2373
.pdf
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
где γR − верхняя полуокружность радиуса R с центром 0. Если при |
|
z → ∞ |
||||||||
|
|
|
1 |
, то есть если |
f (z) = |
α(z) |
|
|||
(Im z ≥ 0) f(z) стремится к нулю быстрее, чем |
|
|
|
|
, где |
|||||
z |
|
|
|
|||||||
|
z |
|
||||||||
α(z) → 0 при z → ∞ |
(Im z ≥ 0), |
то легко показать, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Rlim→∞ ∫ f (z)dz = 0. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
γ R |
|
|
|
|
|
||
Следовательно, из (11) получим при R → ∞ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
∫ f (x)dx = 2πi∑reszk f (z) |
|
|
|
|
(12) |
|||
|
|
−∞ |
k =1 |
|
|
|
|
|
||
(здесь понимаем ∞∫= Rlim→∞ ∫R |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, формула (12) применима, если f(z) – рациональная дробь, в которой знаменатель не имеет действительных корней и степень знаменателя превышает степень числителя более чем на единицу.
∞ dx
Пример 2.14. Найти −∫∞ x4 +1
Решение. Функция f (z) = z 41+1 совпадает на действительной оси с подынтегральной функцией, на действительной оси особых точек не имеет, в
верхней полуплоскости имеет две особые точки |
z1 = − |
1 |
+ |
1 |
i |
и |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
z2 = |
|
1 |
|
+ |
1 |
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
−∫∞ |
|
|
= 2πi(resz1 |
|
|
|
|
+ resz2 |
|
|
|
|
|
= 2πi[( |
|
|
|
) z=z1 |
+( |
|
|
) z=z2 |
] = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x4 +1 |
|
z 4 +1 |
|
z4 +1 |
|
4z3 |
4z3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
+ |
|
1 |
|
i |
1 |
+ |
|
1 |
i |
||||
|
2πi |
|
|
z |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
i +( |
|
z |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
i] = |
πi |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
= |
[( |
)z = − |
+ |
|
|
)z = |
|
+ |
|
|
( |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
) = |
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
z4 |
2 |
2 |
|
|
z4 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
−1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2πi2 |
= |
|
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Теорема. Если функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек z1, z2,…, zn, лежащих в верхней полуплоскости, и lim f(z)=0 при z → ∞, Im z ≥ 0, то
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∫ |
f (x)eimx dx = 2πi |
∑ |
|
|
|
|
|
|
(m > 0). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
res f (z)eimz |
|
||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Если под знаком интеграла есть сомножитель sin x или cos x, |
||||||||||||||||||||
то часто удобно вместо интегралов I1 = ∞∫ f (x)sin mxdx или |
I2 = ∞∫ f (x) cos mxdx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
рассматривать I |
= ∞∫ f (x)eimx dx. Получив значение этого интеграла и выделив |
|||||||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
затем его действительную и мнимую части, находят I1 и I2. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.15. Вычислить I = −∫∞ |
eiax |
dx |
|
|
(a > 0). |
|
|
|||||||||||||
ex + e−x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
Функция |
f (z) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
ez |
|
имеет в |
верхней |
||||
e |
z |
+e |
−z |
|
e |
2 z |
+1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
полуплоскости простые полюсы в точках zk |
=i(π |
+kπ), |
k = 0, 1, 2, ... . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть CR |
– замкнутый контур, |
|
состоящий |
из |
отрезка |
[-R, R] |
действительной оси и γR − верхней полуокружности |z| = R, где R =π +kπ. Имеем
|
|
|
|
e |
iaz |
|
|
R |
|
e |
iaz |
|
|
|
|
|
|
e |
iaz |
|
|
|
k0 |
|
|
|
e |
iaz |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
|
|
dz + |
|
|
|
|
|
|
dz |
= 2πi |
∑ |
res |
|
|
|
|
, |
|||||
∫ |
e |
z |
+e |
−z |
∫ |
z |
+ e |
−z |
∫ |
e |
z |
+ e |
−z |
e |
z |
+e |
−z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
zk |
|
|||||||||||||||||||||||||||
C |
R |
|
|
|
−R e |
|
|
|
γ |
R |
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где k0 удовлетворяет неравенствам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+k0π < R < |
π |
+(k0 +1)π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем в последнем равенстве к пределу при R→ ∞ (R = π + kπ). Можно показать, что
∫ez e+iaze−z dz → 0.
γ R
R→∞
Тогда
23
∞ |
|
eiax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
i(π +kπ ) |
|
|
|
ia i( π +kπ ) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
e |
2 |
|
e |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
dx = 2πi∑ |
πres |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||
|
x |
+e |
−x |
|
e |
z |
+e |
−z |
|
|
|
|
i2( |
π |
+kπ ) |
|
|
|||||||||||||||||||
−∞e |
|
|
|
k =0 i( |
2 |
+kπ ) |
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
2e |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= −πi2 e− |
aπ |
|
∞ |
|
|
− |
aπ |
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||||||
|
∑(−1)k e−akπ = πe |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
+ e |
−aπ |
2 e |
aπ |
|
− |
aπ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ e |
|
|
|
2ch |
aπ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Особенного внимания требуют многозначные функции, которые иногда появляются после аналитического продолжения подынтегральной функции. Рассмотрим следующий пример.
1
∞ x3 dx
Пример 2.16. Вычислить I = ∫0 x3 +1.
Решение. Рассмотрим в плоскости комплексного переменного z замкнутый контур Г, состоящий из окружности |z| = R, ориентированной против часовой стрелки, окружности |z| = r, ориентированной по часовой стрелке и отрезка r ≤ x ≤ R, проходимого дважды в противоположных направлениях (см. рис. 3). Так как
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
ln z |
||
функция |
f (z) = |
|
z |
3 |
|
= |
e |
3 |
|||
z |
3 |
+1 |
z |
3 |
+1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
многозначна, то нужно уточнить, какой ветвью мы пользуемся. Поэтому проведем разрез вдоль полуоси 0 ≤ x ≤ ∞ и условимся пользоваться ветвью функции f(z),
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равной |
|
|
|
|
|
на его верхнем берегу. |
||||||||
|
x3 +1 |
|||||||||||||
Тогда |
на нижнем |
|
берегу эта |
ветвь |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
πi |
|
|
x3 |
|
|
|
|||||||
равна |
|
e |
3 |
|
|
, |
поэтому |
два |
||||||
|
|
x |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
интеграла по отрезку |
|
|
|
|
r ≤ x ≤ R |
|
не уничтожаются взаимно, как |
это было бы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для однозначной подынтегральной функции. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
R |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
z 3 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3 dz |
|
|
|
z 3 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πi |
x3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
− ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)∫ |
|
= 2πi∑reszk |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+(1−e3 |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
3 |
+1 |
|
|
|
|
z |
3 |
+1 |
|
|
3 |
+1 |
|
|
|
x |
3 |
|
+1 |
|
z |
3 |
+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Г |
|
|
|
|z|=R |
|
|
|
|
|
|z|=r z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
|
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3z2 |
|
3z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=2 |
+i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=2 −i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2πi |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
5π |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=cos |
π+i sin π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=cos |
3 |
+i sin |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=cos 3 |
+i sin |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
2πi |
|
(cos |
|
|
5π |
−i sin |
5π |
|
|
+cos |
|
5π |
|
|
−i sin |
5π |
|
+cos |
25π |
−i sin |
25π |
) |
|
|
|
|
|
|
(13) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Легко видеть, что интегралы от f(z) по окружностям радиусов R и r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стремятся к 0 при |
|
R → ∞ и r →0 получаем, |
что интеграл I сходится и равен |
2πi
правой части (13), деленной на (1 − e 3 ). Упрощая, получаем
I = 38π3 sin 29π sin π9 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.Вычислите значения функций:
π |
|
|
|
|
а) e2+ 4 i ; |
б) sin 3i; |
в) ch i. |
|
|
2. Вычислите значение функции w = f(z) в точке z0: |
|
|
||
а) w =(z + i)eπz, |
z0 = i; |
б) w = z2 eiz2 , z0 = |
π |
; |
|
|
|
2 |
|
в) w = iz3 − z + i, z0 =1 + i.
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
3. |
Дифференцируемы ли функции: |
|
|
|
|
|||||||
а) ω = |
|
z |
|
; |
б) ω = −sin x −i sin y ; в) ω = cos iz ? |
|
||||||
|
|
|
||||||||||
4. |
Является ли аналитической функция ω = f (z) , если |
|
|
|||||||||
а) |
ω = z Im z; |
б) |
ω = (x +3y2 ) +i(2xy − y2 ); |
в) |
ω = |
1 |
? |
|||||
z 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
Покажите, |
что функция ω = f (z) = x3 −3xy2 +i(3x2 y − y3 ) является |
аналитической на всей комплексной плоскости и найти ее производную в точке
z0 = i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Проверьте, являются ли гармоническими функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
υ = ex sin y ; |
|
|
|
б) u = y2 + 3; |
|
|
|
в) u = y(3x - 2). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Разложите функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0 и найдите |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
область сходимости полученного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (z) = sin |
3z −1 |
|
, z0 |
|
|
= −5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
б) |
f (z) = e |
z−3 |
, z0 |
= 3; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) f (z) = |
|
|
|
z |
|
|
, |
|
|
|
z0 = 3i; |
г) f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
, |
|
z0 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
|
|
|
|
|
2z |
2 |
−5z + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. Найдите вычет функции f(z) в точке z0, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (z) = e |
|
1 |
|
, |
|
|
z |
|
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
cos 3z |
, |
|
z0 |
= 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||
a) |
z−1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
f (z) = |
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
, |
|
|
|
z0 = 2; |
г) |
|
f (z) = |
|
|
cos z |
|
, |
|
|
z |
|
= 2i. |
||||||||||||||||||||||||||
|
(z −2)3 z |
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(z2 +4)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9. Используя основную теорему о вычетах, найдите интегралы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
ez dz |
|
|
|
|
|
|
, γ : |
|
z |
|
= 2; |
|
|
|
|
б) ∫ |
|
z2 dz |
|
, γ : |
|
z −1 |
|
= 2; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z(z +3)(z −i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ (z −2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
в) |
∫ |
|
z2 dz |
|
|
|
|
|
|
, |
|
γ : контур, состоящий из дуги параболы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z −1) |
2 |
(z |
2 |
+ |
4) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 , |
− |
|
3 ≤ x ≤ |
|
|
|
3 |
|
и прямой y = 3; |
||||||||||||||||||
г) ∫ |
|
|
zdz |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
γ : |
|
z +3 −i |
|
= 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
(z +3) |
2 |
(z −i) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
д) |
∫ |
e2 z |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
γ : |
|
эллипс |
(x +1)2 |
+ y2 |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
γ |
(z + |
)4 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) |
∫ |
|
|
|
ez |
|
|
|
, |
|
γ : граница прямоугольника с вершинами в точках: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
γ |
z + |
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1= –1 – i, z2= 1 – i, z3= 1 +2i, z4= –1 +2i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж) |
∫ |
|
|
z −1 |
|
dz, γ : |
|
z |
|
= 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) |
∫ |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
, γ : |
|
z |
|
= 2; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
γ |
|
z |
+9z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
z |
|
|
+2iz |
|
− z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
и) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
, γ : |
|
z −i |
|
=3; |
к) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
ez dz |
|
|
|
|
, γ : |
|
z |
|
= |
5 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
γ |
4z |
|
−4iz |
− z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
(z |
|
+4)(z |
|
|
−9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
10. Вычислите несобственные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
ikx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ a |
2 |
|
x |
2 |
|
+ 4x + |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−∞ x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
(x −b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
e |
imx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) |
∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
д) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
е) |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx(m > 0); |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
3 |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ 2x +10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
(x −1) cos 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ eimx cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ж) |
|
|
|
∫ |
|
x |
2 |
+ x +1 |
|
dx; |
з) |
∫ |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
dx; |
|
|
и) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ a |
|
|
x |
2 |
+ 2x + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Библиографический список
Основная литература
1.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст]
:учебное пособие. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-пресс, 2001. – 416 с.
Дополнительная литература
2.Киселев, А. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости [Текст] / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. – М. : Наука, 1981. – 302 с.
3.Романовский, П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа [Текст] / П. И. Романовский. –
М. : Наука, 1980. – 336 с.
28
7-00
Людмила Антоновна Котко Светлана Вячеславовна Писарева
МАТЕМАТИКА
Элементы теории функций комплексного переменного
Методические указания для самостоятельной работы студентов специальности
190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство
Редактор Е.А. Попова
Подписано в печать 28.06.2010. Формат 60×90 /16. Объем 1,75 п. л. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,83. Тираж 250 экз. Заказ
ГОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия» РИО ГОУ ВПО «ВГЛТА». 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8 Отпечатано в УОП ГОУ ВПО «ВГЛТА». 394087, г. Воронеж, ул. Докучаева, 10