2. Рациональные уравнения
.pdf§2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
1) Квадратные уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ах2 bx c 0 , a 0 . |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
Функция |
f x ax2 bx c , где a 0 , называется квадратичной функцией. График |
|||||||||||||||
этой функции – парабола, координаты вершины которой равны: |
||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
4ac b2 |
|
|
|
|
|
||
x |
0 |
|
, |
y |
0 |
|
|
. При a 0 ветви параболы направлены вверх, а при a 0 – вниз. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
D b2 4ac – дискриминант квадратного уравнения (1). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
При D 0 |
уравнение (1) имеет два корня: x b D , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
2 |
|
D ; |
при D 0 – один корень (два равных корня) |
||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x |
|
|
b |
|
|
, а при D 0 уравнение (1) корней не имеет. |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Приведенное квадратное уравнение: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 px q 0 . |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
Теорема Виета. Если квадратное уравнение (2) имеет корни х1 и х2 , то |
||||||||||||||||
х1 х2 p , x1 x2 q . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Обратная теорема. Если числа t1 и t2 |
таковы, что t1 t2 p , t1t2 q , то они явля- |
|||||||||||||||
ются корнями квадратного уравнения x2 px q 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители: если х1 и х2 корни |
||||||||||||||||
квадратного уравнения (1), то |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 bx c a x x x x |
2 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Неравенства второй степени. |
|
|
|
|
||
|
|
|
ax2 bx c 0, ax2 bx c 0, a 0 . |
|
|
|||
|
Случай 1. |
а 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 0 |
D 0 |
|
D 0 |
|
|
Неравенство |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
x |
x |
x1 |
x2 |
x |
|
|
|
0 |
|
|
|||
ax |
2 |
bx c 0 |
x R |
x ; x0 x0 ; |
x ; x1 x2 ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
ax2 bx c 0 |
решений |
решений нет |
x x1 ; x2 |
|
||||
нет |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай 2. а 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
D 0 |
D 0 |
D 0 |
|
Неравенство |
|
x0 |
x1 |
x2 |
||
x |
x |
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
2 bx c 0 |
решений |
решений нет |
x x1 ; x2 |
|
|
нет |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ax |
2 |
bx c 0 |
x R |
x ; x0 x0 ; |
x ; x1 x2 ; |
|
|
|
|
3) Рациональные уравнения и неравенства. |
|
||||||
Многочленом |
n - ой степени ( n Z, n 0 ) от переменной x называется выражение |
||||||
P x a |
0 |
xn a xn 1 a |
n 1 |
x a |
n |
, |
|
n |
|
1 |
|
|
|||
где a0 , a1, , аn |
– заданные действительные числа, причем a0 0 . |
Многочленами нулевой степени являются отличные от нуля действительные числа. Число 0 единственный многочлен,
13
степень которого не определена.
Уравнение Pn x 0 , где Pn x – многочлен n -ой степени, n 1, называется алгебраическим уравнением n -ой степени.
Если х0 – корень многочлена Pn x , т.е. Pn x0 0 , то Pn x без остатка делится на
( x x0 ):
Pn x x x0 Pn 1 x ,
где Pn 1 x – многочлен степени n 1. Многочлен Pn 1 x можно найти либо делением «уголком» многочлена Pn x на
( х х0 ), либо группировкой слагаемых многочлена Pn x и выделением из них множителя
|
х х0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Основными методами решения уравнения Pn x 0 , где |
||||||||||
|
Pn x |
– многочлен степени n ( n 2) , являются метод разложения левой части уравне- |
|||||||||
ния на множители и метод введения новой переменной. |
|||||||||||
|
Уравнение вида |
Pm |
x |
0 , где Pm x и |
Qn x многочлены, называется рациональным. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
Qn |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 , |
||||
Это уравнение равносильно системе |
Pm |
|
|||||||||
Q |
|
x 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
Рациональные неравенства – это неравенства вида |
||||||||||
|
Pm x |
0 , , 0 , где Pm x и Qn x многочлены. Основной метод решения рацио- |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
Qn x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нальных неравенств – метод интервалов. |
|
|
|||||||||
|
Рассмотрим сначала неравенство Pm x 0 . Находим корни уравнения Pm x 0 . |
||||||||||
Пусть a1 , a2 , , ak корни этого уравнения, расположенные в порядке возрастания. |
|||||||||||
Числовая прямая точками a1 , a2 , , ak |
разбивается на ин- |
||||||||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тервалы, в каждом из которых функция Pm x сохраняет знак.
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Для определения знако1 |
в значений функции в полученных интервалах достаточно найти |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
||
знак значения функции в любой точке соответствующего интервала. |
|||||||||||||||||
|
|
Множеством всех решений неравенства Pm |
x 0 будет объединение всех проме- |
||||||||||||||
жутков, в которых функция Pm x сохраняет отрицательный знак. |
|||||||||||||||||
|
Имеют место следующие соотношения: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Pm x |
0 |
Pm x Qn x 0 , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Qn x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P x Q |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|||||
|
P |
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
|
0 Pm x |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qn |
x |
|
|
|
|
x |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Q |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pm |
|||
|
Аналогично решаются неравенства вида |
|
|
|
0 0 . |
||||||||||||
|
Q |
n |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Решить уравнение х3 х2 2 0 .
Решение. Перепишем уравнение в виде х3 1 х2 1 0 . Но x3 1 x 1 x2 x 1
и x2 1 x 1 x 1 . Поэтому получаем: |
|
|
|
|
x 1 x2 x 1 x 1 x 1 0 |
|
|
|
|
x 1 0, |
|
x 1, |
|
|
x 1 x2 2x 2 0 |
0 |
|
2x 2 |
0. |
x2 2x 2 |
x2 |
Квадратное уравнение x2 2x 2 0 корней не имеет
(т.к. D 4 0 ). Следовательно, исходному уравнению удовлетворяет только значение x 1.
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: – 1. |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
Пример 2. Найти сумму корней уравнения: |
|
|||||
|
|
|
|
х 1 х 2 х 3 х 4 24 . |
|||
|
Решение. Так как х 1 х 2 х 3 х 4 |
||||||
х 1 х 4 х 2 х 3 х2 5х 4 х2 |
5х 6 , то исходное уравнение принимает |
||||||
вид: |
х2 5х 4 х2 5х 6 24 . |
|
|||||
|
|
|
(3) |
||||
Обозначим х2 5х 4 у . Тогда уравнение (3) принимает вид: |
|||||||
у |
у 2 4 у |
|
|
у 6, |
|
||
2 2 у 24 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y 4. |
|
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений: |
|||||||
|
2 |
5x 4 4, |
|
2 |
5x 0, |
|
|
x |
|
x |
|
|
|||
x |
2 5x 4 6 |
x2 |
5x 10 0. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое уравнение имеет корни x1 0, x2 5 , а второе уравнение корней не имеет (
D 15 0 ). S 0 5 5.
Ответ: – 5.
|
|
Пример 3. Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(4) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x 2 |
x2 x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Квадратный трехчлен x2 x 2 |
обращается в нуль при x 2 |
и x 1; по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
этому x2 x 2 x 1 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(4) |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 2x 1 |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
3 2x 1 |
0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 1 |
|
2 |
|
|
|
x 1 x 2 |
|
|
|
x 2 |
x 1 x 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x 2 x 1 3 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 x 2 |
|
|
|
|
x 1 x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
3x 2 0, |
|
|
|
x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
x 2, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2; 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2. |
|
||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти сумму корней уравнения |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х3 х2 |
17х 30 |
2х 3 . |
|
|
|
|
(5) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Решение. ОДЗ уравнения (5): х 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
При х 2 числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, обращается в 0 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 22 |
17 2 30 0 . Следовательно, |
многочлен х3 х2 17х 30 без остатка делится |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на х 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
х3 х2 17х 30 |
|
|
х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
х3 2х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 х 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 17х 30
х2 2х
15х 30
15х 30
0
х3 х2 17х 30 х 2 х2 х 15 .
Уравнение (5) можно представить в виде: |
|
||||
|
х 2 х2 х 15 |
2х 3 . |
|
||
|
|
х 2 |
|
||
|
|
|
|
||
При х 2 |
это уравнение равносильно уравнению х2 х 15 2х 3 х2 х 12 0 . |
||||
Корни последнего уравнения: х1 4, х2 3. |
S 4 3 1. |
||||
|
|
|
|
|
Ответ: 1. |
Пример 5. Найти сумму целых решений неравенства |
|||||
|
|
5х 1 |
|
|
|
|
|
|
1. |
(6) |
|
|
|
х2 3х 4 |
|||
|
|
|
|
|
17 |
Решение. |
(6) |
|
|
|
5х 1 |
1 0 |
|
x2 |
2x 3 |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
х2 |
3х 4 |
|
x2 |
|
3x 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 x 1 x 3 x 1 x 4 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
- |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + |
|
+ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решениями последнего |
|
|
-3-114 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства являются |
|
|
3; 1 1;4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
все числа из множества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Целые решения неравенства (6): 2 ; |
|
2 ; |
3. |
|
S 2 2 3 3. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 6. Найти наименьшее целое решение неравенства: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15х 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 3х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7) |
|
|
15х 15 |
|
|
х 6 0 |
|
x3 |
3x2 |
x 3 |
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
х2 |
3х |
2 |
|
|
x2 |
3x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
х2 х 3 х 3 |
0 |
x 3 x 1 x 1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
х 1 х 2 |
|
|
|
x 1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 3 x 1 2 x 1 x 2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Применяя метод интервалов, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||
получим множество решений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
исходного неравенства: |
х 2; 1 1;1 3; . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Наименьшее целое решение: х 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 0. |
Заметим, что в процессе решения предыдущей задачи может возникнуть желание упро-
стить неравенство x 3 x 1 x 1 |
0 , |
(8) |
x 1 x 2 |
|
|
сократив числитель и знаменатель дроби на х 1. Такое уп-
18
рощение, сделанное без всяких ограничений, приведет к ошибке. Неравенство
x 3 x 1 0 неравносильно неравенству (8), так как число 1 входит в множество его
х 2
решений, не являясь в то же время решением неравенства (8).
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти сумму корней уравнения:
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
а) 2x |
5x 3 x |
|
|
x 2 . |
(Ответ: 0) |
|
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
б) 3x3 7x2 7x 3 0 .
2. Решить уравнение:
а) х 1 4 х2 2х 1 0 .
б) |
|
х3 |
1 |
х 2 |
0 . |
||
|
х |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
в) |
х3 |
5х2 8х 6 |
3х 4 . |
||||
|
|
|
|
х 3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
г) х 1 х 3 х 5 х 7 297 .
д) |
|
6 |
|
|
|
2 |
|
2 |
х 4 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
х2 1 |
х 1 |
|
|
х 1 |
|
|||||||||||||
е) |
|
3 |
|
|
|
|
2х 1 |
|
|
|
1 |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2х2 3х 1 |
|||||||||||||
|
|
|
2х 1 |
|
х 1 |
|
||||||||||||||
ж) |
|
|
|
1 х |
1 |
|
|
1 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
5х х2 6 |
2 х |
|
3. Найти меньший корень уравнения:
а) |
|
|
65 |
|
|
17х 10 |
|
|
25 |
. |
|||||||||||||
1 х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
х2 х 1 |
|
х 1 |
|||||||||||||||||
|
|
х |
2 х 5 |
|
|
3х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
х |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
|
2 |
|
|
1 |
|||||||||||
в) |
7 х |
|
|
|
2 х |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
х2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
200 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
x |
|
|
|
|||||||
г) |
|
|
|
2x |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
67 . |
|||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
(Ответ: 73 )
(Ответ: –1) (Ответ: –1)
(Ответ: 2) (Ответ: –8; 4)
(Ответ: –2) (Ответ: –0,75)
(Ответ: 1)
19
(Ответ: – 4)
(Ответ: – 5) (Ответ: 0,5)
(Ответ: – 10)
4. Найти наименьшее целое значение х , удовлетворяющее
неравенству: |
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
x 4 x2 |
2x 8 |
0 . |
(Ответ: – 3) |
||||
|
|
|
x4 |
256 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
х 7 |
х 1. |
|
|
(Ответ: 2) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
х 3 |
|
|
|
|
|
||
в) |
|
x2 12 |
|
1. |
|
|
(Ответ: – 10) |
||
|
x 2 2x 8 |
|
|
||||||
г) |
1 |
3x2 7x 8 |
2 . |
(Ответ: 2 ) |
|||||
|
x2 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5х 4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(Ответ: 3 ) |
|
5х2 6х 1 |
x 2 |
|
|
|
|||||||||||||
е) |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
2 . |
|
|
|
(Ответ: – 1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
х2 3 |
x2 |
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2x 8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ж) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(Ответ: 8 ) |
|||||||
|
x2 8x 7 |
x 2 |
|
|
|
||||||||||||
5. Найти сумму целых решений неравенства: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 х 6 |
|
2х |
. |
(Ответ: 0 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 3х 2 |
х 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
6.Найти сумму целых решений неравенства, принадлежащих отрезку 30;30 :
а) |
|
8 х |
|
2 |
. |
|
|
|
(Ответ: – 48) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
х 10 |
2 х |
|
|
|
|||||
б) |
х2 |
3х 1 х2 3х 3 5. |
|
(Ответ: 3) |
|||||||
в) |
х2 |
3х 2х 3 16 |
2х 3 |
0 . |
(Ответ: 460) |
||||||
х2 3х |
|||||||||||
|
х 2 х 4 х 7 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
г) |
|
1 . |
|
(Ответ: – 440) |
|||||||
х 2 х 4 х 7 |
|
21