Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

76.W. Koch, M. C. Holthausen. A Chemist’s Guide to Density Functional Theory. Berlin: Wiley-VCH, 2001.

77.E. S. Kryachko, E. V. Ludena. Density functional theory: Foundations reviewed, Phys. Rep., 544, 123 – 239 (2014).

78.L. H. Tomas. The calculation of atomic fields,

Proc. Cambridge Philos. Soc., 23, 542 (1927).

79.E. Fermi. Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. Rend., 6, 602 (1927).

80.F. Bloch. Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern, Z. Physik A, 52, 555 (1929).

81.P. A. M. Dirac. Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom,

82.A. D. Becke. A new mixing of Hartree–Fock and local density functional

theories, J. Chem. Phys., 98, 1372 (1993).

120

Часть II. Квантовые вычисления и квантовая нформатика Глава 2. Квантовый мир

“Quantum mechanics, that mysterious, confusing discipline, which none of us really understands, but which we know how to use.”

Murray Gell-Mann

The Nature of Matter, In Wolfson College Lectures 1980, Clarendon Press, 1981

Фундаментальными единицами информации в квантовых вычислениях являются квантовые биты точно так же, как биты являются фундаментальными единицами информации в классических вычислениях. Есть множество способов реализовать биты физически, например, состояния транзистора OFF/ON, свет включается или выключается в некоторой последовательности, положения тумблера, наконец. Точно так же есть много возможностей физически реализовать квантовые биты. Наиболее перспективны для физической реализации кубитов, как полагают, это ионы в ловушках и сверхпроводящая архитектура, однако, надежды также связывают с фотонными кубитами, азото-замещенными вакансиями в алмазе, ЯМР-кубитами, топологическими кубитами и многими другими реальными физическими и химическими явлениями.

Первая глава этой части книги посвящена одиночным кубитам.

В следующих главах рассматриваются множественные кубитные системы, измерение и преобразование их состояний.

Заканчивается эта вторая часть книги рассмотрением квантового преобразования Фурье и квантового алгоритма вычисления фазы, который собственно и был использован при первых квантово-химических расчетах молекул на квантовых компьютерах.

Познакомиться более глубоко с квантовой информатикой и квантовыми вычислениями можно по публикациям, приведенным в списке литературы к части второй, в частности, по обзорной публикации [1] и книге [2].

2.1. Введение

Первая глава этой части книги посвящена известным экспериментам с участием поляризованных фотонов, вводящих нас в квантовый мир, а также одиночным кубитам и их измерению. Затем перейдем к квантовому протоколу передачи ключа и рассмотрим пространство состояний одиночного кубита, в том числе, понятие относительных и глобальных фаз, а также обсудим геометрические образы состояний одиночных кубитов.

121

2.2. Квантовая механика поляризованных фотонов

Фотоны – это единственные частицы, которые мы можем непосредственно видеть. Проведем простой эксперимент, иллюстрирующий интуитивно не ожидаемые свойства таких квантовых объектов как фотоны, и вместе с тем фактически демонстрирующий квантовые алгоритмы и протоколы. Формализм квантовой механики, используемый для описания и объяснения этого эксперимента, непосредственно ведет к понятию квантового бита в качестве фундаментальной единицы квантовой информации, используемого в квантовых вычислениях. Этот простой эксперимент не только демонстрирует понятие квантового бита, но также иллюстрирует особенности квантового измерения. Нам понадобятся поляроиды с разной поляризацией, луч света как можно меньшей интенсивности, создаваемый, например, лазерной указкой, и экран.

Вначале между источником света и экраном поместим поляроид А (рис. 5). Можно ожидать, что интенсивность света, падающего на экран, уменьшится. Пусть этот фильтр А будет поляризован горизонтально.

Рис. 5. Одиночный поляроид А с горизонтальной поляризацией ослабляет свет, как ни странно, на 50%. Почему именно на 50%, если фотоны в исходящем луче света поляризованы произвольным, случайным образом?

Затем между поляроидом А и экраном поместим поляроид В, поляризованный вертикально (рис. 6). Свет на экране исчезнет. Это странно. Почему?

Рис. 6. Два взаимно ортогональных поляроида блокируют прохождение света.

122

Наконец, между двумя поляроидами А и В поместим третий поляроид Б (рис. 7). Можно ожидать, что помещение еще одного поляроида Б между двумя взаимно ортогональными поляроидами, блокирующими прохождение света, ничего не изменит: если свет блокируется двумя поляроидами, то помещение еще одного поляроида между этими двумя ничего изменить не может. Удивительно, но на экране появляется свет. Освещение экрана становится максимальным, если фильтр Б поляризован под углом 45°. Почему?

Рис. 7. Размещение третьего поляроида между двумя взаимно ортогональными поляроидами открывает доступ света на экран. Интенсивность света, достигающего экран, максимальна, если фильтр Б поляризован под углом 45° относительно обоих фильтров А и В, и равна 1/8 от исходной интенсивности.

Очевидно, что поляроиды не работают как простое сито. В противном случае при помещении поляроида Б он не мог увеличить число фотонов, достигающих экрана. Этот эксперимент демонстрирует непредсказуемые явления. С классической точки зрения добавление фильтра должно снизить количество фотонов, но никак не увеличить их число.

Этот эксперимент, если он проводится с интенсивным пучком света, находит объяснение в волновой оптике. Версия же эксперимента, описанного выше, предполагает луч света столь слабой интенсивности, что в каждый момент времени только один фотон взаимодействует с фильтром, что требует, конечно, специального оборудования. Результаты такого эксперимента с одиночными фотонами уже не могут быть объяснены классической волновой теорией, объяснение же находят только в квантовой механике. И дело не только в свете, который ведет себя столь странным образом. Квантово-механическое объяснение этого эксперимента затрагивает как понятие состояния поляризации фотона, так и модели взаимодействия фильтра с фотоном. Квантовое описание этого эксперимента, как и понятие квантового бита, иначе кубита (qubit), потребует использования таких основных понятий линейной алгебры как вектор, базис, ортонормировка и линейная комбинация. Линейная

123

алгебра используется повсеместно в этой книге. Ее основными понятиями мы воспользуемся в следующем параграфе § 2.3.

В квантовой механике состояние поляризации фотона моделируется единичным вектором – вектором длины, равной единице, ориентированным в определенном направлении. Единичные векторы, соответствующие горизонтальной и вертикальной поляризации фотона, обозначаются как |→ и |↑ , соответственно. Стандартное обозначение вектора в квантовой механике, соответствующее некоторому квантовому состоянию, записывается как | v вместо общепринятых в стандартной математике обозначений v или v . Введено такое обозначение было П. Дираком в 1958 г. [3] и является частью общепринятых скобочных (дираковских) обозначений в квантовой механике, которые более подробно рассматриваются в [4], широко применяются и используются далее во всех разделах книги, включая и начальную главу 1, посвященную классической квантовой химии.

Состояние с произвольной поляризацией | v выражается в виде линейной

Рис. 8. Измерение состояния | v = a |↑ +b |→ посредством измерительного

суперпозиция состояний |↑ и |→.

Квантовая механика моделирует взаимодействие между фотоном и поляроидом следующим образом. У поляроида есть предустановленная ось, его

пройдет фильтр с вероятностью и абсорбируется с вероятностью вероятность того, что фотон пройдет через поляроид, равна квадрату величины амплитуды его поляризации в направлении предустановленной оси поляризации фильтра, а вероятность того, что фотон абсорбируется фильтром равна квадрату величины амплитуды в направлении, перпендикулярном предустановленной оси фильтра. Более того, любой фотон, прошедший через поляроид, будет теперь поляризован в направлении оси, предустановленной в фильтре. Такая вероятностная природа взаимодействия и результирующее изменение состояния фотона характерны для любых взаимодействий между кубитами и их измерительными устройствами, независимо от того какова физическая реализация кубитов и их измерительных устройств.

В описанном эксперименте любые фотоны, прошедшие через поляроид А (рис. 5), останутся поляризованными в направлении предустановленной оси поляризации поляроида, у нас это поляризация в горизонтальном направлении |→. Эти горизонтально поляризованные фотоны имеют нулевую амплитуду в вертикальном направлении, так что у них нет шанса пройти через поляроид В, у которого направление поляризации вертикальное. По этой причине экран остается неосвещенным (рис. 6). Имей фильтр В поляризацию, отличную от вертикальной, горизонтально поляризованный фотон, покинувший поляроид А, имел бы какую-то амплитуду в направлении предустановленной оси поляризации этого не вертикально поляризованного фильтра В, и некоторые фотоны достигли бы экрана.

Чтобы понять, наконец, что происходит при размещении между фильтрами А и В поляроида Б с предустановленным направлением оси поляризации под углом 45° | (рис. 7), перепишем горизонтально поляризованные фотоны |→,

налетающие на фильтр Б, в виде |→ = 12 | − 12 | . Итак, любой фотон,

прошедший через поляроид А поляризован горизонтально. Из приведенного разложения видно, что его амплитуда в направлении поляризации | фильтра

Б есть 1/2 . Это означает, согласно квантовой механике, что горизонтально поляризованный фотон пройдет фильтр Б с вероятностью (1/2)2 =1/2 . Далее, все фотоны, прошедшие фильтр Б, имеют поляризацию | этого фильтра. Когда они налетают на поляроид В с предустановленным вертикальным направлением поляризации |↑ , они обладают амплитудой 1/2 в этом вертикальном направлении, и опять ровно половина их пройдет через поляроид В и попадет на экран (рис. 7). Вот так квантовая механика объясняет, почему свет попадает на экран при конфигурации поляроидов, как на рис. 7, и почему

125

интенсивность света на экране уменьшается в 8 раз по сравнению с первоначальной интенсивностью света, падающего на первый экран А:

Итак, состояние поляризации фотона в квантовой механике моделируется единичным вектором. Взаимодействие фотона с поляроидом, как измерительным прибором, является вероятностным процессом, результат которого зависит от амплитуды поляризации фотона относительно предустановленной оси поляризации поляроида. Фотон может пройти или абсорбироваться поляроидом в зависимости от того, насколько поляризация фотона совпадает с поляризацией фильтра.

2.3. Одиночные кубиты

Все пространство возможных состояний поляризации фотона может служить примером квантового бита (кубита). Одиночный кубит может принимать бесконечно большое число возможных значений: любое состояние, представленное единичным вектором a |↑ +b |→ , есть легитимное, разрешенное значение кубита. Амплитуды a и b могут быть комплексными числами. При объяснении эксперимента в предыдущем параграфе комплексные числа нам не потребовались: в случае поляризации фотонов мнимые амплитуды соответствуют круговой поляризации.

Набор всех возможных состояний физической системы называют пространством состояний этой системы. Любая квантово-механическая система, которая представима двумерным комплексным пространством, может рассматриваться в качестве кубита. Другими словами, в роли кубита может быть любая квантовая система с двумя различимыми состояниями. Для таких систем в англоязычной литературе используется термин two-state quantum system. Примерами таких систем служат фотоны, спины электронов или ядер, основное состояние атома вместе с одним из его возбужденных состояний. Характеристика таких квантовых систем с двумя различимыми состояниями не означает, что пространство их состояний ограничено лишь двумя состояниями, напротив, пространство их состояний неограниченное, просто, любое из бесконечного числа возможных состояний таких квантовых систем представимо в виде линейной комбинации (суперпозиции) лишь двух (различимых) состояний. Чтобы двумерное комплексное векторное пространство можно было рассматривать как кубит, два линейно независимых состояния, обозначаемые как | 0 и |1 , должны быть различимы. Для теории

126

обработки квантовой информации одинаково хороши любые квантовые системы с двумя различимыми состояниями, будь то спин электрона или атомного ядра или два энергетических уровня атома или два различимых конформационных состояния молекулы, разделенных энергетическим барьером. В прикладном отношении не совсем ясно какие именно квантовые системы с двумя различимыми состояниями наиболее приемлемы в качестве физической реализации квантовых компьютеров, как устройств обработки квантовой информации. Похоже, приемлемы различные физические реализации кубитов.

Дираковские обозначения скобок бра v | и кет | v широко используются в квантовой физике для представления квантовых состояний и для их преобразования. Сейчас мы поясним ту часть скобочных обозначений, которая используется для представления квантовых состояний. Позже мы расширим эти обозначения применительно к преобразованию квантовых состояний.

В дираковских обозначениях кет-вектор | x означает вектор, представляющий некоторое состояние квантовой системы. Вектор | v есть линейная комбинация векторов | s1 ,| s2 ,...,| sn в том случае, если существуют

комплексные числа ai такие, что |v =a1 | s1 +a2 | s2 +... +an | sn .

Набор векторов S порождает комплексное векторное пространство V , если каждый элемент | v из V может быть записан в виде линейной комбинации

линейной комбинации векторов из B , называется базисом для векторов из V . В двумерном векторном пространстве два любых вектора образуют базис, если они не могут быть преобразованы друг в друга умножением на число, если они не пропорциональны друг другу. В квантовой механике базисы обычно предполагаются ортонормированными. Смысл этого термина вскоре поясним. Два различимых состояния | 0 и |1 также должны быть ортонормированными.

Внутреннее (скалярное) произведение v2 | v1 двух векторов в комплексном

векторном пространстве V есть комплексная функция, определяемая парой векторов | v1 и | v2 из V и удовлетворяющая следующим свойствам:

127

•v |v есть действительное неотрицательное число,

•v2 |v1 = v1 |v2 ,

•(a v2 | +b v3 |) |v1 =a v2 |v1 +b v3 |v1 ,

где z есть число z = a −ib , комплексно сопряженное с z = a + ib .

Два вектора | v1 и | v2 ортогональны, если v1 | v2 = 0 . Набор векторов является ортогональным, если все его векторы ортогональны друг другу. Длина

для любого вектора | x . Набор векторов называется ортонормированным, если все его векторы имеют единичную длину и ортогональны друг другу: набор векторов B ={| β1 ,| β2 ,...,| βn } ортонормированный, если βi | βj =δij для всех

ортонормированными базисами, так что если далее упоминается какой-либо базис, то он предполагается ортонормированным.

В пространстве состояний квантовой системы с двумя различимыми состояниями с целью представить кубит нужно в этой системе определить два ортонормированных различимых состояния, обозначаемых обычно | 0 и |1 . Кроме требования ортонормированности, эти состояния могут выбираться произвольно. Например, в случае поляризации фотонов в качестве состояний

«влево» и спину «вправо». Обсуждая кубиты и обработку квантовой информации в целом, стандартный базис {| 0 ,|1 }, относительно которого будем формулировать все утверждения, нужно выбрать заранее и жестко следовать ему. Значения классических битов 0 и 1 закодируем посредством различимых состояний | 0 и |1 . Это кодирование устанавливает прямое соответствие между битами и кубитами: биты могут принимать только два значения 0 и 1,

Как только базис выбран, векторы и линейные преобразования можно записывать в матричной форме. Так, если выбран базис {| β1 ,| β2 }, кет-вектор

a1

вектору v = a2 его комплексно транспонированный (сопряженный) вектор есть

an

v† = (a1,a2 ,...,an ) .

В дираковских обозначениях комплексно сопряженным вектором по

a1

отношению к кет-вектору | v = a2 есть бра-вектор v | = (a1,a2 ,...,an ) . Бра-вектору

an

соответствует строчный вектор v† .

произведение совпадает со стандартным скалярным произведением в

произведение бра-векторов a | и кет-векторов | b иногда называют словом bracket. Выполняются следующие соотношения, где v = a | 0 +b |1 :

0 | 0 = 1|1 =1, 1| 0 = 0 |1 = 0, 0 | v = a, 1| v = b .

129