Розрахунок просторової рами
.pdf∑Fy(i) = 0 , Qy +q 2 = 0 , Qy = −2 q = −80 кН;
i
-крутний момент Mк
∑M x(i) = 0 , Mк + F 2 +q 2 1 = 0 , Mк = −2 F −2 q = −160 кНм;
i
-згинальні моменти Mz і My
∑M z(i) = 0 , M z −M +q 2 x = 0 , M z = M −2 q x = 60 −80x ;
i
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mk |
M |
M z |
|
N |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
z |
Qz |
|
|
|
|
|
q |
Qy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x M y |
|
|
|
|
|
2 м |
y |
||||
|
|
|||||
2 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F
Рис. 7
M zC = M z (0)= 60 кНм (розтягує нижні волокна елемента CД); M z Д = M z (1)= −20 кНм (розтягує верхні волокна елемента CД);
∑M y(i) = 0 , M y + F x = 0 , M y = −F x = −40x ; M yC = M y (0)= 0 ;
i
M y Д = M y (1)= −40 кНм (розтягує ліві волокна елемента CД).
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
80 |
− |
40 |
− |
|
|
− |
|
|
|
40 |
|
|
+ |
|
|
40 |
|
Qy |
|
Q |
N |
|
− |
|
|
z |
|
кН |
|
кН |
||
кН |
|
|
|
|
|
а) |
|
б) |
|
в) |
|
|
|
|
160 |
|
|
|
− |
80 |
|
20 |
40 |
|
|
|
|
||
− |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
60 |
160 |
|
Мz |
|
М |
|
|
кН м 60 |
|
y |
|
Мк |
|
|
|
кН м |
|
кН м |
160 |
|
|
|
|
г) |
|
д) |
|
е) |
Рис. 8
11
За одержаними значеннями внутрішніх зусиль будуємо їх епюри (Рис. 8 а-е). Ординати згинальних моментів відкладаємо з боку розтягнутих волокон.
3.Визначення розмірів поперечних перерізів.
Допустиме напруження для матеріалу рами
[σ]= σT = 280 =175 МПа =17,5 кН/см2 кТ 1,6
Елемент АВ – круглий переріз діаметра d.
Елемент АВ перебуває в умовах прямого згину; небезпечним є переріз «В», у якому виникає
Mz=80 кНм.
З умови міцності при прямому згині маємо
Wz ≥ [Mσz].
Звідки з урахуванням, що Wz=0,1·d3, одержимо
10M |
|
10 80 102 |
|||
d ≥ 3 |
z |
= 3 |
|
|
=17 см. |
[σ] |
17,5 |
Елемент BC – квадратний переріз зі стороною а. Елемент ВС піддається сумісній дії стиску, прямого згину і кручення. Небезпечним є переріз «С», у якому виникає максимальний згинальний момент Mz=160 кНм, поздовжня сила N=40 кН, крутний момент Mк=60 кНм.
Епюри нормальних напружень σ від дії поздовжньої сили і згинального моменту і дотичних напружень τ від дії крутного моменту (без дотримання масштабу) показані на Рис. 9 а, б, в.
y |
y |
|
x |
O |
x |
O |
|
|
|
|
1 |
z |
1 |
z |
|
|
|
|
|
б)Епюраσ (N ) |
б)Епюраσ (M z ) |
|
|
|
y |
|
τmax
O |
τ′ z |
1 |
|
a)Епюраτ (Mк ) |
|
Рис. 9 |
|
Небезпечною точкою в перерізі є точка «І», у якій діють максимальні (по модулю) нормальні і дотичні напруження. В цій точці матеріал перебуває в умовах плоского напруженого
12
стану. Розрахунок на міцність проводиться за теорією міцності найбільших дотичних напружень
(3).
Для квадратного перерізу зі стороною а маємо W = a3 |
, W = βa3 |
, де β=0,208. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
6 |
|
|
к |
|
|
Нехтуючи впливом поздовжньої сили N, знаходимо |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
σ |
1 |
= |
M z |
= |
6M z |
; τ |
1 |
= |
Mк |
= |
Mк |
|
|
= |
4,8Mк |
. |
|
W |
|
|
0, 208a3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a3 |
|
W |
|
|
a3 |
|
||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
Підставляємо одержані вирази в формулу для обчислення розрахункового напруження (4.3). Будемо мати
σекв = |
2 |
+4τ1 |
2 |
= |
6M 2 |
+4 |
4,8M |
2 |
111960,7 |
кНсм. |
||||||
σ1 |
|
|
a |
3 z |
|
a |
3 |
к |
= |
a |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З умови міцності (4.1) одержимо
111960,7 |
≤17,5 ; а ≥ |
111960,7 |
=18,6 см. |
a3 |
17,5 |
||
|
|
3 |
|
Приймаємо а=19 см і перевіряємо виконання умови міцності з урахуванням поздовжньої сили N. Тоді
σ1 = |
N |
|
+ |
6M z |
|
= |
40 |
+ 6 160 102 =14,11 кН/см2; |
a2 |
a3 |
|
||||||
|
|
192 |
193 |
|||||
|
τ1 |
= |
4,8T |
= 4,8 60 102 = 4, 2 кН/см2; |
||||
|
|
|
|
a3 |
|
|
193 |
|
σекв = σ12 +4τ12 |
= |
|
14,112 +4 4, 22 =16, 42 кН/см2 < [σ]=17,5 кН/см2. |
Отже, міцність елемента рами ВС забезпечена.
Елемент СД – прямокутний переріз зі сторонами b i 2b. Елемент зазнає сумісної дії косого згину і кручення. У даному випадку неочевидно, який із «підозрілих» перерізів «С» і «Д» буде небезпечним. Тому проаналізуємо напружений стан в обох цих перерізах. У перерізі «С» – Мк=160 кНм, Mz=60 кНм, Мy=0, у перерізі «Д» – Мк=160 кНм, Mz=20 кНм, Мy=40 кНм. Розташуємо прямокутний переріз, виходячи з того, що в перерізі, де Mz>Мy, повинно бути Wz>Wy. Така ситуація має місце в перерізі «С», але в перерізі «Д» Mz<Мy і для цього перерізу раціональним є розташування прямокутного перерізу, при якому Wz<Wy. У зв’язку з цим проаналізуємо обидва варіанти розташування прямокутного перерізу.
Спочатку розташуємо його так, щоб Wz>Wy. Тоді
W = bh2 |
= |
b(2b)2 |
= 2 b3 ; |
|
|
||||
z |
6 |
6 |
3 |
|
|
||||
Wy = hb2 |
= 2b b2 |
= 1 b3 ; |
||
|
6 |
6 |
3 |
|
W = β 2b b2 |
= 0, 246 2 b3 ≈ 0,5b3 . |
|||
к |
|
|
|
|
Розглянемо переріз «С». У цьому перерізі має місце сумісна дія прямого згину моментом Mz=60 кНм і кручення моментом Мк=160 кНм. Епюри відповідних напружень (без збереження масштабу) показані на рис. 10 а, б.
Небезпечними можуть виявитися точки однієї із пар точок «2» і «6» або «4» і «8». Обчислимо розрахункові напруження у цих точках.
В околі точок «2» і «6» матеріал знаходиться в плоскому напруженому стані. Для обчислення розрахункового напруження в цих точках використаємо формулу (3)
σекв(1) = σ2,6 +4τ2,62 .
13
Нормальні напруження в точках «2» і «6» рівні |
|
|
|
|
|||||||
−σ |
2 |
=σ |
6 |
= |
M z |
= |
6000 3 |
= |
9000 |
кНсм. |
|
W |
2 b3 |
b3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Дотичні напруження в цих точках будуть |
z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
2 |
3 |
1 |
τ′ |
2 |
3 |
|
|
|
τmax |
|||
|
|
|
|
|
O |
|
8 |
O |
4 |
z |
|
z |
|
|
8 |
|
|
4 |
||
7 |
6 |
5 |
7 |
|
6 |
5 |
|
|
|
|
|||
a)Епюраσ (M z ) |
б)Епюраτ (Mк ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
τ2 =τ6 =τ′=γτmax |
= 0,795 32000 |
= |
25440 кНсм; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
b3 |
|
|
|
|
M |
к |
|
16000 |
32000 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
||||||
τmax |
= |
|
= |
|
|
|
3 |
= |
|
3 |
кНсм, |
γ |
|
|
= 2 |
= 0,795. |
||||
Wк |
|
0,5b |
b |
|
||||||||||||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
9000 2 |
25440 2 |
|
51670 |
кНсм. |
|||||||||||||
σекв = |
|
b |
3 |
|
|
+4 |
b |
3 |
= |
|
b |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В околі точок «4» і «3» матеріал перебуває в умовах чистого зсуву і розрахункове напруження в цих точках буде
σ(2) = 2τ |
max |
= 2 Mк |
= 2 |
32000 |
= |
64000 |
кНсм. |
екв |
W |
|
b3 |
|
b3 |
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
Розглянемо переріз «Д». У цьому перерізі має місце сумісна дія косого згину моментами Mz=20 кНм і Мy=40 кНм і кручення моментом Мк=160 кНм. Епюри нормальних напружень представлені на рис. 11 а, б.
Розподіл дотичних напружень в перерізі «Д» такий самий, як і в перерізі «С» (рис. 10 б) Небезпечними можуть виявитися точки однієї із пар точок «1» і «5» або «4» і «8».
Обчислимо розрахункові напруження у цих точках.
В околі точок «1» і «5» матеріал перебуває в одновісному напруженому стані (має місце косий згин). Розрахункове напруження визначаємо за формулою
(3) |
M |
z |
|
M y |
|
2000 |
|
|
4000 |
|
|
15000 |
|
||||
σекв = |
|
+ |
|
|
= |
|
2 |
|
+ |
1 |
|
= |
b3 |
кНсм. |
|||
W |
|
W |
|
|
3 |
3 |
|||||||||||
|
z |
|
y |
|
|
3 b |
|
|
|
3 b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В околі точок «4» і «8» матеріал знаходиться в плоскому напруженому стані. Розрахункове |
|||||||||||||||||
напруження обчислюємо за формулою (3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
σекв(4) = |
σ4,8 |
2 +4τ4,8 |
2 . |
|
Нормальні і дотичні напруження в цих точках дорівнюють
14
−σ4 |
=σ8 = |
M y |
= |
4000 |
= |
12000 |
кНсм. |
|||
Wy |
1 |
b |
3 |
b3 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
τ4,8 =τmax = 32000 |
кНсм; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
||
O |
|
4 |
z |
O |
4 |
z |
8 |
|
|
|
8 |
|
|
7 |
|
5 |
|
7 |
5 |
|
6 |
|
6 |
|
|||
x |
|
|
|
x |
|
|
a)Епюраσ (M z ) |
|
б)Епюраσ (M y ) |
|
Рис. 11
Тоді
(4) |
12000 |
2 |
|
32000 |
2 |
= |
65115,3 |
кНсм. |
||||||||
σекв = |
|
b |
3 |
|
+ |
4 |
b |
3 |
|
|
b |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З одержаних 4 розрахункових |
напружень найбільшим буде σекв(4) . Підставляємо його |
|||||||||||||||
значення в умову міцності (4.1); будемо мати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
65115,3 кНсм |
≤17,5 |
|
кН |
|
b ≥ |
3 |
65115,3 |
=15,5 см; |
||||||||
b3 |
|
|
|
|
см2 |
|
|
17,5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = 2b =31 см.
Отже, у випадку, коли прямокутний поперечний переріз розташований так, що його більша сторона паралельна осі y, міцність елемента рами буде забезпечена при b=15,5 см, h=31 см.
Розглянемо другий варіант розташування поперечного перерізу – довша сторона прямокутника паралельна осі z. Тоді
Wz = hb62 = 13 b3 , Wy = bh62 = 23 b3 .
У перерізі «С» будемо мати представлений на рис. 12 розподіл нормальних і дотичних напружень.
Небезпечними будуть точки «4» і «8», у яких виникають максимальні нормальні і максимальні дотичні напруження. Матеріал у цих точках перебуває в плоскому напруженому стані. Обчислимо розрахункове напруження за формулою (3).
|
|
|
σекв(5) |
= |
|
σ4,8 |
2 +4τ4,8 |
2 |
, |
|||
|
|
τ |
4,8 |
=τ |
max |
= |
32000 кНсм, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|||
σ |
4 |
= −σ |
8 |
= |
M z |
=18000 |
|
кНсм, |
||||
W |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
15
(5) |
= |
18000 |
2 |
+4 |
32000 |
2 |
66483 |
кНсм. |
||||||
σекв |
|
b |
3 |
|
|
b |
3 |
|
= |
b |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
7 |
|
|
|
|
7 |
τmax |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1 |
z |
|
|
O |
τ′ |
z |
6 |
|
O |
2 |
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
4 |
|
3 |
5 |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x
a)Епюраσ (M z ) |
б)Епюраτ (Mк ) |
Рис. 12 Оскільки розрахункове напруження σекв(5) , одержане в другому варіанті розташування
поперечного перерізу, більше, ніж найбільше розрахункове напруження в першому варіанті
(4) |
66483 |
≥ |
65115,3 |
|
|
|||
розташування поперечного перерізу σекв |
|
|
|
|
|
|
, то раціональним буде перший |
|
b |
3 |
b |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
варіант, тобто варіант, коли більша сторона прямокутника паралельна осі y. Таким чином приймаємо
b=15,5 см; h=31 см.
Список літератури
1. Гурняк Л. І., Гуцуляк Ю. В., Юзьків Т. Б. Опір матеріалів: Посібник для вивчення курсу при кредитно-модульній системі навчання. – Львів: Новий світ – 2000, 2005. – 364 с.
2. Опір матеріалів: Підручник для машинобудівних спеціальностей вузів /
Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський; За ред. Г. С. Писаренка. – К.: Вища школа, 2004. – 655 с.
3. Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн. – Ч. І, кн. 2. Опір бруса:
Підручник / В. Г. Піскунов, Ю. М. Федоренко, В. Д. Шевченко та ін.; За ред.
В. Г. Піскунова. – К.: Либідь, 1994. – 355 с.
4. Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн. – Ч. ІІ, кн. 4. Приклади
ізадачі: Навч. посібник / В. Г. Піскунов, В. Д. Шевченко, М. М. Рубан та ін.; За ред. В. Г.
Піскунова. – К.: Вища школа, 1995. – 300 с.
5. |
Посацький С. Л. Опір матеріалів. – Львів: Вид-во Львівського університету, |
1973. |
– |
404 с. |
А. |
П., |
|
6. |
Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г. С., Яковлев |
||
Матвеев В. В.; Отв. ред. Писаренко Г. С. – К.: Наукова думка, 1988. – 736 с. |
|
|
|
7. |
Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для техн. вузов / |
||
Миролюбов И. Н., Енгалычев С. А., Сергиевский Н. Д. и др. – М.: Высшая школа, 1985. – 399 с. |
|
16
ЗМІСТ
Загальні вказівки щодо виконання розрахунково-графічної роботи |
3 |
|
1. |
Завдання для домашніх розрахунково-графічних робіт |
3 |
2. |
Основні теоретичні відомості |
7 |
3. |
Приклад розв’язання задачі |
8 |
Список літератури |
16 |
17
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ ПРОСТОРОВОЇ РАМИ
ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до розрахунково-графічної роботи
здисципліни “Опір матеріалів” для студентів механічних і будівельних спеціальностей
Укладачі: |
Харченко Євген Валентинович; |
|
Білобран Богдан Степанович; |
|
Войтович Микола Іванович; |
|
Стасюк Богдан Мирославович. |
18