683

Значення cr(X) =,jD(X), де D(X) = М( Х 2 )-( М(Х))2 ;

D(X) = 0,877-0 = 0,877; cr(X) =Jo,877 = О,94.

4. Ймовірність того, що х приймає значення з інтервалу (О; тс/3) знаходи­

мо за формулою (20)

~:L __ I__\___І А

о-·--'--"~---"--------..

5.6) Дальність польоту снаряда є випадковою величиною, яку можна опи-

ність польоту снаряда дорівнює 2000 м. Чому дорівнює ймовірність того, що

при поетр1ш:

21

1)снаряд відхилиться від цілі (середньої дальності польоту) по абсолют­

ній всли'fині не більше ніж на 20 .м;

2)снаряд пролетить на менше 1800 _м і не більше 2080 ,w;

3)знайти інтсрвап, в який попадає снаряд з ймовірністю 0,9973.

Ро:ш'язок

За ум.овою задачі відомо, що cr(X) =~D[X] =30л-r.

І) Щоб знайти відхилення на велиqину є= 20.м, користуємось формулою

Р{\х- аІ<є}=2Ф(-;),

де є=20, а=2000.

З таблиці зна<rснь для функції Ф(х) знаходи~ю, що

Ф(-;)=Ф(О,667)= 0,2476,

тоді

Р{Іх - а\< 20} = 2 · 0,2476 = 0,4952.

2) Для й:vtовірrюсті того, що нормально розподілена величина попадає в

заданий інтервал, користуємось співвідношенням

За умовою а = 1800; р = 2080; а = 2000 .

Р(І 800 < х < 2080) =Ф(2,667)-Ф(-6,667) = 0,4962 -'-0.5 =О.9962.

З) Відомо, що випадкова вспичина, яка має нормальний ро·311оділ, падає

на інтервал (а - 3cr; а+ Зсr) з ймовірпостью 0,9973. Тому шуканий інтервал

дорівнює 2000 - 120<х < 2000 + 120, або 1880 < х < 2120.

ух = рх + h, щоб вона бу.1а розміщена щонайближче до цієї сукупності то­

чок на площині.

Розв'язок Значення коефіцієнтів р і Ь знаходимо із такої системи:

22

Для визначення параметрів лінії регресії складаємо систему рівнянь

f140p + 28h = 422; l 28p+7h = 97.

Систему рівнянь розв'язуємо методО">І Крамсра.

Відповідь: У :с І,27х + 9.

23

У системі ХОУ будуємо множину експериментальних точок і рівняння лі­

нії регресії.

а 1 2 з 4 5 6 7 в

У рівнянні Ух - у=ч 8 -·· (х-х) є такі позначення:

ах

п

L:піУі

у-"'і=~!,____ - умовна середня змінної У;

п

п

L:nixi

х · і=І - умовна середня змінної Х;

п

24

п

L пх~,ХіУі-п-;у

ах=Jn[ х], ау=Jn[y] - вибіркові середні квадратичні відхилення:

п J

L:піУі­

де D[x], D[у)-вибірковідисперсії.

За даними таблиці і п= 150 обчислюємо у, х. х '.у', и ,, и." ч,

Шукане рівняння Ух -47,4 = 2, 97(х- 4,9). або ух= 2,97х + 32,85.

6. Відомий емпіричний розподіл вибірки. Необхідно перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукуппості за допомогою критерія

Пірсона при рівні значущості а= О, О1.

Ршв'язок

Спочатку знаходюю теоретичні частоти п і нормального розподілу. Об­

числюємо вибіркову середню та вибіркове середньоквадратичпе відхилеппя

'За форчулами:

Для обчис.1сння цих параметрів користуйтесь метода"vІи, які наведені в [І,

2]. За даним розподілом х 6 = 34, 7, а 6 = 7, 38 . Для обчислення тсорстисших

частот введемо умовну варіанту И'і = Xj-XB . Із таб).1нщ. значень функції

Gв

<р(х) беремо зпачення функції <.р(11 і) і обчислюємо теоретичні частоти

25

п і*частотами обчислюємо спостерігаєме значення критерію

Із співвідношення К =5 - 3. де 5 - кількість груп вибірки (кілкість

варіант хі), обчислюємо число степенів свободи К = 8 - З = 5. Шукаємо в

таблиці додатку З для К = 5 і рівня зна•1ущості а=-= 0,0 І критичне значення

J J

критерію Х ;Р; воно дорівнює х;р=15,1. у зв'язку 3 тим, шо

J

Х ;"6 ' = 8, 436 < 15.1, гіпотезу про нормальний розподіл приймаємо.

26

КОНТРОЛЬНАРОБОТА8

1.01. Студент знає 45 із 60 питань програми. У кожному екзамснаuійному бі,1еті три питаппя. Визначити ймовірність того, що:

а) студент знає всі три питання свого білета; б) студент знає тільки два питання білета; в) студент знає хоча б одне шпаппя.

1.02. Для сигпалізації про аварію встановлено 10 датчиків. Чотири з пих вийшли з ладу. Визначити ймовірність того, що із наздогад взятих для пере­ вірки трьох датчиків:

а) тільки один буде справним;

б) два датчики будуть справні;

в) хоча б один датчик буде справним.

1.03. Номер автомашини містить чотири цифри. Визначити ймовірність

того, що номер першої зустрічної машини:

а) не містить однакових цифр;

б) складається з однакових цифр:

в) складається тільки з цифри «5».

1.04. Один з робітників виготовив 8 дета.,1сй, а другий - 12 дета..тей. Дета­ лі перемішані. З них наздогад беруть 4 деталі. Вюначити ймовірність того,

що:

а) вибрано деталі, виготовлені други;vr робітником;

б) вибрано хоча б одну дета..ТJЬ, виготовлену першим робітником;

в) вибрано 2 деталі, виготовлені першим робітником.

1.05. У партії деталей 42 стандартні та 8 нестандартних. Д.1я контролю

наздогад беруть дві деталі. Визначити ймовірність того, що:

а) вибрали стандартні деталі;

б) вибрали одну стандартну деталь;

в) взяли хоча б одну стандартну деталь.

1.06. У коробці 12 білих та 8 чорних ку.1ь. Наздогад беруть дві кулі. Яка ймовірність того, що вош1 виявляться:

а) одного кольору;

б) різних кольорів;

в) білого кольору?

1.07. Для контролю вибрано 60 виробів, з яких 40 стандартних. Визначи­ ти ймовірність того, що з двох взятих виробів виявляться:

а) один стандартний;

27

б) обидва нестандартні.

1.08. В ящику 7 електроламп потужністю по 1ОО Вт та 5 по 60 Вт. Визначити Й:\ювірпість того, що дві взяті наздогад лампи виявляться:

а) однакової потужності; б) потужністю по 60 Вт;

в) різної ПОТУ)JШОСТі.

1.09. Кубик для гри в «кості» шдкидають дв1ч1. Визна<Іити ймовірність

того, що:

а) вийде сума очок не менше 8;

б) сума очок буде парною і не більшою 9.

1.10. Абонент 3абув дві цифри шестизначного телефонного номера, але

па"1'ятає тільки, шо вони різні. Яка ймовірність того, що, набравши ці цифри на:щоrад, він матиме потрібний номер. Розв'язати цю задачу при умові, що про забугі цифри нічого не відомо.

І .11. У студентській групі 18 хлопців та 12 дівчат. До дошки наздогад ви-

кликають трьох студентів. Визначити ймовірність того, що:

а) будуть викликані тільки хлопці;

б) будуть викликані дві дівчини та один хлопець;

в) буде викликана хоча б одна дівчина.

1.12. На картках написано цифри І, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наздогад беруть три картки. Яка ймовірність одержати:

а) число 123;

б) число із парних цифр?

1.13. Із колоди з 36 карт, виймають три карти. Визначити ймовірність того, що серед витягнутих карт будуть:

а) хоча б одна карта червоної масті;

б) два тузи;

в) дві карти пікової масті.

1.14. У ліфт зайшли 5 пасажирів. Ліфт зупиняється на 8 поверхах. Яка

ймов1рність того, що ніякі два пасажири не вийдуть на одному і тому ж пове­

рсі. Яка ймовірність, що всі пасажири:

а) вийдуть на одному поверсі;

б) вийдуть на останньому поверсі.

1.15. У .1отереї І ОО білетів, 3 яких 8 виграшних. Учасник лотереї придбав чотири білети. Визначити ймовірність того, що:

а) виграє хоча б один білет;

28

б) виграють два білети;

в) виграють всі чотири білети?

1.16. У коробці 15 червоних, 9 синіх та 6 зелених олівців. 1з коробки ви-

падково випадають б олівців. Яка ймовірність того, що:

а) випали зелений, 2 синіх та 3 червоних олівців;

б) випали всі сині олівці;

в) випав хоча б один червоний олівець?

1.17.У груnі з 30 студентів три студенти здали екзамен на «відмінно»,

12 - на «добре» та 1О - на «задовільно». Яка ймовірність того, що два наздо­

гад обрані студенти одержали:

а) незадовільні оцінки;

б) один «відмінно», а другий «добре».

l.18. Для контролю відібрано 150 деталей. Відомо, що з них три нестан-

дартні. Яка ймовірність того, що наздогад взята деталь виявиться:

а) нестандартною;

б) стандартною?

1.19. У коробці 4 білих та б чорних куль. Наздогад беруть дві кулі. Яка ймовірність того, що:

а) обидві кулі чорні;

б) кулі різнокольорові;

в) перщою бу.1а біла куля, а другою чорна?

1.20. Наздогад вибирають натуральне число, яке не більше 20. Визначити ймовірність того, що:

а) воно кратне трьом; б) парне та не більш І О.

1.21. Слово «інтеграл» складено з букв розрізної азбуки. Наздогад з цього слова вибирають 4 карточки і кладуть в ряд одну за одною. Яка ймовірність

при цьому одержати слово «негр»?

l.22. Із десяти білетів книжкової лотереї два виграшних. Учасник ;ютереї

наздогад вибирає 5 білетів. Визначити ймовірність того, що серед них:

а) один виграшний білет;

б) два виграшних;

в) xoqa б один виграшний.

1.23. Замок відкривається лише при правильному наборі п'ятизна'fпого шифру, який вибирають серед цифр І, 2, 3, 4, 5, б, 7. Яка ймовірність від.кри­ ти замок при випадковому наборі шифру.

29

1.24. У бібліотеці є по 8 книг з б різних розділів математики. Надійшло

три замовлення. Враховуючи, що будь-який набір замовлення рівноможли­ вий, визначити ймовірність того, що:

а) замовлено книги з різних ршділів; б) замовлено книги з одного розділу.

1.25. Серед І ОО електро.1амп - 5 несправних. Яка ймовірність, що наздо-

гад взяті три елсктрола:-.1пи:

а) справні; б) дві справні, одна несправна;

в) хоча б одна несправна?

1.26. У партії з 16 виробів - 4 бракованих. Визначити ймовірність того.

що серед вибраних наздогад трьох виробів:

а) буде хоча б один бракований;

б) будуть два стандартних;

в) всі три стандартні.

1.27. Переганяють 12 легкових та 8 вантажних автомобілів. Стало відомо,

що два з пих у дорозі зіпсувались. Визначити ймовірність того, що:

а) зіпсувались автомобілі різних типів;

б) зіпсувались легкові автомобі.1і.

1.28.На книжковій полиці три підручники з фізики та два з математики. Наздогад беруть два підручники. Визначити ймовірність того, що:

а) взяли підручники з одного розділу; б) взяли хоча б один підручник з фізики:

в) обидві книги з математики.

1.29.Яка ймовірність того, що при випадковому складанні карточок роз­

різноі: азбуки з буквами Ї, Я, Е, Н, П, С, І, Т, Д, И буде одержано слово «сти­

пендія». При випадковому виборі чотирьох карточок - слово «степ».

1.30. У кондитерській продають 5 сортів тістечок. Покупець має чек на 4

тістечка. Визначити ймовірність того, що він купив:

а) всі тістечка одого сорту; б) тістечка різних сортів.

2.01. В одному ящику З білих та 7 чорних куль, в іншому - 4 білих та 6

чорних. Із кожної коробки виймають по одпій кулі. Яка ймовірність того, що:

а) обидві кулі білі;

б) кулі різнокольорові?

30