Все преобразования сделаем сразу в таблице:

Далее построим таблицу меток, в неё впишем исходные и первичные импликанты в виде двоичных кодов:

Обработку таблицы меток производим по методу Квайна.

30