4561
.pdf21
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
Задача № 5.
Вариант 1.
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
y |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 2 |
1 |
x2 , |
y 0. |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y tgx, |
|
y 0, |
x |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
y |
8 |
, |
|
|
y 0, |
x 2, |
x 8. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y cos x, |
y 0, |
x |
, |
x |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
y |
|
1 |
x2 1, |
y 0, |
x 0, |
x 3. |
||||||||||
|
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y ctgx, |
y 0, |
x |
, |
x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
y 4x x2 , |
y 0, |
x 0, |
x 3. |
|||||||||||||
Найдите длину дуги линии. |
|
|
||||||||||||||
y 15 ln sin x , |
|
x |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
x2 y2 9.
|
|
|
|
|
|
|
15 |
. |
|||||
y arcsin x 1 x2 , |
0 x |
||||||||||||
16 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y 1 ln cos x , |
0 x . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
. |
|||||||
y 1 x2 arccos x, |
0 x |
||||||||||||
9 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y2 x3, |
0 x 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y ln 1 |
x2 |
|
, 0 |
x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
Вариант 8.
Ox .
Вариант 9.
Вариант 10.
Задача № 6.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
||
y |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
x 4 |
|
|
4 |
x3 , |
|
|
||||||
x |
между точками пересечения с осью |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
y2 x 1 3 , |
|
1 x 2 . |
|
|||||||||
y 3 ln cos x , |
x |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
Исследовать на сходимость несобственный интеграл.
1 dx
x2 .
dx
1 x2 .
1 dx
0 x .
xe x2 dx .
0
arctgx dx .
0 1 x2
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
0 dx
4 x2 .
2 |
dx |
|||
|
||||
|
|
. |
||
x2 |
4 |
|||
0 |
|
|
|
x2 e x3 dx .
0
e |
ln x dx |
|
||
|
. |
|||
|
|
|||
0 |
x |
|||
|
|
|
||
e |
dx |
|||
|
||||
|
. |
|||
x ln x |
||||
1 |
|
|
|
Задача № 7. Вычислить приближѐнно определѐнный интеграл с помощью формулы прямоугольников, формулы трапеций и формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на n частей. Все вычисления производить с точностью до 0,001.
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Вариант 1. |
4 1 |
x3 dx, n 8. |
Вариант 6. |
|
4 x3 |
dx, n 10. |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Вариант 2. |
|
16 x2 dx, n 10 . |
Вариант 7. |
4 |
64 x3 dx, n 8. |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Вариант 3. |
|
4 8 |
x3 dx, n 8. |
Вариант 8. |
|
9 x3 |
dx, n 10 . |
6 |
0 |
23
10 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 4. |
18 x2 |
|
dx, n 10. |
Вариант 9. |
|
4 27 x3 dx, n 8. |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 5. |
4 1 x3 |
|
dx, n 8 . |
Вариант 10. |
|
4 27 x2 dx, |
n 8 . |
||||||
|
8 |
|
|
|
|
5 |
|
Образец решения некоторых задач.
Задача № 1. Вычислить указанные определѐнные интегралы.
2dx
1.1 7 3x 3 .
Пользуясь правилом f kx b dx |
|
1 |
F |
kx b C , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получаем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
dx |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 3x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 7 3x 3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
7 3x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
6 7 3 2 |
2 |
6 7 3 1 |
2 |
|
|
|
6 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
16 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
x cos 2x dx . |
Интегрируя по частям, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
udv uv |
|
ba vdu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 x cos 2x dx = |
|
u x |
dv cos 2xdx |
|
= |
x |
|
sin 2x |
|
|
4 |
1 |
4 sin 2xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
du dx |
v |
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
= |
sin |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
cos 2x |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
1 |
2 . |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
8 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
sin |
|
1 |
cos |
|
1 |
cos 0 |
|
||||
8 |
2 |
4 |
2 |
4 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
|
ln |
. |
Пользуясь формулой замены переменной в определѐнном |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
интеграле и учитывая, что ln1 0 |
и ln e 1,получаем: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x t |
|
1 |
|
t4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ln3 |
x dx |
= |
|
dx |
|
|
= t3dt |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
0 |
4 |
4 |
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e4 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 e4 |
x |
|
12 |
3 e4 4 e4 3 3 e0 e1 |
3 1 e 3 e 1 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
При вычислении интеграла воспользовались 3-им правилом |
||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования и табличным интегралом 4). |
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y x2 3x 5; |
y x 2. |
Найдѐм абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему
y x2 3x 5,y x 2.
Решая полученную систему уравнений, получаем:
x1 3; |
x2 1. |
25
Рис.1.
После построения графиков заданных функций получим фигуру (рис.1),
ограниченную прямой y x 2 и параболой y x2 3x 5.
Площадь фигуры, изображѐнной на рис.2, вычисляется по формуле:
b
S f2 (x) f1(x) dx .
a
26
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нашем случае |
f |
2 |
(x) x 2, |
|
f (x) x2 3x 5, следовательно, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx |
|
x |
|
x2 |
3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
( 3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
( 3) |
|
3 ( 3) |
|
|
|
2 |
9 9 |
9 10 |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
Задача № 4. Вычислить объѐм тела, полученного при вращении вокруг |
|||||||||||||||||||||||||||||
оси Ox фигуры, ограниченной линиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
1, |
x 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Первое |
уравнение |
задаѐт |
гиперболу, |
а уравнение |
x 6 |
|
|
задаѐт |
вертикальную прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой.
27
Рис.3.
Пользуясь формулой для вычисления объѐма тела вращения
b
VOx f 2 (x) dx ,
a
находим объѐм тела (рис.3), образованного вращением нашей фигуры вокруг оси Ox :
|
|
6 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
x3 |
|
|
6 |
|
4 |
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
VOx |
|
3 |
|
|
x |
|
4 |
dx |
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
4 6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
3 |
|
|
3 |
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
4 3 8 8 16 (куб. ед.) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Задача № 7. Вычислить приближѐнно определѐнный интеграл с помощью формулы прямоугольников, формулы трапеций и формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на n частей. Все вычисления производить с точностью до 0,001.
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 9 x2 dx, |
n 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разобьѐм отрезок интегрирования [-2;6] |
|
на 8 |
равных частей с шагом |
|||||||||||||||||||||
h |
6 ( 2) |
1 |
точками x 2, x |
1, |
x |
|
0, |
x 1, |
|
x |
2, |
x 3, |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x6 4, |
x7 5, |
|
|
x8 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Вычислим |
значения |
функции |
y 4 9 x2 |
в |
этих |
точках: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
yi y(xi ), i 0;8. |
Запишем результаты вычислений в таблицу: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xi |
|
-2 |
|
-1 |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
6 |
|
||||||
yi |
|
1,899 |
|
1,778 |
|
1,732 |
1,778 |
1,899 |
|
2,060 |
2,236 |
|
2,415 |
2,590 |
|
Запишем формулы приближѐнного вычисления интеграла для случая разбиения отрезка интегрирования на 8 частей.
Формулы прямоугольников:
|
|
|
|
b |
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
... y7 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) dx h |
y1 |
y2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
... y8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) dx h |
y2 y3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула трапеций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
b |
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y(x) dx h |
|
0 |
8 |
y1 y2 ... y7 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Симпсона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
|
h |
y y |
2 |
y y y |
|
4 y y y y . |
||||||||||
|
y(x) dx |
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
0 |
8 |
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
1 |
3 |
5 |
7 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
29
Проведя вычисления по этим формулам, получим, что приближѐнное значение интеграла по формулам прямоугольников равно 15,797 или 18,387; по формуле трапеций равно 16,142, а по формуле Симпсона равно 16, 116.
Вопросы для самоконтроля и проверки
1.Что такое интегральная сумма и в чем заключается ее геометрический
смысл?
2.Сформулируйте определение определенного интеграла.
3.Какие функции являются интегрируемыми?
4.Чему равен определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами интегрирования?
5.Как изменится значение определенного интеграла, если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования?
6.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
7.Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
8.Как с помощью определенного интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции?
9.Как найти объем тела вращения?
Самостоятельная работа по теме «Функция двух переменных»
Задача № |
1. Изобразить |
область определения D(z) функции двух |
|||||
переменных |
z f (x; y) . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
z |
|
x y . |
||||
Вариант 1. |
|
Вариант 6. z ln |
|
. |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
z ln(xy) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 2. |
Вариант 7. |
z |
4 x2 y2 9 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
9 x2 y2 . |
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 3. |
Вариант 8. |
z x sin y . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
x2 y2 25 . |
||||
Вариант 4. |
z |
x 3y2 . |
Вариант 9. |
|
30
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 5. |
z |
|
|
. |
|
Вариант 10. z 4 x |
y2 1 . |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
x y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант . |
z |
|
4 y2 |
x . |
|
|
Задача № 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-
го порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1. |
а) |
z 5x3 y2 |
7xy |
|
y4 |
x5 ; |
б) |
z ln x2 |
|
y3 . |
||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 2. |
а) |
z 3x4 y2 |
2xy |
|
y3 |
x3 ; |
б) |
z arc sin 3x2 y4 . |
||||||||||||||||
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 3. |
а) |
z 5x2 y y3 |
|
x |
|
xy4 ; |
б) |
z arctg |
|
x |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вариант 4. |
а) |
z 4xy3 |
|
x y5 |
2 y x4 ; |
б) |
z sin 2x 3y . |
|||||||||||||||||
|
|
z 4x3 3x2 y y3 7 ; |
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
Вариант 5. |
а) |
б) |
z cos |
|
|
|
|
e y |
. |
|||||||||||||||
|
y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант 6. |
а) |
z 3xy5 2 y4 x5 78; |
б) |
z e3x2 y3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вариант 7. |
а) |
z 3x3 y2 |
|
2xy |
|
y5 |
x4 ; |
б) |
z ln x3 |
y2 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 8. |
а) |
z 2x2 y4 |
5xy |
|
y2 |
x3 ; |
б) |
z arccos 4x3 y4 . |
||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
z sin3 3x 2 y . |
|||||||||||||||||
Вариант 9. |
а) |
z 3x3 y x5 |
|
y y6 x ; |
б) |
|||||||||||||||||||
|
z 4x2 2xy2 y3 8; |
|
z arcsin e2 x |
|
|
. |
||||||||||||||||||
Вариант 10. а) |
б) |
5y |
||||||||||||||||||||||
Вариант . |
а) |
z x9 y2 2 y 4x 5; |
б) |
z x2 ln y . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача № 3. Исследовать на экстремум функцию z f (x; y) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вариант 1. |
z y2 4x 4 4xy 5x2 2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вариант 2. |
z 6x 2xy 1 x2 y2 10 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вариант 3. |
z 5xy 5 3x2 y 3y2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вариант 4. |
z x y2 2 xy x2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|