3082
.pdf37
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Воронежская государственная лесотехническая академия»
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В СИСТЕМНОМ АНАЛИЗЕ ПРОБЛЕМ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
БЕЗОПАСНОСТИ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ АВТОТРАНСПОРТА
Методические указания для самостоятельной работы студентов по направлению подготовки магистров 190700.68 – Технология транспортных процессов
Воронеж 2014
2
УДК 656
Белокуров, В.П. Математические методы в системном анализе проблем обеспечения безопасности дорожного движения автотранспорта [Электронный ресурс] : методические указания для самостоятельной работы студентов по направлению подготовки магистров 190700.68 – Технология транспортных процессов / В. П. Белокуров, О. Н. Черкасов, С.В. Белокуров, С. Ю. Кащенко; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2014. – 56 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 4 от 27 ноября г.)
3
Оглавление
Введение ………………………………………..………………………..……4
1.Элементы теории игр ……………………………….………………………5
1.1.Основные определения и понятия……………………………………5
1.2.Матричные игры…………...……………………………..……………6
1.3.Приведение матричной игры к задаче линейного программирования………………………………………………………….9
1.4Статистические игры. Критерии для принятия решений…….……..13
2.Элементы теории массового обслуживания……………………...……...18
2.1.Основные понятия………………………………………………..…..18
2.2.Модели решения задач массового обслуживания.
Системы массового обслуживания с отказами……………………..…...21
2.3.Системы массового обслуживания с ожиданием и ограниченным ожиданием……………………………………………………………....…24
3.Модели управление запасами……………………………..……………...29
3.1.Основные понятия………………………………………………...….29
3.2.Основная модель управления запасами……………….………...…..30
Варианты заданий…………………………………………………..………..35 Библиографический список…………………………….……………..…….44
4
ВВЕДЕНИЕ
Переход к рыночной экономике в России привел к тому, что работа автомобильного транспорта слабо контролируется и зачастую плохо управляется. Вопросам использования современных методов прикладных исследований и системного анализа, оптимизации работы транспорта,
снижения затрат времени и средств, связанных с перевозкой, неблагоприятного воздействия подвижного состава на окружающую среду, повышения безопасности движения и другим не уделяется должного внимания.
Так, например, отсутствие точных методов прогнозирования объемов грузовых автомобильных перевозок приводит к значительным потерям, связанным, с одной стороны, с несвоевременной перевозкой производимой товарной продукции до места ее потребления, а с другой стороны - с недоиспользованием провозных возможностей подвижного состава.
Необходимы дальнейшие исследования, направленные на определение оптимальных схем перевозок, а также на обеспечение безопасности транспортного процеса.
В области теории автомобильных перевозок в настоящее время широко используются современные методы исследования, в частности методы системного анализа. Однако до сих пор практика автомобильных перевозок носит эмпирический характер.
Экономический рост России связан с увеличением транспортной подвижности населения и дальнейшим ростом числа транспортных средств, что вызывает усиление внимания к вопросам безопасности движения. России необходимо повышение сбалансированности и безопасности транспортной системы, ее интеграция в европейскую и мировую транспортную систему с учетом национальных особенностей и интересов.
5
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР
1.1.Основные определения и понятия
1.1.1.Втеории игр изучаются модели конфликтных ситуаций, которыемогут возникнуть в экономике, в управлении запасами и других областях человеческой деятельности. Задачи теории игр состоят из разработки и определенных рекомендацийпопринятиюрешенийвусловияхконфликтныхситуаций.
Определение 1.1. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.
Под термином «игра» понимается совокупность предварительно оговоренных правил и условий, согласно которым действуют, по крайней мере, два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению собственных целей. Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.
1.1.2.Количественная оценка результатов игры vj (j=1, ), где n - число игроков, называется платежом или выигрышем.
Если vj >0 - выигрыш; vj < 0 - проигрыш;
vj = 0 — ничейный исход (j=1, ).
Вбольшинстве случаев имеют место игры с нулевой суммой, то есть когда для платежей всех участников игры выполняется условие: v1+v2+…+vn = 0.
Виграх с нулевой суммой выигрыш переходит от одного участника игры к другому, не поступая из внешних источников.
1.1.3. Игры, в которых участвуют два игрока, называются парными. Принятие игроком решения — это ход игры.
Ходы могут быть личные (выбран лично игроком) и случайные (выбран с помощью механизма случайного выбора).
Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.
Определение 1.2. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально
6
возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш).
В зависимости от количества стратегий игры бывают конечные и
бесконечные.
В зависимости от вида функции выигрышей игры разделяются на матричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д.
Ограничимся рассмотрением конечных парных игр с нулевой суммой.
1.2.Матричные игры
1.2.1.Матричная игра задается матрицей размерности mxn, которая называется платежной матрицей. В игре участвуют два игрока.
Номер строки i (i =1, ) соответствует номеру стратегии Ai, которую может выбрать первый игрок P1 из m своих возможных стратегий. Второй игрок
Р2, не зная выбора первого, выбирает стратегию Bj (j= |
|
|
) из n своих |
возможных |
|
стратегий. В результате первый игрок |
выигрывает |
величину a |
, а второй |
||
1, |
|
ij |
|
проигрывает эту величину. Описанная игра однозначно определяется платежной матрицей. Такую игру называют конечной игрой размерности тхп.
|
B1 |
B2 |
… |
Bn |
A1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
A2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
Am |
am1 |
am2 |
… |
amn |
A = (aij) = |
|
… |
|
, где |
1, |
. |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
… … |
… |
|
|
|
|
|
|
1, |
|
||||
|
|
… |
|
|
|
1.2.2. Определение 1.3. Число α = maxminaij называется нижней чистой
ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) —
максиминной.
7
Число β = minmaxaij называется верхней чистой ценой игры или
минимаксом , а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) —
минимаксной.
|
1, |
Стратегии различаются на чистые и смешанные. Чистая стратегия Ai |
|||||
|
|
|
j |
|
|
|
|
(i= |
|
) первого игрока — это возможный ход первого игрока, выбранный им с |
|||||
вероятностью, равной единице. Аналогично, чистая стратегия B |
|
(j= |
|
) второго |
|||
|
|
||||||
игрока — его возможный ход, выбранный им с вероятностью, |
равной единице. |
||||||
|
|
1, |
|
Для пары стратегий Аi и Bj их чистые стратегии можно записать в виде: Pi = (0; …; 0; 1; 0; …; 0) и qi = (0; …; 0; 1; 0; …; 0).
Теорема 1.1. В матричной игре нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры, то есть α ≤ β.
Если для чистых стратегий выполняется условие: α = β = ν, то игра называется игрой с седловой точкой. Число ν называется ценой игры.
Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными.
Пример 1.1. Найти решение матричной игры, заданной платежной матрицей
8 4 6 5
A = |
2 |
3 |
4 |
7 |
. |
|
|
|
|
5 2 1 1
Решение. Найдем максимин и минимакс игры, для чего запишем задачу в табл.1.
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
αi |
A1 |
8 |
4 |
6 |
5 |
4 |
A2 |
2 |
3 |
4 |
7 |
3 |
A3 |
5 |
2 |
1 |
-1 |
-1 |
βi |
8 |
4 |
6 |
7 |
|
8
α = maxmin |
aij |
max |
, |
|
α = |
|
|
, |
|
|
max (4; 3; -1) = 4. |
|||
β = minmaxaij |
min |
β = min (8; 4; 6; 7) = 4,
следовательно, цена игры ν = α = β = 4. Для пары стратегий (A1; B2) чистыми стратегиями будут P1 = (0; 1; 0; 0) и q2 = (1; 0; 0; 0), которые являются оптимальными стратегиями игроков.
1.2.3. Вектор р = (p1; …; pm), где рi ≥ 0 i |
1, |
и |
1 |
называется смешанной стратегией первого игрока. Каждая из компонент вектора p показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии. Смешанная стратегия второго игрока —
это вектор q = (q1; …; qn), где qj ≥ 0 |
1, |
и |
1. |
Когда игра не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения используются смешанные стратегии. При смешанных стратегиях игра носит случайный характер и величина проигрыша или выигрыша также становится случайной.
Для смешанных стратегий цена игры является функцией смешанных стратегий ν = f(p, q) и определяется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
|
|
Определение 1.4. Стратегии p* = ( |
|
) и q* = ( |
|
|
) называются |
|||
оптимальными, если для произвольных |
стратегий p и q выполняется условие: |
||||||||
;…; |
|
;…; |
|
|
|
||||
|
f(p, q*) ≤ f(p*, q*) ≤ f(p*, q). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совокупностьоптимальныхстратегийиценыигрысоставляетрешениезадачи. |
||||||||
|
Теорема 1.2. Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в |
||||||||
смешанных стратегиях. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Теорема 1.3. Для того чтобы смешанные стратегии p* = ( |
|
) и q* = |
||||||
( |
;…; |
) были оптимальными для игроков А и В в игре с |
матрицей [a ] |
и |
|||||
|
|
|
;…; |
ij |
mxn |
выигрышем ν, необходимо и достаточно выполнение неравенств:
9
j |
1, |
, |
(1.2) |
i |
1, |
. |
(1.3) |
Таким образом, чтобы проверить то, что (p·, q·, ν) являются решением матричной игры, достаточно проверить условие, удовлетворяют ли p· и q· неравенствам теоремы и уравнениям:
1, |
1. |
(1.4) |
Теорема 1.4. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, какую стратегию применит другой игрок.
Теорема 1.5. Оптимальные смешанные стратегии p* и q* соответственно игроков A и B в матричной игре [aij]mxn с ценой игры ν будут оптимальными и в матричной игре [baij + c]mxn с ценой ν/ = bν + c, где b > 0.
1.3.Приведение матричной игры
кзадаче линейного программирования
1.3.1.Рассмотрим матричную игру размерности mxn с матрицей
|
|
… |
|
|
A = |
… |
… |
… |
. |
|
… … |
|
||
|
|
… |
|
|
Обозначим через р* = (p1; ...; рm) и q* = (q1; …; qn) — оптимальные смешанные стратегии игроков А и В. Стратегия игрока А гарантирует ему выигрыш не меньше ν, независимо от выбора стратегии βj игроком В. Согласно вышеизложенным теоремам запишем:
10
… |
, |
, |
(1.5) |
|
… |
|
|||
… … … … … … … … … … |
|
, |
|
|
… |
|
|
||
где p1 + p2 + … + pm = 1; pi ≥ 0 (i = |
1, |
) |
|
(1.6) |
Аналогично стратегия q* игрока В гарантирует ему проигрыш не больше ν независимо от выбора стратегии Ai игроком А, то есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.7) |
… … … … … |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
… … … … … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где q |
1 + q2 + … + qn |
= ... |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1; q |
|
≥ 0 (j = |
1, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
|||||||
Цена игры ν ≥ 0 всегда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Разделим обе части каждого из неравенств на положительное число ν, |
||||||||||||||||||||||||||||||
введя обозначения p |
|
/ν |
= x |
|
|
q |
|
|
/ν = |
y |
|
|
(i |
= |
|
|
; j = |
|
), получим |
пару |
||||||||||
i |
i; |
i |
|
j |
|
1, |
1, |
|||||||||||||||||||||||
двойственных задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Найти минимальное значение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f (x) = x1 + x2 + … + xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.9) |
|||||||||
(если игрок А максимизирует цену игры ν, |
|
то обратная величина |
|
|
будет |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
минимизироваться) при ограничениях |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
||
… … … … … |
... |
|
|
… |
… |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
… … |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где x |
|
+ x |
|
+ … + xm = 1/ν; xi ≥ 0 (i = |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
||||||||||||||
и найти максимальное значение |
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1, |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
G (y) = y1 + y2 + … + yn – max, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.12) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.13) |
||
… … … … … |
... |
|
|
|
|
|
… |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
… … … |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 + y2 + … + yn... |
|
|
|
|
j |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где y |
|
|
|
|
|
|
|
= 1/ν; |
y |
|
≥ 0 (j = |
1, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|