4038
.pdfНапример, если rxy = 0,8, то rxy2 = 0,64, т.е. 64 % всех изменений одного признака связано с изменением другого.
Доверительным интервалом статистической оценки истинного значения коэффициента корреляции нормально распределенных случайных величин Х и Y является интервал
|
|
|
|
1 r 2 |
|
|
|
1 r 2 |
|
||||
r |
t |
|
|
xy |
;r |
t |
|
|
xy |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
xy |
|
|
|
n |
xy |
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь rxy – выборочный коэффициент корреляции, величина t находится по таблице значений функции Лапласа (прил. 1) из условия Ф( t ) = 2 , где –
заданный доверительный уровень.
11. УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИХ РЕГРЕССИЙ
Уравнением линейной среднеквадратической регрессии величины X
на величину Y называется уравнение
x xâ rxy y yâ .â( X ) â( Y )
Уравнением линейной среднеквадратической регрессии величины Y
на величину X называется уравнение
y yâ rxy x xâ .â( Y ) â( X )
Пример 11.1
23
Найти коэффициент корреляции и составить уравнение линейной регрессии величины Y на величину X .
|
xi |
20 |
|
25 |
|
|
30 |
|
|
|
|
35 |
|
|
|
40 |
|
45 |
n j |
y j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
10 |
40 |
|
4 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
17 |
50 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
18 |
60 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
2 |
|
|
20 |
70 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
13 |
ni |
|
12 |
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
19 |
|
|
|
12 |
|
11 |
n =78 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для упрощения расчетов введем условные варианты: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
x u |
0 |
|
|
|
|
y j |
v0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i |
, |
v |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
i |
hx |
|
|
|
|
|
hy |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где u0 M0 (X ) 35 |
(max ni 19); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v0 M0 (Y ) 60 |
(max nj |
20); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
hx |
= 5 (разность между соседними значениями вариант xi ); |
|
|||||||||||||||||
hy |
= 10 (разность между соседними значениями вариант y j ). |
|
Составим корреляционную таблицу с условными вариантами:
|
ui |
–3 |
|
–2 |
|
–1 |
0 |
1 |
2 |
n j |
|
v j |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–3 |
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|
10 |
||
–2 |
|
4 |
1 |
|
5 |
|
7 |
|
17 |
||
–1 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
6 |
18 |
0 |
|
5 |
3 |
|
|
10 |
2 |
|
20 |
||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
3 |
5 |
13 |
||
ni |
|
12 |
12 |
|
12 |
19 |
12 |
11 |
n =78 |
||
|
Затем находим |
|
B и |
vB : |
|
|
|
|
|||
|
u |
|
|
|
|
24
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ni ui |
|
12 ( 3) 12 ( 2) 12 ( 1) 19 0 12 1 11 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
B |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
36 24 12 0 12 22 |
38 0,487; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n j |
v j |
|
|
|
10 |
( 3) 17 ( 2) 18 ( 1) 20 0 13 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
30 34 18 0 13 |
69 0,885. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теперь находим |
|
uB |
2 и |
|
vB |
2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
ui |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
12 9 12 4 12 1 19 0 12 1 11 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
108 48 12 0 12 44 |
|
224 |
2,872; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n j v j 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
2 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
10 9 17 4 18 1 20 0 13 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 68 18 0 13 |
|
|
189 |
2,423. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
Определяем B (U ) и B (V ) :
B (U ) = uB 2 (uB )2 2,872 ( 0,487)2 1,623;
B (V ) = vB 2 (vB )2 2,423 ( 0,885)2 1,281.
Коэффициент корреляции r |
найдем по формуле |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
В (U ) В (V ) |
|
|
||
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
||
где |
ui vi |
|
B vB |
корреляционный момент. |
|
|
|||
u |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
При вычислении ui vi складываем члены вида |
nij ui v j |
( nij частота |
i 1
появления пары ( ui ,v j )):
25
n |
|
|
ui |
vi |
6 ( 2) ( 3) 4 0 ( 3) 4 ( 3) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 5 ( 1) ( 2) |
i 1 |
|
|
7 1 ( 2) 3 ( 3) ( 1) 4 ( 1) ( 1) 5 0 ( 1) 6 2 ( 1) 5 ( 3) 0
3 ( 2) 0 10 0 0 2 1 0 2 ( 2) 1 3 ( 1) 1 3 1 1 5 2 1 67.
Тогда 781 67 ( 0,487) ( 0,885) 0,428 , а значит
r |
0,428 |
0,206. |
1,623 1,281 |
Осуществим переход к исходным вариантам:
xB hx uB u0 5 ( 0,487) 35 32,565;
yB hy vB v0 10 ( 0,885) 60 51,15;
B (X ) hx B (U ) 5 1,623 8,115;
B (Y ) hy B (V ) 10 1,281 12,81.
Находим уравнение линейной регрессии величины Y на величину X . Это уравнение имеет вид:
|
|
y yB |
r |
x xB |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
B (Y ) |
B ( X ) |
|||||
Подставляя вычисленные значения xB , yB , B (X ), B (Y ), r в это |
||||||||
уравнение, получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
y 51,15 |
0,206 |
x 32,565 |
. |
||||
|
|
|
||||||
12,81 |
|
8,115 |
|
После упрощения получаем уравнение линейной регрессии величины Y на величину X в виде:
y =0,325 x +40,566.
12.ВЫРАВНИВАНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО КРИВОЙ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим дискретную случайную величину X , закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено n испытаний, в которых величина X
26
приняла n1 раз значение x1 , n2 раз значение x2 , … , nk раз значение xk ,
k
причем ni n . i 1
Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты ni .
Пусть имеются основания предположить, что изучаемая случайная величина X распределена по некоторому определенному закону. Чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений,
вычисляют |
частоты наблюдаемых значений, |
т. е. находят |
теоретически |
||
|
каждого из наблюдаемых значений в предположении, что величина |
||||
частоту ni |
|||||
X распределена по предполагаемому закону. |
|
|
|
||
Выравнивающими |
(теоретическими) |
частотами в |
отличие |
от |
|
фактически |
наблюдаемых |
эмпирических частот называют |
частоты |
|
|
ni , |
найденные теоретически (вычислением). Выравнивающие частоты находят с помощью равенства
|
|
n Pi , |
|
|
ni |
|
|
где n – число испытаний; |
Pi – |
вероятность наблюдаемого значения |
õi , |
вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение. |
|
||
Итак, выравнивающая |
частота наблюдаемого значения |
õi |
дискретного распределения равна произведению числа испытаний на вероятность этого наблюдаемого значения.
В случае непрерывного распределения, вероятности отдельных возможных значений равны нулю. Поэтому весь интервал возможных значений делят на k непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности Pi
попадания X в i-й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности.
Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения находят по равенству
n n P ,
i i
27
где n – число испытаний; Pi – вероятность попадания X в i-й частичный интервал, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.
Если имеются основания предположить, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
n h |
( ti ) , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ni |
s |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где n – число испытаний (объем выборки), |
h – длина частичного интервала, |
||||||||||||||
s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, t |
i |
|
xi xâ |
|
|||||||||||
s |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( õi – |
середина |
|
i-ого |
частичного |
интервала), а значение |
|
функции |
||||||||
( õ ) |
1 |
|
å õ |
2 |
/ 2 находят по таблице прил. 2. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1
1) При использовании таблицы для вычисления значений функции ( õ )
следует учитывать, что эта функция четная, т. е. ( õ ) ( õ ).
2) Чтобы пользоваться таблицей значений функции ( õ ) , достаточно вычислять числа ti с двумя знаками после запятой.
|
округлены до целых. |
3) Числа ni |
Если эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот, то для вычисления теоретических частот нормально распределенной случайной величины можно воспользоваться более точными формулами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(Ô(t2i ) Ô(t1i )) , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|||||
где |
t |
|
x1i xâ |
, |
t |
2i |
|
x2i xâ |
, |
õ |
- левый, а |
õ |
- правый концы i-ого |
|
|
1i |
|
s |
|
|
s |
|
|
1i |
|
2i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частичного интервала разбиения, Ô( x) - функция Лапласа, значения которой находятся по таблице прил. 1.
28
Замечание 2
1) При использовании таблицы для вычисления значений функции Ô( x)
следует учитывать, что эта функция нечетная, т. е. Ô( x) = – Ô( x) . |
|
|
|||||||||||||
2) Чтобы пользоваться таблицей значений функции |
Ô( x) , достаточно |
||||||||||||||
вычислять числа |
t1i и |
t2i с двумя знаками после запятой. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
округлены до целых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3)Числа ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 12.1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты |
|
õi |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
|
45 |
50 |
55 |
|
|
|
Частоты |
|
ni |
6 |
13 |
38 |
74 |
106 |
85 |
|
30 |
10 |
4 |
|
Построить полигон частот и нормальную кривую по данному распределению.
Решение.
С целью упрощения вычислений перейдем к условным вариантам
u |
xi uo |
, |
где |
u M |
o |
35 |
, h x |
x |
|
5 . Результаты вычислений |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
i |
h |
|
|
|
o |
|
|
i |
i 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
оформим в виде таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 12.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
õi |
|
|
ni |
|
|
|
x 35 |
ni ui |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui |
i |
|
|
|
|
|
ni ui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
15 |
|
|
|
6 |
|
|
- 4 |
|
|
- 24 |
|
96 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
20 |
|
|
|
13 |
|
|
- 3 |
|
|
- 39 |
|
117 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
25 |
|
|
|
38 |
|
|
- 2 |
|
|
- 76 |
|
152 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
30 |
|
|
|
74 |
|
|
- 1 |
|
|
- 74 |
|
74 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
106 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
85 |
|
|
|
1 |
|
|
|
85 |
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
30 |
|
|
|
2 |
|
|
|
60 |
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
10 |
|
|
|
3 |
|
|
|
30 |
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
16 |
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
9 |
|
366 |
|
|
|
|
9 |
u 22 |
9 |
u2 798 |
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
u |
0,06 |
, |
|||||||||
|
|
|
|
u |
â |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i 1 i |
i |
366 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
798 |
|
D (U ) u2 |
( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
u2 |
( |
|
)2 |
|
( 0,06 )2 2,1767 , |
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||
u |
|
|
u |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
â |
â |
|
|
â |
|
|
|
|
n |
|
|
i 1 i |
|
i |
â |
|
366 |
|
xâ uo h uâ 35 5 ( 0,06 ) 34,7 ,
D ( Õ ) h2 |
D (U ) 52 |
2,1767 25 2,1767 54,4175 , |
||||||||
â |
|
â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s |
n |
D ( Õ ) |
366 |
54,4175 7,38 . |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
n 1 |
â |
|
|
|
365 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим выравнивающие частоты (табл. 12.2)
Т а б л и ц а 12.2
õi |
ni |
xi xâ |
|
|
|
xi xâ |
|
( ti ) |
|
|
n h |
( ti |
) |
|
|
|
xi 34,7 |
ti |
|
|
|
|
ni |
s |
|||||
|
|
|
s |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 34,7 |
|
|
248 ( ti ) |
|
||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
7 ,38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
6 |
- 19,7 |
|
|
- 2,67 |
|
|
0,0113 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
13 |
- 14,7 |
|
|
- 1,99 |
|
|
0,0551 |
|
|
14 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
25 |
38 |
- 9,7 |
|
|
- 1,31 |
|
|
0,1691 |
|
|
42 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30 |
74 |
- 4,7 |
|
|
- 0,63 |
|
|
0,3271 |
|
|
82 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
35 |
106 |
0,3 |
|
|
0,05 |
|
|
0,3984 |
|
|
99 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
40 |
85 |
5,3 |
|
|
0,73 |
|
|
0,3056 |
|
|
76 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
45 |
30 |
10,3 |
|
|
1,41 |
|
|
0,1476 |
|
|
37 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
50 |
10 |
15,3 |
|
|
2,09 |
|
|
0,0449 |
|
|
11 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
4 |
20,3 |
|
|
2,77 |
|
|
0,0086 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=366 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 366 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
||
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый и последний столбцы табл. 12.2 дают координаты точек ( õ , n ), i i
по которым строится кривая нормального распределения.
Рис. 12.1 Близость теоретических и эмпирических частот говорит в пользу
предположения о нормальном законе заданного распределения.
На рис. 12.1 построены нормальная (теоретическая) кривая по выравнивающим частотам (они отмечены крестиками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены точками). Сравнение графиков наглядно показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений. Для того чтобы более уверенно считать, что данные наблюдений свидетельствуют о нормальном распределении признака, пользуются специальными правилами, которые называют критериями согласия.
13. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА
Обычно в практических задачах не встречаются случайные величины, распределения которых точно соответствовали бы теоретическим распределениям. Последние представляют собой математические модели реальных распределений. Подбор таких моделей и анализ их адекватности моделируемым случайным величинам являются одной из основных задач
31
математической статистики. Эта задача в свою очередь сводится к проверке предположений (гипотез) о виде модели распределения и ее параметрах.
Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется любое предположение о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.
Нулевой (основной) гипотезой H0 называется предположение, которое выдвигается изначально, пока наблюдения не заставят признать обратное.
Альтернативной (конкурирующей) гипотезой H1 называется гипотеза,
которая противоречит нулевой гипотезе и которую принимают, если отвергнута основная гипотеза.
Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез.
Задачи статистической проверки гипотез:
относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза Н;
из этой генеральной совокупности извлекается выборка;
необходимо указать правило, с помощью которого можно было по выборке
ответить на вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.
Отметим, что статистическими методами гипотезу можно только опровергнуть или не опровергнуть, но не доказать.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.
Уровнем значимости называется вероятность совершить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу H0 (или
32