LEKTsIYa_5
.docЛЕКЦИЯ 5
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИ
Пусть функция определена в некоторой области X, т.х0 принадлежит
этой области.
Определение: Функция называется непрерывной в т. х0, если она определена в окрестности этой точки, включая и х0 и если
(1)
Или, в других терминах: переход от значения х0 к другому значению х можно представить так, что значению х0 придано приращение. Новое значение функции отличается от старого на приращение
(2)
Для того, чтобы была непрерывна в т. х0, необходимо и достаточно чтобы ее приращение в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением .
(3)
Или, другими словами:
Определение 2. Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Еще одна формулировка непрерывности функции.
Определение 3. Функция , определенная в некоторой окрестности т.называется непрерывной в точке , в которой она принимает значение , если, каково бы ни было малое положительное , можно указать другое положительное число , выбор которого зависит от выбора , такое, что каждому значению аргумента х, взятому из -окрестности т.а, соответствует значение функции в - окрестности .
В некоторых случаях необходимо рассматривать такое изменение аргумента х при котором х стремится к некоторому значению а только с одной стороны, либо монотонно возрастая, т.е. оставаясь все время меньше а (слева от а), либо монотонно убывая, т.е. оставаясь все время больше а (справа от а). Такой характер изменения аргумента условно обозначается с помощью следующих символов:
(4)
Определение: Если при одностороннем изменении аргумента, функция стремится к определенному пределу, то их называют односторонними пределами функции в т.а (левым пределом и правым пределом в т.а).
(5)
Тогда,
а) Если существует предел функции при
,
то предел слева будет равен пределу справа:
,
б) Если предел слева равен пределу справа
То , что означает, что функция непрерывна.
ТЕОРЕМЫ.
-
Если две функции определены в одном и том же промежутке X и обе непрерывны в т. х0, то в этой точке будут непрерывны и функции:
-
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, где она определена.
РАЗРЫВ ФУНКЦИЙ
Если в какой-либо точке для функции не выполняются условия непрерывности (т.е. или функция в точке не определена, или пределы слева и справа разные, т.е. не существует), то разрывна в точке и т. называется точкой разрыва функции.
Пример 1.
При х=0, функция у(х) не
определена.
Пример 2.
При х=0 функция у(х) не определена
Пример 3. при х=0 предел функции не существует.
ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
Разрыв первого рода
Точка разрыва функции называется точкой разрыва 1 рода если существуют конечные односторонние пределы функции:
и (6)
При этом, функция не обязательно должна быть определена в т , т.е. может и не существовать.
Величина называется скачком функции в т. .
Все прочие точки разрыва называются точками разрыва 2 рода.
Если , то точка разрыва функции называется устранимой.
Примеры на разрывы 1 рода
1)
Так как при функция не существует, то в этой точке она терпит разрыв. Найдем левый и правый предел
то есть разрыв можно устранить, если взять
Функция в этом случаи будет непрерывна.
В т. х=2 устранимый разрыв.
2) , а = const
В т. х=1 разрыв первого рода
3) Исследовать на непрерывность
0
1
В т. х=1 разрыв первого рода. Скачок
4)
функция неопределенна и непрерывна на числовой оси, кроме . Исследуем точку разрыва функции:
скачок
В т. х=0 разрыв первого рода.
5)
В точке разрыв 1 рода, скачок =
Разрыв второго рода
6)
Область определения функции , ,
В интервале функция не
определена, однако, точками ее разрыва
является только граничные точки и
. В этих точках функция не определена, но
она определяется в сколь угодно близких точках
слева от и справа от
в точках х = -3 и х =0, разрыв второго рода, справа и слева от точек разрыва функция непрерывна
7)
в точке х = 2, разрыв второго рода, справа и слева от точек разрыва функция непрерывна.
8)
в точке , -разрыв второго рода, справа и слева от точек разрыва функция непрерывна.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Производная. Механический и геометрический смысл
Пусть функция определена в промежутке Х. Дадим ей некоторое приращение , такое, что не выходит из области Х.
Определение: Производной или от данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
или ;
Найти производную функции
Механический смысл
Пусть задан закон движения материальной точки . Требуется определить скорость движения в момент времени .
По закону движения в момент времени мы имеем . Через промежуток времени имеем время , а путь
Т.е. за промежуток времени точка прошла путь .
Тогда, средняя скорость движения будет
Для нахождения скорости в момент времени находят предел средней скорости за бесконечно малый промежуток времени .
и ли
Т.о. скорость неравномерного движения в каждый данный момент времени равна производной от пути по времени – это механический смысл производной.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Дана функция . Найдем
уравнение касательной к графику
функции в произвольной точке
. Построим касательную в
этой точке. Возьмем соседнюю к
точке М точку . Проведем
через точки М0 и М1 секущую до пересечения с осью ох. Обозначим
угол между секущей и осью ох за . Обозначим за . Устремим т. М1 к т. М0, двигаясь по кривой . Тогда , а угол . Секущая М0М1 стремится занять положение касательной, проходящей через т.М0.
Т.е. касательной к кривой в т.М0 называется предельное положение секущей М0М1 при стремлении т.М1 к т. М0. Угловой коэффициент секущей: . Угловой коэффициент касательной получим как: , т.е. равен производной функции в т.х0.
Уравнение касательной:
Т.о., геометрический смысл производной - производная это тангенс угла наклона касательной к данной кривой в данной точке.
Пример. Найти тангенс угла наклона касательной к кривой у = х2 в
т.М (1/2, ¼).
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
По определению
Определение: функция, имеющая в данной точке х =х0 производную, называется дифференцируемой в этой точке; функция, имеющая производную во всех точках некоторого промежутка (а,в) называется дифференцируемой в этом промежутке.
Пусть дифференцируема в т.х0 и ее производная , тогда
Т.к. переменная величина, имеющая предел может быть представлена в виде суммы предела и б.м. величины, то
,
Умножим на ,
при , что и означает, что функция непрерывна.
Однако, непрерывность не является достаточным условием дифференцирования.
Из отношения двух б.м. мы знаем, чтоможет не существовать. Это будет в случае, если в определенной точке функция не будет иметь определенной касательной, либо, угол наклона касательной равен .
Т.о. не всякая непрерывная функция дифференцируема, но всякая дифференцируемая непрерывна.
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Правила отыскания производной в точке называется дифференцированием.
-
Производная от аргумента
Полагая у = х, находим
Поэтому
т.е.
-
Производная от постоянной
Пусть у = с, тогда, , поэтому, при всяком
Имеем , тогда , т.е.
-
Производная суммы
Докажем, что производная суммы функций равна сумме их производных
Пусть у = u + v, ,
Отсюда, переходя к пределу, при имеем
-
Производная произведения
Найдем производную произведения двух функций
у = u v
Делим на
u и v здесь const, а - переменные.
Перейдем к пределу при
Таким образом
Примечание: , т.к. v являясь дифференцируемой функцией аргумента х, является функцией непрерывной, а для непрерывной функции
-
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
y = cu , c = const
-
Производная частного
Пусть , где u и v – дифференцируемые функции.
Делим на ( при )
перейдем к пределу при
Пояснение:
Получили:
Если u = C, то , тогда имеем ,
При с = 1, имеем