Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Частина4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.04.2021

Размер:

467.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

l	M M	k1
в) переміщення від крутного моменту M k : D 1F = ò	kF	k1	dx ,	(9.3)
в) переміщення від крутного моменту M k : D 1F = ò	G J r		dx ,	(9.3)
0
де N F , M F , M kF - вирази для повздовжньої сили,	згинального та крутильного моментувід

заданого навантаження.

Для визначення переміщення довільної точки системи до неї в напрямку шуканого переміщення прикладають одиничну силу (при визначенні лінійних переміщень), або одиничний момент (при визначенні кутових переміщень). Тоді N1 , M1 , M k1 - вирази для повздовжньої

сили, згинального та крутильного моменту від вказаного одиничного навантаження.

При користуванні формулами інтегралу Мора (9.1) – (9.3) можна одержати переміщення з різними знаками. Додатній знак переміщення вказує на те, що його напрямок збігається з вибраним напрямком одиничного навантаження. Коли вирази для внутрішніх сил є різними для різних стержнів системи(або на різних ділянках стержня), потрібно обчислювати інтеграли Мора для окремих стержнів (ділянок) і результати підсумовувати.

Приклад 9.1.

Для балки, схема якої показана на рис. 9.1 а, визначити:

q = 20kH м

а) прогин в точці B ;

б) кут повороту в точці C .

Матеріал балки – сталь ( E = 2 ×104 кН см2 ). Момент

інерції перерізу J z =8000 см4 .

2 м

3 м

Вираз

для

згинального

моментуM F

від

заданого

навантаження:

( x )= - q x2 = -10 x2 .

б)

BA (0 £ x £ 3 м ) M F

а) Визначення прогину в точці В .

До

балки

точціB

прикладають

вертикальну(у

в)

напрямку прогину) одиничну силу (рис. 9.1б). Вираз

для моменту від цієї сили:

BA (0 £ x £ 3 м ) M1 = -1× x = - x .

рис. 9.1

За формулою (9.2) знаходять

M M

3 м

D B = ò

= ò (-10 x 2 )×( - x )dx =

× x4

0 =

E J z

10 × 34 ×106

кН ×см3

=12.6 см .

кН

2 ×104

×8000 см4 × 4

см2

Точка B переміститься вниз (у напрямку одиничної сили) на величину 12.6 см

б) Визначення кута повороту в точці C .

До балки в точці C прикладають одиничний момент (рис. 9.1 в). Вирази для моменту M1 .

ì 0 :

BC (0 £ x £1 м )

= í

CA (1£ x £ 3 м )

î 1 :

Оскільки вирази для M1

на ділянках BC і CA різні, то обчислюють інтеграл Мора (9.2) для

ділянок BC і CA та результати додають. Кут повороту в точці В :

- 71 -

é 1

3 м

(-10 x2

)×1dx = -

3 м

× x3

dx +

dx ú =

E J z ê ò

ú E J z

3 E J z

ë 0

= -

26 ×10 ×104

кН ×см2

= - 0.054 рад = -0.054 ×

180o

= - 3.1 .

3×2 ×104

кН

×8000 см4

см2

Поворот в точці В відбувається в напрямку,

протилежному до напрямку одиничного моменту

M1 .

9.2. Способи обчислення інтегралів Мора.

Визначати переміщення систем (стержнів) можна як шляхом безпосереднього інтегрування інтегралів Мора (див. п. 9.1), так і без його інтегрування, використавши спосіб Верещагіна або

спосіб Сімпсона-Карнаухова.

Спосіб Верещагіна –

це графоаналітичний спосіб, який ґрунтується на тому факті, що

вирази для N1 , M1 , M k1

в інтегралах Мора (9.1) – (9.3) – це лінійні функції. Згідно з цим

способом переміщення від сил N F , M F

M kF визначаються за формулами:

а) переміщення від NF

D 1N F

wNF

ycN1

(9.4)

M F

yM1

б) переміщення від M F

D 1M F

(9.5)

J z

M кр

yM k1

г) переміщення від M кр

D 1Mкр

(9.6)

J r

де w - площа епюри відповідної внутрішньої сили від заданого навантаження;

yc - ордината на епюрі від відповідного одиничного навантаження, що взята під центром

епюри від заданого навантаження. Вибір виду одиничного навантаження такий самий, як і в інтегралах Мора.

Впрактичних розрахунках формулою Верещагіна найчастіше користуються при

визначенні переміщень		в балках і рамах, викликаних згинальними моментами M F . Тоді у
формулі (9.5):
wM F	- площа епюри згинального моменту M F від заданого навантаження;
ycM1	- ордината на одиничній епюрі M1 , взята під центром епюри M F .
	У випадку, коли	обидві епюри M F і M1 - прямолінійні, то можна знаходити wM1 і

множити на ycM F . Якщо

MF (0)

MF (l2)

M1 (0) M1 (l2)

рис.9.2

епюри

MF (l)

M1 (l)

мають

M F

точки перелому, то формулу Верещагіна слід


використовувати			для	ділянок	між	точками
перелому і		результати		підсумовувати. Епюри
M F і	M1	будують		зі сторони	розтягнутих
волокон.	Тоді	переміщення D1F буде			додатнім

(тобто збігатиметься з прийнятим напрямком одиничного навантаження), якщо обидві епюри -

M F і M1 - будуть розміщені по один бік від осі.

Спосіб Сімпсона-Карнаухова полягає у використанні методу Сімпсона при обчисленні визначених інтегралів для обчислення значень

- 72 -

інтегралів Мора (9.1) – (9.3). При згині ця формула має вигляд (рис. 9.2)

D1F =

)M1 0(

)M1 l(

(9.7)

ê M F

+)4 M F ç

÷ M1

÷ + M F (l

ú) .

6 E J z ë

Приклад 9.2. Для показаної на рис. 9.3 а рами визначити: а) вертикальне переміщення точки

A ; б) кут повороту в точці B , зумовлений згинальними

моментами M F . Матеріал

рами –

сталь ( E = 2 ×104

кН см2 ), поперечний переріз – квадрат зі стороною a =10 см .

F = 30 kH

1 м

2 м

1 м

2 м

1 м

2 м

3м

в)

д)

M F

б)	г)	е)
	рис. 9.3

а) Визначення вертикального переміщення в точці A .

1.Будуємо епюру згинальних моментів M F від заданого навантаження (рис. 9.3 б).

2.В точці A , в напрямку шуканого вертикального переміщення, прикладаємо одиничну силу (рис. 9.2 в).

3.Будуємо епюру M1 від одиничної сили (рис. 9.3 г).

4.За формулою (9.5) обчислюємо вертикальне переміщення

вер

×260 ×0

360

кН × м3

×1×1×0

- 60 ×3×2

= -

E J z

де жорсткість E J z = 2 ×10

кН

204

см

16.7 ×10

кН ×см

см2

вер

360

×106

кН ×см3

Тоді DA

= -

= - 21.5 см .

16.7 ×106

кН ×см2

Точка A переміститься вверх (знак “ – “) на 21.5 см .

- 73 -

б) Визначення кута повороту в точці B .

В точці B прикладаємо одиничний момент (рис. 9.3 д) і будуємо епюру M1 від цього

моменту (рис. 9.3 е). За формулою (9.5) отримуємо

é 1

240 ×104

кН ×см2

qB =

×2 ×60 + 60 ×3×1

=0.144 рад =8.2

16.7 ×10

кН ×см

E J z ë 2

Поворот у точці B буде за ходом стрілки годинника (у напрямку моменту M1 ).

Приклад 9.3. Способом Сімпсона-Карнаухова визначити прогин вільного кінця консолі(рис.

q =10kH м

M = 30 kH × м

9.4а), якщо E J z

= 20 ×106 кН ×см2 .

Вираз

для

згинального

моменту

від

заданог

навантаження

2 м

M F (x )= M -

q x2

= 30 -10 x2 .

Значення

æ l

M F (0 )= 30; M F ç

÷ = M F (1 )= 20;

б)

M F (l )= M F (2 )= -10.

Прикладаємо на вільному краю консолі(в точці A )

рис. 9.4

одиничну вертикальну силу (рис. 9.4 б).

Тоді:

= -1× x = - x

, M1

(0 )= 0 , M1

= -1 , M1 (l )= - 2 .

Підставляємо знайдені значення у формулу (9.7):
вер	l	[30 ×0	+ 4 ×20 ×(-1 )+ -(10 )× (- 2 ])= -		2 ×60 ×106 кН ×см3		= -6 см .
DA =
DA =	6 E J z				20×106	кН ×см2
	6 E J z				20×106	кН ×см2
Точка переміститься вверх (знак “ – “) на 6 см .
		9.3 Розрахунок статично невизначних плоских рам методом сил.
	Статично			невизначною називається	система, внутрішні сили в елементах якої
неможливо визначити лише за допомогою рівнянь статики. В системі є нібизайві зв’язки, в
яких	виникають зайві невідомі. Кількість				цих	невідомих рівнаступеню статичної

невизначності системи і дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю незалежних рівнянь статики. Для визначення зайвих невідомих потрібно скласти додаткові рівняння. Існує декілька методів складання цих рівнянь. Одним з них є метод сил, коли зайві невідомі визначаються з рівнянь переміщень.

Послідовність розрахунку статично-невизначних систем.

1.Встановлюють ступінь статичної невизначності, тобто кількість зайвих зв’язків або зусиль.

2.Вибирають для заданої системиосновну систему. Основна система – це та статично

визначна, геометрично незмінна система, що одержується із заданої шляхом відкидання зайвих зв’язків. Для заданої системи можна вибрати декілька варіантів основних систем.

Основну	систему	завантажують заданим	навантаженням і	зайвими невідоми
X1 , X 2 , ..., що замінюють дію відкинутих зайвих зв’язків.
3. Записують	рівняння	переміщень, прирівнявши	до нуля переміщення	точок основної

- 74 -

системи

в напрямках

відкинутих

зайвих

зв. ’язківЦі рівняння

мають

вигляд

D i =0 (i =1, 2 ... n ), де D i

- сумарні переміщення у напрямках відкинутих зв’язків від

заданого навантаження і зайвих невідомих. В розписаному вигляді ці

рівняння

називаються канонічними рівняннями методу сил. Вони мають вигляд:

а) для I раз невизначної системи: d11 X1 + D1F = 0

(9.8)

б) для II раз невизначної системи: íìd11 X1 +d12

X 2 + D1F = 0

(9.9)

îd21 X1 +d22

X 2 + D 2 F = 0

де di j - переміщення в напрямку сили

i =1 від сили

j =1 ;

D iF - переміщення в напрямку одиничної сили

=1 від заданого навантаження.

4.Користуючись інтегралами Мора(9.1) – (9.3) або способом Верещагіна(9.4) – (9.6), визначають переміщення di j і D iF . Коефіцієнти di j = d j i .

5.Підставляють коефіцієнти в рівняння переміщень (9.8), (9.9) і визначають зайві невідомі

X i .

6.Знаходять значення згинальних моментів в характерних точках рами, використавши формулу

M ( x )= M1 × X1 + M 2 × X 2 +... + M F .

(9.10)

Будують епюру M ( x ) для заданої рами.

7. Будують епюри поперечних Q( x )

та повздовжніх N сил.

Приклад 9.4. Для статично невизначної рами (рис. 9.5 а) побудувати епюри M , Q , N

q = 20 kH

2 м x

3м

2 м

3м

б)

в)

M q

M1 ×X1

г)

д)

е)

рис. 9.5

- 75 -

+	19
21 -	21
	-
Q	N
ж)	з)

рис. 9.5

1.В рамі 4 опорні зв’язки (три в точці A і один в точці B ), отже 4 невідомі опорні реакції. Для їх визначення можна скласти три рівняння статики. Отже, рама один раз статично невизначна, має один зайвий зв’язок, в якому виникає одна зайва невідома X1 .

2.Відкинувши один зв’язок, вибирають основну систему (рис. 9.5 б).

3.Канонічне рівняння для визначення X1 : d11 X1 + D1F = 0 .

Способом Верещагіна визначають коефіцієнти d11

і D1F . Епюри M1 (від X 1 =1) і M F

(від заданого навантаження q ) показані на рис. 9.5 в, г. Тоді

E J

d =

×2 ×2 ×

×2 + 2 ×3×2 =

;

z 11

840

E J z D1F = -

×40 ×2 ×

×2 - 40 ×3×2 = -

;

(в останньому виразі враховано, що

площа w показаних на рис. 9.5 г параболи w=

b h , а

відстань центра w від вершини параболи рівна

b , де b , h - ширина і висота параболи).

Канонічне рівняння набирає вигляду

× X 1 -

840

=0 ,

звідки X1

=19 кН .

Будують епюру M ( x ), скориставшись виразом (9.10)

M ( x )= M1 × X1 + M F .

Епюра M1 × X1 показана на рис. 9.4 д, а епюра M - на рис. 9.5 е. Повздовжні і поперечні сили в

стержнях рами (спосіб визначення приведено в п. 8.4):

BC (0 £ x £ 2)

CD (0 £ x £ 3 м )

Q (x )= X1 - q x =19 - 20 x ;

Q ( x )= 0

N = 0

N = X1 - q ×2 =19 - 40 = - 21 кН

Епюри Q ( x ) і N , що побудовані за цими виразами, показані на рис. 9.4 ж, з.

- 76 -

Приклад 9.5. Для статично невизначної рами (рис. 9.6 а) побудувати епюру M ( x ).

3м

F = 30 kH

1 м

2 м

M =50kH × м

RA	=1 2
	1 2
	2

3 2

RB =1 2

= 1

в)

RA =12,5kH

12,5

= 30 kH

HA =30kH

37,5

RB =12,5kH

M F

M =50kH × м

X 2

б)

R =1 4	RB = 3 4
A

M 2

г)

X 2

= 1

M1 × X1

д)	е)

	9
M2 × X2	M
ж)	з)
	рис. 9.6

1.Кількість опорних зв’язків – 5. Кількість рівнянь статики – 3. Рама два рази статично невизначна і є дві зайві невідомі X1 , X 2 .

2.Вибрана для розрахунку основна система показана на рис. 9.6 б.

-77 -

3.	Система канонічних рівнянь
																																										ì d												X							+ d												X					+ D				1F		= 0
																																										í				11											1				12															2						1F
																																										î d21 X 1 + d22 X 2 + D21F = 0
4.	Епюри			M1						(від одиничної сили																																																							1 =1),													M 2				(від сили					2 =1) і M F (від заданого
4.	Епюри			M1						(від одиничної сили																																																	X						1 =1),													M 2				(від сили				X	2 =1) і M F (від заданого
	навантаження M , F ) показані на рис. 9.6 в, г, д. Тоді:
	E J	z	d	=	1		×		1			×1×						2		×		1		+						1					×				3			×3×					2			×				3			+						1					×2 ×2 ×										2		×2 =5.0 ;
	E J		d	=			×					×1×								×				+											×							×3×								×							+											×2 ×2 ×												×2 =5.0 ;
			11	2					2						3					2				2										2												3						2									2																	3
				2					2						3					2				2										2												3						2									2																	3
	E J	z	d	= E J							z		d		2 1					= -					1				×					3				×1×						2		×		1									+	1				×				3				×3×					2		×		3		=1.0 ;
	E J		d	= E J									d							= -									×									×1×								×											+					×								×3×							×				=1.0 ;
			12																					2										4								3				2											2				4												3					2
																								2										4								3				2											2				4												3					2
	E J z		d2 2	=		1		×1×						3		×1×					2		×			3					+						1				×3×					3			×				2			×				3				= 0.75 ;
	E J z		d2 2	=				×1×								×1×							×								+										×3×					4			×							×								= 0.75 ;
				2									4							3				4										2												4						3					4
	E J z		D1F =50 ×2 ×														1		×2 +									1					×3×37.5×																		2				×		3										+		1			×1×12.5×										2	×	1	=158.3 ;
	E J z		D1F =50 ×2 ×																×2 +														×3×37.5×																						×												+					×1×12.5×										3	×	2	=158.3 ;
															2									2																						3											2				2																					3		2
	E J z		D2 F = -							1			×1×12.5×														2					×				3				+			1		×3×37.5×																						2				×		3	= 25.0 .
	E J z		D2 F = -										×1×12.5×																			×								+					×3×37.5×																										×			= 25.0 .
									2															3										4								2																			3												4

5.Система канонічних рівнянь має вигляд

ì5 X1 + X 2 +158.3 = 0

í X1 + 0.75 X 2 + 25.0 = 0î

6. Епюри M1 × X1 і M 2 × X 2 показані на рис. 9.6 е, ж. Епюра M ( x ), що побудована за формулою M (x) = M1 × X1 + M 2 × X 2 + M F , приведена на рис. 9.6 з.

9.4. Багатопрольотні нерозрізні балки.

Нерозрізними балками називають балки, що лежать більш ніж на двох шарнірних опорах і не мають проміжних шарнірів (рис. 9.7 а).

		M1	M2
l1		l 2		б)
l1		l 2	2	l 3
0	1		2	3
	M n-1		Mn	M n+1
		l n		в)
		l n	n	l n +1
		n -1	n	n +1
		Û		г)
		Û		г)

l ® 0

рис. 9.7

Такі	балки		є	ста
невизначними		і	для
розв’язування можна використати
розглянутий вище метод сил. Для
отримання		основної	системи

можна або відкидати опори, або врізати в балку шарніри. Другий

спосіб	є	ефективнішим, коли
шарніри врізати над проміжними
опорами (рис. 9.7 б). Зайвими
невідомими		в	цьому		випадку
будуть	моменти M1		, M 2	, ...	над
опорами з		врізаними		шарнірами.

При такому підході до розкриття статичної невизначності канонічні рівняння методу сил зводяться до системи рівнянь трьох моменті.в

Для “ n “ – ої опори це рівняння має вигляд (рис. 9.7 в)

M n -1 ln + 2 M n (ln + ln +1 )+ M n +1 ln +1 = - 6 E J z (q'n + q'n' )

(9.11)

- 78 -

де q'n , q'n' - лівий і правий кути повороту над n - ою опорою. Рівнянь трьох моментів можна

складати стільки, скільки раз задача статично невизначна. При складанні рівнянь опори і довжини прольотів нумерують: опори прийнято нумерувати зліва направо, позначивши крайню ліву опору індексом “ 0 “ (рис.9.7 б). Номер прольоту визначається номером правої для цього прольоту опори. Якщо якийсь край балки защемлений, то защемлення зображують (рис. 9.7 г) у

виді поставлених близько одна від одної

шарнірних

опор(відстань l ® 0 ).

Для того, щоб з

рівнянь типу (9.1) визначити опорні моменти, потрібно знати вирази для

кутівqn' і qn'' при

різних видах навантаження. Значення цих кутів:

а) для балки, навантаженої зосередженою силою F (рис. 9.8а)

E J z

q' =

F a b

(l + b ) ,

E J z

q'' =

F a b

(l + a )

(9.12)

6 l

Якщо сила F прикладена посередині прольоту

F l 2

E J z q

= E J z q

(9.13)

q¢¢

F q¢

q¢¢

q¢

q¢¢

M q¢

a	b	l	a	b
	l	l		l
	l			l

б)

в)

рис. 9.8

б) для балки під рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності q (рис. 9.8 б)

E J z q

= E J z q

q l 3

(9.14)

в) для балки, навантаженої парою сил з моментом M (рис. 9.8 е)

E J z q

M l é

a ö

2 ù

, E J z q

M l é

b ö

2 ù

1- 3ç

= -

ê 1- 3

(9.15)

6 ê

l ø

Якщо момент прикладено посередині прольоту, то

F l 2

E J z q

= E J z q

(9.16)

M n-1

n -1 x

де M (x), Q (x)

F F

Після розв’язування системи рівнянь

трьох

M n

моментів і визначення

них

невідомих

опорних

моментів згинальний момент M ( x )

і поперечна сила

l n

Q ( x ) в n - му прольоті балки (рис. 9.9) визначаються

за формулами:

- M

M ( x )= M F ( x )+ M n -1 +

n -1

× x ï

рис. 9.9

(9.17)

Q ( x )=QF ( x )+

M n - M n -1

dM ( x )ý

- згинальний момент та поперечна сила від навантаження, що діє в даному прольоті.

- 79 -

F = 40kH

M = 30kH × м

Приклад 9.6

Для балки,

схема

1м

якої

показана

на

рис9.10,

побудувати

епюри M ( x ) і

Q ( x ).

3 м

2 м

1м

Балка має 4

опорні зв’язки. Для

M =M =30kH×м

визначення

реакцій

можна

б)

скласти

рівняння

статики.

l 2

Задача

один

раз

статично

невизначна.

Вибираємо

основну

систему, врізавши

над

єдиною

проміжною

опорою

шарнір

приклавши

ньому

невідомий

Q(x)

в)

момент

(рис. 9.10

б).

Для

визначення

цього

моменту

складають

рівняння

трьох

моментів (9.11) для

опори “ 1 “

(поклавши n =1):

M 0 l1 + 2 M1 (l1 + l 2 ) + M 2 l2 =

(

)

г)

= -6 E J z (q1' +q1'' ),

де

l1 = 3 м, l2 = 2 м, M0 = 0,

M 2 = 30 кН × м

рис. 9.10

Кути

повороту: E J z q'

= 0

(на

прольоті 0 - 1 немає навантаження)

E J z q'' =

F l22

40 ×22

=10 .

Рівняння набирає вигляду: 10 M1 + 30 ×2 = - 6 ×(0 +10 )

10 ×M1 = -120

M1 = -12 кН × м .

Вирази для M ( x ) і Q ( x ) на ділянках балки знаходимо за формулами (9.17):

ділянка 0 – 1 (0 £ x £ 3 )

× x = (-12 )× x = - 4 x

ïìM ( x )= M F ( x )+ M 0 +

M1 - M 0

(а)

Q ( x )=QF ( x )+

- M 0

(-12 )

= - 4

ділянка 1 – 2

(0 £ x £ 2 )

× x = 20 x ,

M 2 - M1

M ( x )= M F

( x )+ M1

× x ,

де M F (x )= íï

ïF

× x

- F (x -1) = 40

Тоді:

ì 20 x ü

30 - (-12 )

ì 41 x -12 , (0 £ x £1 )ü

M ( x )= í

-12

x = í

x + 28 , (1£ x £ 2 )

î 40 - 20 x þ

x £1)

20 x , (1 £ x £ 2)

(б)

- 80 -

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов

#
27.04.2021307.12 Кб9Розрахунок стиснутих стрижнів на стійкість.pdf
#
27.04.2021420.21 Кб1Розрахунок стрижнів при крученнi.pdf
#
27.04.2021314.72 Кб7Частина1.pdf
#
27.04.2021302.3 Кб2Частина2.pdf
#
27.04.2021367.64 Кб3Частина3.pdf
#
27.04.2021467.05 Кб1Частина4.pdf
#
27.04.2021352.49 Кб2Частина5.pdf