Дискретная математика - методичка
.pdf11.21.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
3 |
4 |
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.22.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
3 |
4 |
5 |
1 |
4 |
5 |
3 |
2 |
4 |
5 |
3 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
2 |
11.23.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.24.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
4 |
1 |
2 |
4 |
3 |
1 |
2 |
4 |
3 |
3 |
2 |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
1 |
11.25.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
3 |
2 |
4 |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
4 |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.26.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
2 |
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
3 |
1 |
2 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.27.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
3 |
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
2 |
1 |
1 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
5 |
3 |
11.28.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
2 |
5 |
3 |
11.29.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
1 |
3 |
1 |
4 |
2 |
3 |
2 |
4 |
1 |
3 |
3 |
4 |
4 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
11.30.
еі |
e1 |
e2 |
е3 |
е4 |
e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
e12 |
e13 |
e14 |
e15 |
e16 |
e17 |
e18 |
e19 |
e20 |
mi |
3 |
2 |
1 |
2 |
2 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
3 |
3 |
3 |
4 |
5 |
3 |
3 |
2 |
41
Розв’язання задач варіанта 0
Задача 1. Видаливши з множини А елементи {1, 2}, В – {9, 10},
С – {11, 13} і D {14, 16}, записати множини, одержані після виконання вказаних операцій A Ç D, A \ ( B Ç C ), B È D.
Вважаємо, що:
U = A È B È C È D
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} C = { 11, 12, 13, 14, 15, 16 }
D = { 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16 }
Розв’язання. Видаляємо вказані елементи з даних множин. A = {3, 4, 5, 6, 7, 8},
B = {4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13}, C = {12, 14, 15, 16},
D = {1, 2, 3, 4, 15}.
Виконуємо вказані в завданні операції.
1). A Ç D – це операція перерізу. Перерізом множин А та D називають множину А∩ D , яка складається з усіх елементів, що належать А та D одночасно.
А∩ D = {3, 4}.
2). Спочатку виконуємо операцію в дужках. ( B Ç D) = {4}.
A \ ( B Ç D ) – це різниця множин. Різницею множин А і ( B Ç D ) називається множина А\( B Ç D ), що складається з усіх елементів А, які не належать ( B Ç D ).
A \ ( B Ç D ) = {3, 5, 6, 7, 8}.
3). B È D – це операція об’єднання. Об'єднанням множин В та D називається множина B È D , яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин, тому
B È D ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 15}.
Задача 2. Спростити вираз.
A I (B U A) I ( A U B) U B
Розв’язання. Послідовно будемо «опускати» операції доповнення, використовуючи закони де Моргана й спрощувати за рахунок інших властивостей і законів (поглинання, ідемпотентності ):
A I (B U A) I ( A U B) U B = A I (B U A) I ( A I B) U B = A I (B U A) I ( A U B) U
UB = A I ( A U B) U B = A I ( A I B) U B = A I ( A I B) U B = ( A I A I B) U B = = Æ U В = В
42
Задача 3. Виконати операції над трьома множинами та закреслити результат на діаграмі Ейлера-Венна.
а) A UВ∩С |
б) (АÅВ)U C |
|
А В І |
В |
А І |
|
|
|
С |
|
С |
Розв’язання.
а). Знайдемо спочатку A :
Далі знайдемо В∩С:
Остаточно:
б). Знайдемо АÅВ:
43
C :
Остаточно:
Задача 4. Довести тотожність: А∩[В\(A\ B )]=Æ.
Розв’язання. Почнемо спрощення лівої частини рівності з виразу в квадратних дужках, причому для цього застосуємо рівність A\В=А∩B , а також інші властивості операцій.
В\(А\ B )=В\(А∩B )=В\(А∩В)=В∩(A Ç B)=В∩( A B )=(В∩ A )U(В∩B )=
= (В∩ A )UÆ=В∩ A
А∩[B\(A\ B )]=A∩(B∩ A )=(A∩ A )∩B=Æ ∩B=Æ
Отже Æ= Æ. Тотожність доведено.
Задача 5. У групі 35 студентів. З них 20 чоловік рудих, а 11 – встигаючих. Крім того відомо, що не рудих відстаючих – 10 чоловік. Знайти число рудих встигаючих і число рудих невстигаючих студентів.
Розв’язання. Нехай Е – множина студентів, A E - множина рудих студентів, B E - множина встигаючих. Тоді з умови одержимо, що
E |
|
= 35, |
|
A |
|
= 20, |
|
|
|
B |
|
= 11, |
|
|
|
U |
|
= 10 |
, і потрібно знайти |
|
A I B |
|
й |
A I |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
B |
B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
З формули включень і виключень треба, що: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A U B |
|
= |
|
A |
|
+ |
|
B |
|
− |
|
A I B |
|
|
|
A I B |
|
= |
|
A |
|
+ |
|
B |
|
− |
|
A U B |
|
: |
(1) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, нам необхідно знайти A U B . Для цього розглянемо співвідношення: A I B = A U B A I B = A U B = 10 , а використовуючи той факт, що
E = ( A U B) U ( A U B) й ( A U B) I ( A U B) = Æ, можемо записати:
44
E = A U B + A U B - ( A U B) I ( A U B) = A U B + A U B | A U B = = E - A U B = A U B = 35 -10 = 25
Тепер з рівняння (1) одержимо: A I B = 20 + 11 − 25 = 6 .
Помітимо тепер той факт, що: ( A I B) U ( A I B) = A U (B I B) = A U = A ,
тоді:
( A I B) U ( A I |
B |
) |
= |
|
A I B |
|
+ |
A I |
B |
− |
( A I B) I ( A I |
B |
) |
= |
|
A |
|
|
(2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A I B + A I B − A I B I B I A = A A I B + A I B = A
Тут ми скористалися розподільним законом, законом ідемпотентності й тим, що X I X = й = 0 . Тоді з (2) витікає цілком природній результат:
A I B = A − A I B = 20 − 6 = 14 .
У такий спосіб число рудих устигаючих студентів дорівнює 6, а рудих невстигаючих – 14.
Задача 6. Дано дві множини: М={а ,б, в, г} та N = {1,3,π ,15}. Записа-
ти M×N, N×M, M×M, N×N.
Розв’язання. В відповідності з означенням прямого (декартового) добутку маємо:
M×N={(a,1),(a,3),(a,π),(a, 15 ),(б,1),(б,3),(б,π),(б, 15 ),(в,1),(в,3),(в,π), (в, 15 ), (г,1),(г,3),(г,π),(г, 15 )}.
N×M={(1,а),(1,б),(1,в),(1,г),(3,а),(3,б),(3,в),(3,г)(π,а),(π,б),(π,в),(π,г), ( 15 ,a),( 15 ,б)( 15 ,в)( 15 ,г)}.
M×M={(a,а),(a,б),(a,в),(a,г),(б,а),(б,б),(б,в),(б,г), (в,а),(в,б),(в,в),(в,г),(г,а), (г,б),(г,в),(г,г)}.
N×N={(1,1),(1,3),(1,π),(1, 15 ),(3,1),(3,3),(3,π),(3, 15 )(π,1),(π,3),(π,π), (π, 15 ),( 15 ,1),( 15 ,3)( 15 ,π)( 15 , 15 )}.
Задача 7. На множині А={2,5,7,8} задано відношення R1 – " бути порівняними по модулю 2" та R2 – " бути більше". Записати R1 та R2 перерахуванням пар, графами. Визначити: які мають властивості R1 та R2 і до яких видів
відносяться. Виконати операції R1 Å R2, |
R1 \ R2, R1 ○ R2 та подати у вигляді |
||||
графів та перерахуванні пар. |
|
|
|
|
|
Розв’язання. R1 ={(2,8),(2,2),(8,2),(8,8),(5,7),(7,5),(5,5),(7,7)} |
|||||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
R1 = |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
1 |
0 |
0 |
1 |
|
45
R1 2
8 |
5 |
7
Довідка. |
Числа а і b порівняні по модулю m>0, якщо різниця а-b ді- |
||||||
литься на m без залишку. |
|
|
|
|
|||
Властивості: рефлексивність, симетричність, транзитивність (тобто ек- |
|||||||
вівалентність) |
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 = {(5,2),(7,2),(8,2),(7,5),(8,5),(8,7)} |
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
R2 = |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
8 |
5 |
|
|
||||||
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
7
Властивості: антирефлексивність, антисиметричність, транзитивність. Вид – суворий порядок.
R1 Å R2 = (R1 U R2) \ (R1 ∩ R2 ) = {(2,8),(2,2),(8,8),(5,7),(5,5),(7,7),(5,2), (7,2),(8,5),(8,7)}
|
2 |
8 |
5 |
|
|
|
7 |
R1 \ R2 = {(2,8),(2,2),(8,8),(5,7),(5,5),(7,7)}
2
. 5
8 .7
46
R1 ○ R2 = {(2,2),(2,5),(2,7),(8,2),(8,7),(8,5),(5,2),(5,5),(7,2),(7,5)}
2
.
8 |
5 |
|
|
|
7 |
Задача 8. |
( x1 |
|
) x3 ( x1 x2 |
|
|
|
Записати логічну функцію f(x1, x2, x3)= x2 |
|
|
|
|
||
х |
х |
) х |
||||
|
3 |
|
3 |
1 |
в диз'юнктивній нормальній формі. Підставляючи набори логічних змінних знайти значення логічної функції. Знайти Д.Д.Н.Ф.
Розв’язання.
x2 ( x1 |
|
|
) x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x2 x1 x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x x |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x |
|
|
) |
x |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
x |
|
|
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
x2 x1 x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1=x2 x1 x2 |
|
|
|
x3 |
|
( |
|
x3) x1= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
х |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= x2 x1 x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x1 = (x2 x1 x1 ) x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
х |
х |
х |
х |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
( x3 |
|
|
x3) |
|
|
|
= x1 x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
– це є Д.Н.Ф. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
х |
х |
х |
х |
х |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо значення логічної функції: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x2 |
х |
|
|
|
|
|
х |
х |
|
f(x1, x2, x3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо Д.Д.Н.Ф. "розщепленням":
|
x1 x2 |
|
х |
x3 |
х |
|
х |
= x1 |
( x2 |
х |
) x2 |
|
х |
(x1 |
х |
|
) x3 |
(x1 |
х |
) |
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
( x3 |
|
)= x1 x2 x1 |
|
|
x2 |
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|
x3 x1 x3 |
|||||||||||||||||
х |
х |
х |
х |
х |
х |
х |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
47
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
=x1 |
|
|
|
) x1 |
|
|
|
|
|
) |
х |
х |
х |
х |
х |
х |
x2 (x3 |
х |
х (x3 |
х |
|||||||||||||
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
x2 |
|
|
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x1 ( x2 |
|
|
|
) x3 |
|
|
|
|
( x2 |
|
|
) |
|
|
|
|
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
х |
х |
х |
х |
х |
х |
х |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x1 x2 x3 x1 x2 |
|
|
|
|
x1 Ù |
|
2 Ù x3 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
х3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х1 |
х2 |
|
х3 |
x3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x1 x2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x1 x2 x3 |
x1 Ù |
|
|
2 Ù x3 |
|
|
x2 x3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
х1 |
х3 |
х1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=║ оскільки |
|
х х = х║ = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
х |
х |
х |
2 |
х |
х |
х |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= x1 x2 |
x3 x1 |
x2 |
|
|
x1 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
x3 x1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
х |
х |
х |
х |
х |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 x3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
х |
х |
х |
х |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки присутні в доданках всі можливі набори змінних x1 , x2 , x3, то функція приймає на них значення 1.
Задача 9. а ). В якої кількості випадків, граючи в "Спортлото" (угадування 5 номерів з 36) будуть правильно вгадані, не менш 3 номерів?
Розв’язання.
3 з 5 "правильних" номерів можна вибрати за формулою для числа спо-
лучень з 5 по 3, тобто C 3 . Два залишившихся вибираємо з 31 номера за фор- |
||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
мулою C |
2 . Далі за правилом добутку знаходимо кількість варіантів де пра- |
|||||||||||||||
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вильно вгадано 3 номери з 5, а 2 не вгадано, тобто |
||||||||||||||||
C 3 |
×C 2 |
= |
5! |
|
× |
|
31! |
|
= |
5 × 4 |
× |
31× 30 |
= 4650 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
31 |
3!×2! 2!×29! |
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
Аналогічно знаходимо кількість варіантів, коли вгадано 4 номера: |
||||||||||||||||
C 4 |
×C 1 |
= |
5! |
× |
31! |
|
= 5 × 31 = 15 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
31 |
4!×1! 1!×30! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Кількість варіантів правильно вгадано 5 номерів дорівнює |
||||||||||||||||
C 5 |
×C 0 |
= |
5! |
× |
31! |
|
= 1. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 |
31 |
5!×0! 0!×31! |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Кількість варіантів правильного вибору не менш 3 номерів знаходимо за правилом суми, тобто 4650+155+1=4806.
Відповідь: 4806.
б). Задана множина Х={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Властивість α1(х): "х –
парне", α2(х): "х >6", α3(х): "2< х <8". Знайти кількість елементів N0 з X , яким не притаманні ані властивості α1, ані α2, ані α3.
48
Розв’язання. Використаємо формулу (2) розділу Ш.
N=11
N(α1)=6 (кількість парних чисел з Х) N(α2)=4 (кількість чисел більш ніж 6 з Х)
N(α3)=5 (кількість чисел х Х, які задовольняють умові 2< х <8) N(α1,α2)=2 (кількість парних чисел більш ніж з Х)
N(α1,α3)=2 (кількість парних чисел з Х, які належать (2;8)) N(α2,α3)=1 (кількість парних чисел більш ніж 6 з інтервалу (2;8), які
належать Х)
N(α1,α2,α3)=0 (кількість чисел, які задовольняють всім трьом властивостям).
Остаточно.
N0=N-(N(α1)+N(α2)+N(α3)) + (N(α1,α2)+N(α2,α3)+N(α1,α2,α3))= 11-15+5-0=1.
Це є число х = 1. Відповідь. 1 число.
Задача 10. Які з наведених графів ізоморфні?
а) |
|
б) |
|
||
|
|
|
в) |
|
г) |
|
||
|
|
|
Розв’язання. Ізоморфні графи мають однакову кількість вершин. Тому треба порівнювати графи а) та б), а також в) та г). Але граф а) має дві висячі вершини, а граф б) – одну. Тому вони не можуть бути ізоморфними.
Розглянемо графи в) і г). Число вершин і число ребер у них однакові. Обидва графи мають по дві компоненти зв'язності і по дві висячі вершини. Позначимо вершини графів і знайдемо відповідні вершини, враховуючи степені вершин.
49
в) |
|
|
г) |
|
|
v1 |
|
v2 |
v1 |
|
v4 |
|
|
||||
|
|||||
v4 |
|
v3 |
v2 |
|
v3 |
|
|
||||
|
|||||
|
v5 |
|
v6 |
||
|
v6 |
v7 |
v7 |
||
|
|
|
|
Матриці суміжності обох графів мають вигляд:
010
A( G ) = 2
000
Відповідь:
1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
в) і г) є ізоморфні.
Задача 11. Побудувати мінімальне остове дерево для зваженого графа G(V,E) за алгоритмом Краскала.
Розв’язання.
|
v2 |
|
3 |
|
v5 |
|
2 |
v9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
1 |
2 |
4 |
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|||||
v1 |
2 |
v3 |
|
v6 |
1 |
|
v8 |
v11 |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
4 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v4 |
|
|
|
v7 |
|
|
v10 |
1.Обираємо найкоротше ребро, наприклад (v2,v3) з довжиною 1 і позначаємо іншим кольором або двома рисками.
2.Обираємо найкоротше ребро з залишившихся, наприклад (v4,v7) .
3.За таким же принципом обираємо дуги (v6,v8), (v1,v2), (v1,v4),(v4,v6),
(v5,v9), (v8,v9), (v8,v10), (v10,v11). При цьому треба уважно дивитись, щоб не утворювалося циклів.
Сумарна довжина ребер дорівнює 18.
50