3808

целесообразнее воспользоваться уравнением А. Шарлье, учитывающим асимметрию и эксцесс опытных рядов.

В качестве примера для вычисления теоретических частот по уравнению А. Шарлье возьмем данные обмера высот деревьев в культурах дуба Шипова леса (табл. 2).

Для данного вариационного ряда необходимо решить вопрос о характере распределения деревьев по высоте, т.е. нужно подобрать соответствующую теоретическую модель и оценить степень соответствия вариационного ряда этой модели.

Первоначально выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии различий между данным распределением и нормальным. Для проверки этой гипотезы необходимо сделать оценку степени асимметрии (косости) и эксцесса (крутости) исследуемого вариационного ряда по сравнению с нормальным. С этой целью предварительно вычисляются начальные, центральные и основные моменты.

Таблица 3 Фрагмент вариационного ряда, представленного для сравнение с

нормальным распределением

Показатель асимметрии вариационного ряда:

A r3 1,07 .

Ошибка показателя асимметрии:

Показатель эксцесса вариационного ряда:

E r4 3 3,54 3 0,63 .

Ошибка показателя эксцесса:

Оценка степени асимметрии и эксцесса вариационного ряда производится с помощью критерия Стьюдента. Вначале вычисляются фактическое значение критерия для коэффициента косости – tА и коэффициента эксцесса – tЕ.

Полученные фактические значения tА и tЕ сравниваются со стандартным значением этого критерия - tst, которое определяется по приложению 3.

Для рассматриваемого примера, при числе степеней свободы f n 1 106 1 105 , tst для вероятностей 0,95; 0,99; 0,999 равно 1,98; 2,62; 3,37.

Так как tА = 4,5 > tst = 3,37, можно сделать вывод, что исследуемый вариационный ряд высот по степени асимметрии (косости) существенно отличается от нормального ряда. Нулевая гипотеза отвергается. Для показателя эксцесса (крутости) такой вывод сделать нельзя, т.к. tЕ = 1,32 < tst = 1,98. Следовательно, имеющиеся отклонения в крутости исследуемого ряда от нормального является случайным. Нулевая гипотеза сохраняется.

Наличие существенной асимметрии исследуемого вариационного ряда (К = –1,07) свидетельствует о том, что производит выравнивание частот по уравнению нормальной кривой нельзя.

Теоретические частоты для кривой Шарлье типа «А» вычисляются по следующему уравнению:

где: n – теоретические частоты;

f x – функция нормального распределения;

f III x , f IV x – третья и четвертая производные функции нормального распределения;

А – показатель асимметрии (косости) ряда;

Е – показатель эксцесса (крутости) ряда; х – нормальное отклонение средних значений классов от среднего

значения признака;

N – численность ряда;

– среднеквадратическое отклонение в единицах интервала .

Для расчета теоретических частот по данной формуле составляется вспомогательная ведомость (табл. 5).

В 1 и 2 графы этой таблицы записывают средние значения классов и частоты вариационного ряда. В 3 графе вычисляют отклонения «а» средних значений классов (W) от условного начала А в целых интервалах (λ). В 4 графе из отклонений «а», полученных в 3 графе, вычисляют значение первого начального момента ν1, равного в рассматриваемом примере 0,0283. Значение

«х» в графе 5 вычисляют по формуле: х а 1 , т.е. результаты, полученные в

графе 4, выражают в условных сигмах . В 6, 7 и 8 графах записывают значение функции нормального распределения f(х), а также третьей и четвертой производной от этой функции - f III x и f IV x . Определяются они по приложению в зависимости от величины «х». При отрицательных значениях «х» знак, указанный в приложении 2, нужно изменить на обратный. Для f(х) и

f IV x знаки остаются теми же, что и в приложении 1, независимо от знака аргумента. Данные 9 и 10 граф вычисляются по соответствующим формулам, указанным в заголовке граф таблицы 5, где : А – коэффициент асимметрии, а Е

–коэффициент эксцесса.

В11 графу записывается сумма чисел 6, 9 и 10 граф. Итоговая сумма цифр 11 графы является контрольной. Она должна быть равна среднеквадратическому (основному) отклонению, выраженному в интервалах -

, а в рассматриваемом примере – 2,44.

Теоретические частоты – n в графе 12 – получают путем умножения данных 11 графы на N в соответствии с исходной формулой.

Сумма теоретических частот должна равняться сумме фактических частот вариационного ряда. Результаты проведенного выравнивания в графическом изображении показаны на рис. 2.

Рис. 2 – Распределение деревьев дуба по высоте:

опытное; ------ теоретическое

Выравниваемые по уравнению А. Шарлье теоретические частоты достаточно хорошо согласуются с опытным распределением, а уравнение А. Шарлье является приемлемой моделью для его характеристики.

Распределение редких событий (Пуассона)

До сих пор речь шла о распределениях, хотя и отклоняющихся от нормального, но все же довольно близких к нему. Однако часто встречаются распределения, сильно отличающиеся от нормального.

Важнейшим из них является распределение Пуассона. Если нормальное распределение относится к классу непрерывных распределений и выведено из предположения, что вероятность появления события не очень мала, то распределение Пуассона получается в случае очень малой вероятности события:

несколько троек. Так как М = np, то М может быть величиной порядка единицы только в том случае, если при малой p велико n; в нашем примере это означает, что общее число рождений в городе (за год) велико. Но при очень больших n все множители в фигурных скобках формулы равны

образом, окончательно получается вышеприведенная формула распределения Пуассона

Рассмотрим следующий пример. Мешок содержит 100 стаканов белых семян, причем в каждом стакане помещается 100 семян; таким образом, общее число семян равно 10000. Заменим 100 штук белых семян таким же количеством черных. Тогда на каждые 100 семян будет приходиться одно черное семя. Если теперь, после тщательного перемешивания всех семян, зачерпывать из мешка по одной мерке семян, то на каждую порцию придется в среднем одно черное семя. Однако, это вовсе не означает, что на самом деле в каждой порции будет по одному такому семени. В некоторых порциях таких семян не окажется совсем, в других будет по одному семени, в некоторых по два, в каком-то числе порций по три и т.д. Распределение числа порций, в которых окажется то или иное число черных семян, приближенно выражается законом Пуассона. Здесь М – среднее число черных семян в одной порции, равное единице. Величина nm, соответствующие значениям m > 5, получаются в данном случае (при М = 1) настолько малыми, что ими можно пренебречь. Окончательно распределение будет выглядеть так:

Таким образом, в 37 порциях теоретически не окажется ни одного черного семени, в 37 их будет по одному, в 19 – по два, в 6 порциях – по 3, в одной – 4 черных семени; вероятность появления пяти и более черных семян в одной порции очень мала, так что из таких не окажется ни одной.

Видно, что при М < 1 частоты монотонно убывают с возрастанием m, а при М > 1 имеется максимум; значение М = 1 является в этом отношении критическим. Чем больше М, тем все дальше отодвигается максимум, а симметричность распределения становится все менее и менее заметной. При достаточно больших М распределения мало отличается от симметричного биноминального распределения, близкого к нормальному. Если М > 20, то распределение Пуассона достаточно хорошо приближается к закону Гаусса.

Расчет моментов распределения Пуассона показывает, что 1 М .

Далее оказывается, что 2 3 М , то есть среднее значение, дисперсия и третий центральный момент равны между собой. Следовательно, если для

может быть использовано для проверки того, описывается ли данное эмпирическое распределение законом Пуассона или нет.

Распределение Пуассона находит применение в биологии и лесном хозяйстве. Оно, например, описывает распределение численности естественного возобновления древесных пород, когда размер учетных площадок невелик или условия заселения площади подростом неблагоприятны.

Ниже приведены данные учета естественного возобновления сосны на вырубках (размер учетных площадок 1м2). Практическое распределение численности площадок (n) по числу всходов (m) следующее:

Видно, что распределение имеет крайне асимметричный характер, большая часть площадок (329 и 435) не имеет подроста. Малая вероятность появления благоприятного события (наличие подроста) p = М = 0,39 и форма распределения дают основание полагать, что оно соответствует модели Пуассона.

Вычисление выравнивающих частот производится при помощи таблицы значения «Рm» - вероятности появления события «m» (приложение 6), умножая эти значения на численность практического ряда N = 435. Результаты вычислений приведены в последнем столбце табл. 6.