4571

11

Общий вывод: не имеет смысла уменьшать С.И . более, чем до С.И . 0 / 3, а

увеличивать объем выборки n имеет смысл до тех пор, пока 2С.И . 20 / n М или систематической составляющей погрешности СИ.

Некоторые практические рекомендации [3]:

начинающим исследователям не следует рассматривать разработанные в ТПЭ положения как догму, а видеть эту теорию как руководство к действию, как аналог, пример возможных решений, приглашающий к размышлению и принятию собственных эвристических или волевых решений;

иногда необходимо бывает построить план с более сложными, не рассматриваемыми здесь зависимостями. В этом случае необходимо помнить, что если несколько худшее решение можно получить сегодня, а оптимальное – неизвестно когда, то целесообразно исходить из положения «лучшее – враг хорошего» и использовать положения ТПЭ как примеры, достойные подражания для принятия эвристических решений в ситуациях, оптимальное решение которых еще неизвестно.

Определение оптимальных условий процессов. Стратегия поиска оптимума

Применение методов планирования эксперимента позволяет эффективно находить оптимальные условия и режимы протекания процессов. Чаще всего для этого используется градиентный метод крутого восхождения.

Постановка задачи нахождения оптимума

Многомерная оптимизация – это поиск экстремума функции нескольких аргументов (функции векторного аргумента).

Количество переменных (координат), определяющих функцию, будем обозначать k. Задача многомерной оптимизации имеет место при количестве факторов k ≥ 2.

Задача: найти экстремальное (минимальное или максимальное) значение отклика y и соответствующий ему векторный аргумент (факторы) x ={x1, x2…xk}:

y F(x1, x2 , ...,xk ) extr .

Функция k переменных задает гиперповерхность в (k+1)-мерном пространстве. Для функций одной или двух переменных легко получить графическую интерпретацию задачи (рис. 3) [3].

Метод градиентного поиска подразумевает движение в направлении наиболее быстрого изменения целевой функции у (отклика, рассчитанного по регрессионной

13

Метод крутого восхождения (наискорейшего спуска) требует еще меньших затрат времени, т.к. в отличие от обычного градиентного метода, здесь в направлении выбранного градиента делается не один, а несколько шагов. Движение в выбранном направлении продолжается до тех пор, пока целевая функция (отклик)

использовать план эксперимента 2-го порядка для нахождения уравнения регрессии 2-го порядка, с помощью которых уточнить оптимальные факторы.

Метод многофакторного планирования (ПФП) и метод крутого восхождения по поверхности отклика дают возможность достаточно достоверно и экономично определять оптимум по двум-четырем исследуемым факторам. При большем количестве факторов более эффективным становится метод разбиения всех факторов на группы по 3-4 фактора в каждой группе. Разбивать надо таким образом, чтобы факторы, которые являются взаимодействующими, или могут быть взаимодействующими, не попали в разные группы. Если это удается сделать, то тогда оптимальная область всех факторов представляет собой совокупность их оптимальных значений в каждой группе [4].

В случае, если все факторы не возможно разбить на такие группы,

используется метод «последовательного преодоления лимитирующих факторов» с

использованием полного факторного эксперимента, представляющего собой циклическое воспроизведение метода разбиения с уточнением факторов [5].

14

Использование метода дробных реплик и отсеивающего эксперимента, основанного на ранжировании факторов, не целесообразно.

5. Построение оптимальных планов эксперимента первого и второго порядка

Эффективность и основные понятия

План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.

Теория планирования эксперимента позволяют существенно повысить эффективность экспериментальных исследований, повысить точность регрессионной модели или уменьшить необходимое число опытов.

Проиллюстрируем это преимущество на простом примере. С помощью пружинных весов требуется определить вес 3-х предметов: А, В, С. Обозначим через x неизвестную массу чашки весов. Обычный способ определения весов предметов состоит во взвешивании сначала чашки, а затем последовательно каждого предмета

(табл. 1) [4].

Знак “+” или “–” означает наличие или отсутствие соответствующего груза на

весах.

Масса предмета, например, предмета А определится по формуле:

Ра = y1 – y0.

Погрешность измерения оценивается дисперсией D или среднеквадратическим отклонением σ.1 Так как дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий , то дисперсия ошибки определения массы груза А равна: D(ра) = D(у1) + D(у0) = 2D, где D – дисперсия ошибки одного взвешивания.

Теперь рассмотрим эффективный способ определения весов грузов (табл. 10).

1 Как правило, результаты измерения подчиняются нормальному закону распределения ошибок. В этом случае разброс замеров одного и того же предмета (например, предмета А) будет находиться в интервале (М(Ра )–3σ; М(Ра )+3σ), где М(Ра ) – математическое ожидание веса предмета А. При этом вероятность того, что вес предмета А окажется вне этого интервала, будет всего лишь 0,27%.

15

Таблица 2 – Эффективный способ определения весов грузов

В этом случае масса предмета А определяется по формуле:

Дисперсия ошибки определения веса предмета А будет равна2:

Таким образом, дисперсия ошибки определения массы груза в этом случае в 2 раза меньше, т.е. мы получаем интервал разброса (рассеяния) замеров на 12,28% меньше. Этот пример показывает, что при одних и тех же трудозатратах (проводится 4 замера) за счет использования оптимального плана эксперимента получаем более точный результат! В общем случае ТПЭ позволяет повысить точность регрессионной модели или уменьшить необходимое число опытов.

Наиболее эффективный план эксперимента позволяет находить теория планирования эксперимента (ТПЭ) [4]. В этой теории указывается, что эффективный план эксперимента должен удовлетворять определенным критериям. В соответствии с различными критериями имеется более 20 различных типов оптимальных планов. Наиболее распространенными критериями оптимальности планов, обеспечивающими удобство статистической обработки эксперимента и его эффективности (повышение точности и /или уменьшения количества опытов), являются ортогональность, ротатабельность, А, Д и G –оптимальность.

Следствием ортогональности плана эксперимента является то, что в случае незначительности каких-либо параметров модели изучаемого объекта, нет необходимости повторения процедуры построения и статистического анализа модели после исключения из нее незначительных членов. Также ортогональные планы эксперимента обеспечивают минимальную дисперсию предсказываемого по модели значения параметра оптимизации.

2Из теории вероятностей известны свойства дисперсии: D(Σyi)=ΣD(yi), D(a∙yi)=a2∙D(yi), где yi – случайная величина, а

– константа.

17

Избыточность (насыщенность) плана представляет собой разность между количеством проводимых опытов и количеством определяемых коэффициентов регрессии модели.

Для регрессионных моделей (9), содержащих смешанные произведения факторов хi, xj, xn, …, избыточность ПФП И определяется по формуле:

где m – количество в регрессионной модели членов со смешанными произведениями факторов.

В случае линейной модели неизвестно к+1 коэффициентов. Следовательно, для линейной модели ПФП является избыточным на величину 2к – (к+1).

Избыточные опыты плана могут быть использованы либо для уменьшения случайных погрешностей линейной модели, либо для уменьшения погрешности адекватности модели путем включения в нее произведений факторов: (aij xi x j , aijn xi x j xn , ...), либо и для того и другого вместе.

Планы, у которых количество опытов и количество коэффициентов регрессии равны друг другу называются насыщенными планами.

Методика построения ПФП и ДФП

Для унификации планов факторы в них записываются в безразмерном

Тогда безразмерная нормализированная величина фактора х определяется по формуле: