Практикум по моделирование социально-экономических процессов

11

Тогда в плоскости затрат (V1, V2) нетрудно представить множество затрат системы, удовлетворяющих глобальным ограничениям (1.6).

Последовательная цепочка производственных элементов.

Рассмотрим систему производственных элементов, соединенных друг с другом в последовательную цепочку в порядке сырьевых номеров, т.е. элемент с номером 1 потребляет сырьевые ресурсы со склада сырьевых ресурсов, а выпускаемая им продукция служит сырьем для элемента с номером 2; продукция выпускаемая элементом с номером 2, служит сырьем для элемента с номером 3 и т. д.; наконец, элемент с номером n потребляет в качестве сырья продукцию, выпускаемую элементом с номером (n-1), а выпускаемая им продукция поступает на склад готовой продукции. Таким образом, каждый производственный элемент рассматриваемой системы выступает одновременно в виде поставщика и потребителя продукции. Структура описанной системы изображена на схеме 1.5.

Состояние каждого производственного элемента будем по-прежнему задавать вектором «затраты -выпуск» yi = (vi, ui), а модель ограничений — технологическим множеством: Yi :

уi = (vi , ui) Yi

Предположим, что размерность тi-1вых вектора выпуска каждого поставщика равна (или меньше) размерности тiвх вектора затрат соответствующего потребителя: тi-1вых тiвх , i = 1, 2,..., n. Пусть, например, конкретно тi-1вых = тiвх , 2 i n.

Величина выпуска продукции каждого поставщика ограничивает уровень затрат связанного с ним потребителя. А это обусловливает наличие в системе глобальных ограничений и формально может быть записано как условие равенства выпусков и затрат каждого поставщика и соответствующего ему потребителя:

13

называется сетью, или сетевым графиком комплекса операций. Пример сетевого графика комплекса, состоящего из шести операций (элементов), изображен на рис. 6.

Состояние уi i-ro элемента, определяемого операцией описанного вида, в теории сетевого планирования задается вектором количества потребляемых им ресурсов vi и продолжительностью операции ti (скаляр): уi = (vi, ti). По своему смыслу компоненты вектора vi, потребления ресурсов i-м элементом являются величинами положительными, что можно формально записать в виде:

Рис. 6. Сетевой график комплекса, состоящего из шести операций.

Другое ограничение на вектор состояния определяется тем, что при заданном количестве ресурсов vi существует минимальное время ti = i (vi) выполнения операций, то есть:

(1.11)

Совместное рассмотрение условий (1.10) и (1.11) дает нам представление множества Yi локально-допустимых состояний i-ro элемента:

Yi = { уi = (vi, ti) / vi 0, ti i (vi) } (1.12)

Для аналитического описания глобальных ограничений в рассматриваемой системе удобно ввести величину — момент окончания i-й операции. В этом случае каждой дуге (i, j) сетевого графика соответствует ограничение вида:

14

(1.13)

Набор ограничений (1.12), задаваемых всеми дугами сетевого графика (обозначим их через Q), определяет множество Yгл глобально-допустимых состояний рассматриваемой системы:

Yгл = { уi = (vi, ti) / Тi Тi + tj (i, j) Q }

Так, например, множество глобально-допустимых состояний сетевого комплекса, изображенного на схеме 1.6, имеет вид:

Т3 Т1, + t3, Т4 max(T1,T2) + t4, Т5 Т2 + t5, Т Т6 max ( Т3, Т4, T5) + t6,

где Т — заданный срок завершения всего комплекса.

Предполагая, что каждая операция начинается в самый ранний возможный момент и длится без перерыва, можно исключить переменные Тi.

Действительно, T1 = t1, T2 = t2, Т3 = t1 + t3, Т4 = t4+ max (t1, t2), T6 = t6 + max

(t1+t3); t4 + max (t1, t2); (t2+t5)].

Теперь множество Yгл глобально-допустимых состояний можно описать с помощью одного неравенства:

t6 + max [(t1, t3)];[ t4 + max (t1, t2); (t2+t5)] T.

Контрольные вопросы.

1.Что такое целостность системы?

2.Что такое организационные системы?

3.Охарактеризуйте структуру организационных систем.

4.Дайте определение административной структуре систем.

5.Чем характеризуется информационная структура систем?

6.Приведите пример структуры материальных потоков.

7.Что такое моделирование?

8.Зачем применяется моделирование в экономической деятельности?

9.Охарактеризуйте экономическую модель объекта.

10.Что может выступать в качестве предмета моделирования?

15

11.Что такое двухуровневые организационные системы?

12.Чем определяется состояние системы в целом?

13.Опишите модель ограничений элемента системы.

14.Как выполняется математическое описание модели ограничений?

15.Что такое производственная функция?

16.Приведите пример системы производственных элементов с ограниченным поступлением ресурсов.

17.Опишите структурную форму последовательной цепочки производственных элементов.

18.Дайте определение понятию «сетевой комплекс».

1

Лекция № 2. Тема 2. Основы математических методов, применяемых при моделировании экономических процессов.

Первый блок. Технологическое описание производственного элемента. Второй блок. Математические методы, применяемые при моделировании экономических процессов

Первый блок. Технологическое описание производственного элемента.

Основное свойство производственного элемента - способность преобразовать затрачиваемые ресурсы в выпускаемую продукцию (выпуски)

всоответствии с заданной технологией.

Вобщей модели состояние производственного элемента задается вектором «затратывыпуск» у = (у1, у2, ... , ym) значения положительных компонентов которого определяют уровень (величину) выпуска продукции производственного элемента в рассматриваемом периоде, а значения отрицательных компонентов — уровень его затрат.

Общая модель технологического множества. Возможности производственного элемента y по выбору уровня вектора «затраты-выпуск» описываются его технологическим множеством Y всех допустимых значений векторов «затратывыпуск» элемента:

Рис. 7. Графическое описание производственного элемента в терминах «блок (ящик) вход-выход».

Обычно считается, что технологическое множество элемента является выпуклым, замкнутым и содержащим нулевой элемент, подмножеством Евклидового пространства Еm размерности m : Y Em.

2

Замкнутость — позволяет обеспечить существование оптимальных технологических режимов, которые достигаются на границе множества производственных возможностей элемента.

Выпуклость - означает возможность «смешивания» технологий, причем «дробление» выпуска не приводит к потере эффективности: что если состояние у1 или у2 допустимы, то допустимо и любое состояние у1 + (1 - )

у2', где 0 < < 1.

Принадлежность нуля производственному множеству - означает, что производственный элемент с технологической точки зрения может не выпускать продукцию и не производить затраты.

Модель - «затраты-выпуск». Детализация описания производственного элемента на основе учета его специфики и особенностей может позволить добиться дополнительного продвижения в исследовании. Поэтому наряду с предельно общим описанием разрабатывались и более детальные и даже «очень детальные» описания производственных элементов.

Первый шаг в направлении детализации описания (1.14) — выделение вектора затрат, вектора выпуска производственного элемента и раздельное представление множеств их возможных значений. Вектор состояния производственного элемента при таком подходе представляется как результат объединения двух положительных векторов: вектора u затрат и вектора v выпуска: y = (v, u).

Такое задание состояния производственного элемента соответствует популярнейшей в теории управления схеме описания элементов в терминах «блок (ящик)—вход—выход». Вектор затрат задает описание состояния входа элемента, а вектор выпуска — состояние выхода. Графическая иллюстрация такого описания производственного элемента приведена на рис. 7.

Для векторов затрат и выпуска производственного элемента задаются множество V всех технологически допустимых затрат:

и множество U(v) всех технологически допустимых выпусков при каждом допустимом уровне затрат v:

Общее технологическое множество производственного элемента может быть получено как результат объединения всех допустимых с точки зрения условий (1.15) и (1.16) векторов «затратывыпуск» :

Y = {у = (v, u) = v V, u U(v) } (1.17)

Относительно множеств допустимых затрат V и допустимых выпусков U(v) предполагаются выполненными условия, аналогичные тем, которые предполагались выполненными относительно технологического множества (1.14), а именно: принадлежность к положительным ортантам Е+mвх и Е+mвых coответственно mвх- и mвых+ -мерных Евклидовых пространств (V Е+mвх , U(v) Е+mвых ), а также замкнутость, выпуклость и включение нулевого элемента О V, 0 U(v).

Принадлежность множеств V и U(v) к положительным ортантам Е+mвх и Е+mвых обусловлено тем, что отрицательные выпуски не рассматриваются. Интерпретация других условий, накладываемых на множества V и U(v), совпадает с приведенной выше интерпретацией аналогичных условий для технологического множества (1.14).

Производственная функция — это любимый инструмент описания моделей ограничений производственных элементов.

Однопродуктовым называется элемент, потребляющий mвх 1 видов затрат и выпускающий один вид продукции. Вектор затрат выпуска однопродуктового элемента имеет вид:

у = (v, u) = (v1 , v2 , … , vmвх, u)

5

Естественным обобщением линейной производственной функции путем учета фактора нелинейности производства является сепарабельная1 производственная функция:

mвых

(v) j (v j )

j1

(1.21)

где функции j (vj) являются монотонными и выпуклыми вверх. Широкое применение имеет степенная производственная функция:

(v) = 0 П vj

Достоинства этой функции в том, что она включает небольшое число параметров, которые легко поддаются экономической интерпретации.

Впервые частный вариант степенной производственной функции с двумя видами затрат использовали К. Кобб и П. Дуглас применительно к макроэкономическим исследованиям. Использованная ими производственная функция имела вид:

(v) = 0 v1 v2 -1

где в качестве выпуска выступал валовой национальный доход, а в качестве затрат — затраты труда и затраты капитала.

Второй блок. Математические методы, применяемые при моделировании экономических процессов

Элементы теории автоматов. Формально имитационная модель задается совокупностью моделирующих алгоритмов М1, ..., MN и схемой их соединения R. Каждый такой алгоритм вычисляет функцию вполне определенного типа:

f(M) : Z X Y Z,

1 Сепарабельность производственной функции означает, что технологический процесс предполагает независимое использование затрат и использование любого вида затрат позволяет получить конечную продукцию.