лекции / Електрика і магнетизм_методика розв'язування задач

6. Магнітне поле. Магнетики

Елементи магнітних кіл, як і електричних, можуть з’єднуватись послідовно або паралельно. Закони магнітних кіл використовують для розрахунків магнітних параметрів аналогічно до розрахунків параметрів електричних кіл постійного струму. Зокрема, для складних магнітних кіл застосовують правила Кірхгофа, які мають вигляд:

Маючи на увазі формальну аналогію між магнітними і електричними колами, слід завжди пам’ятати про їхню різну фізичну суть.

6.3.Якісні задачі та запитання

6.1.У чому спільність і відмінність між магнітним полем довгого прямолінійного провідника і електричним полем лінійно розподіленого нерухомого заряду?

6.2.Як зміниться індукція всередині довгого соленоїда, якщо подвоїти діаметр витків?

6.3.Як напрямлена сила, з якою магнітне поле Землі діє в північній півкулі на горизонтальний провідник із струмом? Розглянути випадки: а) провідник розміщений в площині магнітного меридіана і струм напрямлений із півночі на південь; б) провідник перпендикулярний площині магнітного меридіана і струм напрямлений із заходу на схід.

6.4.Опишіть взаємодію двох однакових обручів, які мають спільний центр і вільно розміщені один горизонтально, а другий вертикально, якщо струми в них однакової величини і напрямлені за годинниковою стрілкою.

6.5.У горизонтальній площині розміщений виток невизначеної форми із гнучкої дротини. Виток пронизує однорідне магнітне поле, напрямлене вертикально вниз. Яку форму прийме виток, якщо по ньому пропустити струм? Що зміниться, якщо помістити даний виток із струмом в неоднорідне магнітне поле?

6.Магнітне поле. Магнетики

6.6.Сферичний конденсатор, заповнений діелектриком і заряджений до деякої різниці потенціалів, розряджається через свій діелектрик. Яким буде магнітне поле струмів розряду в просторі між сферами (форма силових ліній і їх напрям)?

6.7.При якій орієнтації контуру із струмом в зовнішньому магнітному полі поворот контуру на 180о відбувається без виконання роботи?

6.8.Чи зберігається магнітна індукція постійною в точках, які лежать на певній силовій лінії індукції?

6.9.Струм тече у довгій мідній трубі. Чи існує магнітне поле всередині і ззовні труби? Як зміниться індукція магнітного поля всередині мідної труби при збільшенні струму, що тече вздовж труби, у два рази?

6.10.Чи однорідне магнітне поле у всіх точках всередині колового контуру із струмом?

6.11.Чи сильно відрізняється намагнічення до насичення парамагнетика від залишкового намагнічення у феромагнетиках?

6.12.Чому магніт притягує ненамагнічений залізний предмет, наприклад залізні цвяхи?

6.13.Чи буде діяти яка-небудь результуюча сила або обертовий момент на намагнічений залізний стрижень; на постійний штабний магніт, якщо обидва вони поміщені в однорідне магнітне поле.

6.14.На гладкій поверхні стола поблизу сильного магніту лежить прив’язаний до нитки цвях. Будучи вивільненим від зв’язку, цвях притягується до магніту. Яке джерело кінетичної енергії, якої набуває цвях перед ударом у магніт?

6.15.Намагнічену стальну спицю, кінці якої утримують однакові цвяхи, нагрівають добіла з одного кінця (приблизно до середини спиці) і потім швидко охолоджують. Після цього один кінець спиці не утримує цвяхи, в той час, як другий – їх утримує. Чому?

6.Магнітне поле. Магнетики

6.4.Приклади розв’язування задач

Задача 6.16 Вздовж контуру, зображеного на рис. 6.2. проходить струм силою 10 А. Визначити:1) магнітну індукцію в точці О, якщо радіус дуги А R=10 см, кут 600 ; 2) магнітний

Вмомент контуру із струмом; 3) мо-

Визначимо модулі всіх трьох доданків. Оскільки кут 60o , то дуга АВ становить 1/6 частину довжини кола, а тому

BAB μ0І (згідно з формулою 6.7 д). Використавши формулу

12R

(6.7 а), визначимо

2) Магнітний момент контура із струмом дорівнює Pm ІSn0 , де n0 – нормаль до контуру і напрямлений перпендикулярно до площини контуру. Площа контуру АВС дорівнює 1/6 площі кола

6. Магнітне поле. Магнетики

сила, якщо провідник розпрямити? 2) Який магнітний потік перетинає контур півкільця? 3) Яку роботу потрібно

виконати, щоб контур повернути відносно осі Ox на кут

90о, 180о?

Р о з в’ я з а н н я. 1) Для визначення сили, що діє на півкільце, необхідно використати принцип суперпозиції. Оскільки на кожний елемент струму сили матимуть різний напрям (напрямлені вздовж радіуса півкільця і лежать у площині рисунка), то складові сили dF на осі координат Oх та Oy, що діють на елемент струму Іdl , різні, а саме:

6. Магнітне поле. Магнетики

При переході від одного елемента dl до іншого кут

Обчислення дають, що F = Fy=3,8·10–5 H.

Якщо провідник l розпрямити, то всі елементарні сили dFi будуть паралельні між собою і результуюча сила F BІl, яка в/2 раз більша від сили F, тобто F 6·10–5 Н.

2) Магнітний потік, що перетинає контур півкільця дорівнює:

22π

3)Робота, яку виконує сила Ампера при переміщенні контуру

із струмом, дорівнює добутку сили струму на зміну магнітного потоку крізь поверхню, обмеженуконтуром, тобто

A1 І Ф==І(Ф2 Ф1 ). (д)

При повороті контуру на 90о потік Ф2 =ВScos90o = 0 і робота А1 = – ІФ1= – 0,287·10–6 Дж. Знак мінус вказує, що роботу

виконує зовнішня сила проти сили Ампера. Якщо повернути контур на 180о, то Ф2 = –Ф1 і А2= – 2ІФ1= – 0,574·10–6 (Дж).

Задача 6.18. Мідний провідник перерізом S=2 мм2, зігнутий у вигляді трьох сторін квадрата, може обертатись відносно горизонтальної осі (рис. 6.4). Провідник перебуває в однорідному магнітному полі, напрямленому вертикально. Коли вздовж провідника протікав струм силою 10 А, рамка відхилилась на кут 30о. Визначити індукцію магнітного поля.

Р о з в’ я з а н н я. На кожну із трьох частин рамки діє сила Ампера і сила тяжіння, які відносно осі обертання Оx спричинюють моменти сил, і при рівновазі сума їх моментів дорівнює нулю. Сили Ампера, що діють на струми, які течуть вздовж сторін АD і ВC, спрямовані вздовж осі Ox, однакові за величиною і протилежні за напрямком (ці сили на рис. 6.4 а не показані).

6. Магнітне поле. Магнетики

Тільки сила Ампера FА=BІl, що діє на частину провідника СD (струм напрямлений від С до D), спричиняє відхилення контуру (рис. 6.4.б), оскільки вектори В та Іl взаємно перпендикулярні (l

– сторона квадрата). Її момент відносно осі Ох, дорівнює

М1=FAlcos =ВІl2cos (а)

і напрямлений вздовж осі Ox. У полі сили тяжіння на кожну сторону квадрата діють сили FT2=mg=DVg (D – густина міді , V=Sl – об’єм провідника). Для двох сторін АD і ВC моменти сил відносно осі обертання Оx дорівнюють

напрямлений вздовж осі Ox. Умова рівноваги: М1–М2–М3–М4=0, тобто

Обчислення дають, що В 0,02 Тл.

6. Магнітне поле. Магнетики

Тут прийняті позначення AB=CD=a, BC=DA=b. Оскільки чисельно F1 > F3, то результуюча сила F напрямлена в бік сили

F1 і чисельно дорівнює:

6. Магнітне поле. Магнетики

Обчислення дають, що F=5,3·10–7 Н.

Робота зовнішніх сил при повороті рамки, згідно з формулою (6.13), дорівнює роботі сил поля , але має протилежний знак, тобто:

A = – А= – І2(Ф2 –Ф1) = І2(Ф1 –Ф2)=І2 Ф, (в)

де Ф1 та Ф2 – потоки крізь площу рамки до і після її повороту. Через неоднорідність поля прямого провідника для визначення

потоків Ф1 та Ф2 необхідно розглянути елементарний потік dФ через площадку dS = a·dx, який дорівнює dФ BndS Badx. Тоді, враховуючи вираз (6.7 в) для напруженості магнітного поля безмежно довгого провідника:

Робота зовнішніх сил, згідно формули (в) дорівнює:

Задача 6.20. Кусок технічно чистого заліза поміщено в магнітне поле напруженості Н = 0,1·103А/м. Визначити: 1) магнітну сприйнятливість і проникність заліза; 2) його намагніченість. Магнітні властивості заліза виражені графіком (рис. 6.6).

Р о з в’ я з а н н я. 1) Магнітна проникність феромагнетиків, зокрема заліза, залежить від напруженості магнітного поля згідно з графіком (рис. 6.6) з якого при заданому Н визначається індукція магнітного поля (В=1,5 Тл), а використавши зв'язок В і Н (B μμ0H ) можна визначити відносну статичну магнітну

6. Магнітне поле. Магнетики

де Н – напруженість поля в осерді Н0 – напруженість поля в повітряній щілині шириною l'; NІ – сума сил струмів, зчеплених контуром інтегрування.

Оскільки межі щілини перпендикулярні лініям індукції, вектор індукції не терпить розриву, індукція В однакова у щілині та осерді і напруженість поля у щілині:

Підставивши вираз (в) у (б), одержимо рівняння, що містить дві невідомі величини Н і В. Аналітичний зв’язок між цими величинами невідомий. Проте відома крива залежності В(Н) для даного сорту заліза (див. рис. 6.6), що дозволяє вирішити задачу графічно.

Підставивши рівняння (в) у (б), одержимо:

H(l-l') Bl' NI , μ0

або, нехтуючи l' у порівнянні з L в першому доданку:

Як видно з виразу (г), при заданій формі осердя між В і Н існує лінійна залежність. Графічно, в координатах В, Н, ця залежність зображається прямою, що перетинає координатні осі графіка рис. 6.8, що є частиною графіка, наведеного на рис. 6.6 у точках:

6. Магнітне поле. Магнетики

Знайти магнітну індукцію та напруженість поля у центрі даного контуру. Дослідити знайдений вираз при n .

6.26.Знайти індукцію магнітного поля на осі колового витка радіуса 5 см із струмом силою 1А у точці, яка розташована від центра витка на відстані 20 см.

6.27.Із куска ізольованої дротини зроблено коловий виток радіуса R і підключено до джерела струму з постійною е.р.с. Як зміниться напруженість магнітного поля в центрі кола, якщо із того ж куска дроту зроблено два прилеглих один до одного витка?

6.28.Знайти напруженість магнітного поля у центрі плоскої спіралі з провідника, уздовж якого тече струм силою І. Спіраль розташована між колами радіусів R1 та R2. Загальне число витків N. Поле підвідних провідників не враховувати.

6.29.Два колових струми однакового радіуса R перебувають один від одного на відстані їх діаметра. Струми однакового напрямку і однакової сили І. Яка напруженість магнітного поля у довільній точці на спільній осі витків? Початок координат взяти на середині між витками. Побудувати наближений графік розподілу напруженості поля Н вздовж осі.

6.30.У достатньо довгій шині, закріпленій горизонтально, тече струм І1. На якій відстані d від шини паралельно їй в тій же вертикальній площині повинен бути розміщений без ізоляції достатньо довгий мідний провідник, щоб сила магнітної взаємодії зрівноважила силу тяжіння провідника, якщо у ньому в тому ж напрямі тече струм І2? Маса провідника m, його довжина l.

6.31.Уздовж довгого прямого соленоїда, який має 45 витків

на один сантиметр довжини соленоїда, проходить струм силою 3 А. Визначити напруженість поля: а) усередині соленоїда; б) у центрі однієї із його основ.

6.32. В однорідному магнітному полі з індукцією 0,05 Тл розміщено плоский контур, площа якого 20 см2, а нормаль до площини контуру утворює кут 30о з лініями індукції. Визначити: а) магнітний потік, що пронизує контур, б) механічний момент, що діє на контур при струмі в ньому 5 А; в) роботу, яку необхідно виконати, щоб повернути контур на 90о, на 180о; г) роботу зовнішніх сил при переміщенні контуру із струмом 2 А в область простору, де магнітного поля немає.

6. Магнітне поле. Магнетики

нітний потік в осерді при силі струму 0,3 А; б) при якому струмові магнітний потік у кільці дорівнює 0,5 мВб? При розв’язку задачі використати рис. 6.6 задачі 6.20.

6.46 Середня довжина кола залізного кільця 0,5 м. У нього зроблено проріз довжиною 5 мм. На кільце намотано 5000 витків дроту, в якому проходить струм силою 9 А. Індукція в прорізі 20 Тл. Визначити магнітну проникність заліза за цих умов, якщо площа перерізу потоку в прорізі в 1,5 разабільша за площу перерізу кільця.

6.47.В осерді тороїдальної котушки, середня довжина якої 10 см, є поперечний повітряний розріз товщиною 1 мм. При виключеному струмові в обмотці індукція магнітного поля в розрізі дорівнює 0,04 Тл. Визначити напрям і модуль векторів напруженості, індукції та намагніченості в осерді.

6.48.Оцінити середню відстань електронів від ядра в атомі

міді, якщо відомо, що питома діамагнітна сприйнятливість міді дорівнює –11,6·10–8м3/кг.

6.49 Магнітний момент молекули кисню 2,6·10–23 Ам2. Визначити парамагнітну сприйнятливість кисню за нормальних умов.

6.50. Магнітний момент молекули має порядок одного

магнетону Бора (Pmб 1 e =0,927·10–23 А·м2). Приймаючи, що

2 m

молекули ідеального газу мають постійний магнітний момент Pmб, знайти максимально можливу намагніченість при температурі 100 ºС і тиску 101,3 кПа.

6.51.Довгий циліндричний стрижень із парамагнетика з магнітною сприйнятливістю χ і площею поперечного перерізу S розміщений вздовж осі котушки із струмом. Один кінець стрижня розташований у центрі котушки, де індукція магнітного поля дорівнює В, а другий кінець – в області, де магнітне поле практично відсутнє. З якою силою котушка діє на стрижень?

6.52.Приймаючи, що електрон у незбудженому атомі водню

рухається вздовж колової орбіти радіусом 52,8 пм, визначіть: а) магнітний момент еквівалентного колового струму; б) орбітальний механічний момент електрона; в) з отриманих

6. Магнітне поле. Магнетики

результатів обчисліть гіромагнітне відношення орбітальних моментів.

6.53.Напруженість однорідного магнітного поля у платині 5 А/м. Визначити магнітну індукцію поля, створювану

молекулярними струмами, якщо магнітна сприйнятливість платини 3,6·10–4.

6.54.Уздовж колового контуру радіусом 40 см, поміщеного в

рідкий кисень, тече струм 1 А. Визначити намагніченість у центрі цього контуру. Магнітна сприйнятливість рідкого кисню 3,4·10–3.

6.55.Визначити коерцитивну силу в матеріалі постійного магніту довжиною 15 см, якщо поле поза магнітом зникає при наявності струму 2 А в обмотці, що містить 300 витків, яка навита на магніт.

6.56.Парамагнітна кулька об’ємом V = 41мм3 перебуває

внеоднорідному магнітному полі, яке змінюється за законом В=В0ехр(–ах2), де В0=1,5 Тл, а = 100 м–2. Знайти: а) на якій

відстані хМ на кульку діятиме максимальна сила; б) магнітну сприйнятливість матеріалу кульки, якщо максимальна сила, яка діє на кульку, FM = 160 мкН.

6. 57. На залізне кільце із середнім діаметром 50 см намотано обмотку із 800 витків. У кільці є поперечна щілина шириною 2 мм. Нехтуючи розсіюванням магнітного потоку на краях щілини, знайти за допомогою графіка, наведеного на рис. 6.6, напруженість та індукцію магнітного поля в кільці, оцінити ефективну магнітну проникність заліза при струмі в обмотці 3,0 А.

6.58. На рис. 6.6 наведена основна крива намагнічування технічно чистого заліза. Побудувати за допомогою цього графіка залежність магнітної проникності заліза від напруженості магнітного поля. При якому значенні Н статична магнітна проникність μ максимальна? Оцініть значення μМАКС.

7. Електромагнітна індукціяРОЗДІЛ 7

ЕЛЕКТРОМАГНІТНА ІНДУКЦІЯ

7.1. Короткі теоретичні відомості

Явище електромагнітної індукції Фарадея–Максвелла полягає у виникненні електричного поля із замкненими силовими лініями (вихрового поля) у змінному магнітному полі. Характеристикою наведеного (індукованого) поля є електро-

рушійна сила (е.р.с.) індукції ε – це робота сил вихрового електричного поля з переміщення одиничного (в системі СІ 1 Кл) позитивного заряду вздовж замкненого контуру. Збуджене таким чином електричне поле обумовлює виникнення в колі електричного струму, який називається індукційним. Напрям цього струму визначається правилом Ленца, згідно з яким індукційний струм у контурі створює магнітне поле, яке перешкоджає зміні магнітного потокучерез контур.

Е.р.с. індукції ε може бути розрахована за формулою:

де Ф – зміна за час Δt магнітного потоку через поверхню, обмежену контуром. Таким чином, е.р.с. індукції дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через площу, обмежену контуром, а знак “–” вказує на те, що е.р.с. індукції вважається додатною тоді, коли магнітний потік зменшується, тобто, згідно з правилом Ленца, індукований струм протидіє зміні магнітного потоку через контур або зміна магнітного потоку через площу контуру протидіє зміні струму в ньому. Нагадаємо, що під магнітним потоком розуміється потік вектора індукції магнітного поля В через площадку S, який є скалярною величиною, що обчислюється за формулою Ф=ВScosα, де α – кут між вектором В та нормаллю до площадки S.

Якщо е.р.с. індукції створюється у замкненому провідному контурі, повний опір якого R, то миттєве значення індукованого в

ньому струму I= ε/R, а повний заряд Δq, який протікатиме у контурі за весь час зміни магнітного потоку, становить:

7. Електромагнітна індукція

Е.р.с. у провіднику довжиною l, який переміщується в однорідному магнітному полі, індукція якого В, із сталою швидкістю υ, дорівнює:

(тут вважається, що υ і l взаємно перпендикулярні).

Е.р.с. індукції, яка виникає в рамці, що має N витків, площею S, при обертанні рамки з кутовою швидкістю ω в

де εМ =BNSω – амплітудне значення е.р.с., ωt – миттєве значення кута, що утворює вектор В з вектором нормалі до площини рамки. Формула (7.4) використовується для визначення е.р.с. генераторів змінного струму.

Магнітний потік через контур і сила струму у ньому зв’язані

Якщо струм у замкненому провіднику змінюється, то в провіднику внаслідок зміни його магнітного поля виникає е.р.с. самоіндукції, яка пропорційна швидкості зміни струму в

Індуктивність контуру залежить від форми та розмірів провідника. Індуктивність соленоїда (тороїда) довжиною l:

де N – число витків соленоїда (тороїда), n=N/l – число витків на одиницю довжини, S – площа поперечного перерізу, l –довжина, V – об’єм соленоїда (тороїда), μ – відносна магнітна проникність сердечника. Коефіцієнт к залежить від співвідношення довжини l та діаметра D соленоїда.

7. Електромагнітна індукція

Значення к можна знайти із таблиці:

Відносна магнітна проникність μ сердечника соленоїда (тороїда) залежить від напруженості Н магнітного поля. В усіх випадках обчислення індуктивності соленоїда (тороїда) з феромагнітним сердечником для визначення L слід користуватися графіком залежності В від Н, а потім формулою:

Якщо система складається з двох окремих замкнених провідників, то із зміною струму в одному із них виникає е.р.с. взаємної індукції в другому, яка дорівнює

де ε21 – е.р.с. у другому контурі, І1 – струм у першому контурі і,

відповідно, ε12 – е.р.с. у першому контурі, І2 – струм у другому контурі, М – коефіцієнт взаємної індукції, Ф21 – магнітний потік у другому контурі, створений струмом І1, Ф12 – магнітний потік у першому контурі, створений струмом І2.

При наявності у колі двох котушок із індуктивностями L1 та L2 і взаємною індуктивністю М загальна індуктивність системи дорівнює:

направлені однаково.

Зміна сили струму з часом після замикання кола, яке містить джерело струму, опір R та індуктивність L, визначається формулою:

L

Тут ІМ = ε/R, де ε– е.р.с. джерела струму, t – час, який пройшов з моменту замикання кола. Величина L/R = τ носить назву часу релаксації.

7. Електромагнітна індукція

Зміна сили струму з часом після замикання кола з індуктивністю L на опір R (без джерела струму):

де ІМ – сила струму в колі при t = 0, t – час, який минув з моменту замикання кола.

Енергія магнітного поля WM, утвореного контуром (соленоїдом), визначається рівнянням:

де І – струм у контурі, L – його індуктивність. Об’ємна густина енергії магнітного поля:

де В і Н – індукція і напруженість магнітного поля, μ – відносна магнітна проникність середовища.

Магнітна взаємодія між витками із струмом, наприклад, у соленоїді приводить до виникнення осьової fl та радіальної fR механічних напруг, які дорівнюють об’ємній густині енергії магнітного поля:

Напруги fl та fR приводять до деформації соленоїда.

7.2.Методичні вказівки і поради

Вявищах електромагнітної індукції магнітний потік крізь контур може змінюватися як при русі контуру або окремих його ділянок, так і при зміні з часом магнітного поля. В обох випадках для визначення е.р.с. індукції користуються законом ФарадеяМаксвелла (7.1).

Щоб визначити е.р.с. індукції, треба обчислити тільки зміну потоку індукції через площу, обмежену контуром. При цьому не має значення, чому змінюється цей потік: чи тому, що змінилась