Добавил:

euroduck97 ac3402546@gmail.com Направление обучения: транспортировка нефти, газа и нефтепродуктов группа ВН (Вечерняя форма обучения) Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Статика и кинематика / Теоретическая механика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2021

Размер:

3.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

131

Рис. 1.2

132

									Таблица Д-1
№	Рис.	m	V0 ,	Q ,	R ,		l ,	t1 ,		FX ,
вари-		(кг)	м/с	Н	Н		м	с		Н
анта

1	1	4,5	18	9	V	0,45	-	5		3sin2t

2	2	3	32	4	V2	0,8	2,5	-		-8cos4t
3	3	2	2	2	V	0,4	-	2,5		2sin4t

4	4	6	14	18	V2	0,6	5	-		-3cos2t
5	5	1,6	18	4	V	0,4	-	2		4cos4t

6	6	1,2	22	2	V2	0,8	0,5	-		6t
7	7	2	5	2	V	0,4	-	2,5		2sin4t

8	8	2,4	12	6	V2	0,48	1,5	-		6t
9	9	1,8	15	6	V	0,3	-	3		9t²

10	10	4	12	12	V2	0,8	2,5	-		-8cos4t
11	11	2	20	6	V	0,4	-	2,5		2sin4t

12	12	4,8	5	12	V2	0,24	5	-		-6sin2t
13	13	1,2	24	2	V	0,4	-	1		4cos4t

14	14	2,4	12	6	V2	0,8	0,5	-		6t
15	15	4	10	6	V	0,8	-	5		3sin2t

16	16	2,4	12	2	V2	0,48	1,5	-		6t
17	1	6	2,5	18	V2	0,6	5	-		-3cos2t
18	2	2	26	3	V	0,6	-	5		2cos2t

19	3	4	2	4	V2	0,2	5	-		-6sin4t
20	4	1,6	18	4	V	0,4	-	2		4cos4t

21	5	6	14	18	V2	0,6	5	-		-3cos2t
22	6	2,1	28	3	V	0,5	-	3		8sin2t

23	7	2,4	1,2	2	V2	0,8	1,5	-		6t
24	8	2	20	6	V	0,4	-	2,5		2sin4t

25	9	8	10	16	V2	0,8	15	-		-6cos2t
26	10	1,8	15	6	V	0,3	-	2		9t²

27	11	2,5	1,5	8	V2	0,75	2,5	-		3sin2t
28	12	3	2,2	9	V	0,6	-	2,5		2cos2t

29	13	2	28	5	V2	0,6	0,5	-		-3cos2t
30	14	4,5	18	9	V	0,5	-	3		8sin2t

133

Пример выполнения задания Д-1

На вертикальном участке АВ трубы (рис.3) на точку массой m=1 кг действует сила тяжести и сила сопротивления R=µV2. Скорость материальной точки М в начальный момент времени t=0 в точке А равна нулю. Длина участка АВ=2 (м). На наклонном участке ВС трубы (α=30º) на материальную точку действует сила тяжести, сила трения (коэффициент трения f=0,2) и переменная сила FX=16sin(3t) . Требуется определить закон движения материальной точки на участке ВС.

Решение

Рассмотрим движение материальной точки на участке AB. Изобразим на чертеже материальную точку М в произвольном положении. На точку действуют силы P и R . Введем ось z в направлении от точки А к точке В. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось z

FTP N

z			F
z	α		C
	α		C
		P	x
			x

Рис. 1.3

Введем обозначение

dVZ

= ∑ FKZ

или

dVZ

= P + R

Учитывая, что PZ = mg ,

RZ = -µV2 ,

VZ=V ,

получим

= mg − µV 2 , или

= g −

V 2 .

(1)

b =

0,5

= 0,5 (1/м).

Тогда (1) запишется так

	134
dV	= g − bV 2	.	(2)
dt	= g − bV 2	.	(2)
dt

Так как в условии задачи задана длина участка АВ, то целесообразно при интегрировании перейти от переменной t к переменной z в уравнении

(2). Домножим на dz правую и левую части уравнения (2), получим

= (g − bV 2 )dz ,

т. к.

= V , то имеем

VdV = (g − bV 2 )dz

(3)

Разделим переменные в уравнении (3) и вычислим интегралы от обеих

частей равенства

VdV

= dz

−

ln(g − bV 2 )= z + C .

(4)

g − bV 2

Из начальных условий

V0 = 0 ,

z0 = 0 следует, что

C = −

ln g .

(5)

Подставим (5) в (4), получим

−

g − bV 2

= z

или

g − bV 2

= e−2bz .

Так как длина участка трубы АВ = 2 (м), то скорость в конце участка в точке В будет равна

2		1 − e−2bz			1 − e−2 0,5 2		1
VB	= g			= 10		= 20 1 −		,
					0,5		e2
			b
VB = 4,15			м/с .					(6)

Рассмотрим движение материальной точки на участке ВС. Изобразим в произвольном положении точку и действующие на нее силы P=mg, N, FТР и F. Введем оси координат x и y и составим дифференциальное

		135
уравнение движения точки в проекции на оси x и y
m	dV X	= mg sin α − FTP	+ F X	,	(7)
m	dt	= mg sin α − FTP	+ F X	,	(7)
	dt
	0 = N − mg cosα .				(8)

Найдем силу N из уравнения (8)

N = mg cosα .

Из этого равенства и закона Кулона FTP=fN определим силу трения

FTP = fmg cosα .

Подставим значения сил трения и FX в уравнение (7)
m	dVX	= mg(sin α − f cosα )+16 sin(3t ) .						(9)

	dt
Разделим обе части уравнения (9) на m и подставим численные значе-
ния параметров
g(sinα − f cosα ) = 9,8(sin 30o − 0,2 cos 30o )= 3,2 .
Имеем				dVX	= 3,2 +16 sin(3t ) .			(10)

				dt
Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, получим
	VX		= 3,2t −		16		cos(3t )+ C2 .	(11)

			3
Из начального условия			V(0) = VB и (6) получим
	C2		= 4,15 +			16	cos 0 = 9,48 .

			3

Подставим значение C2 в (11)

136

VX	=	dx	= 3,2t −	16	cos 3t + 9,48 .
		dt		3

Умножаем обе части уравнения на dt и интегрируем по t

x = 1,6t 2 −	16	sin 3t + 9,48t + C3 .	(12)
	9

Из начального условия x(0)=0, получим C3=0 . Поставляем значение C3 в (12) и находим закон движения точки на участке ВС

x = 1,6t 2 −	16	sin 3t + 9,48t .
	9

137

ЗАДАНИЕ Д-3

На звено 1 механизма, угловая скорость которого равна ω10, с некоторого момента времени (t=0) начинает действовать пара сил с моментом M (движущий момент) или движущая сила Р.

Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m1 и m2 , а масса поднимаемого груза 3 - m3. Момент сил сопротивления вращению ведомого звена 2 равен МC. Радиусы больших и малых окружностей звень-

ев 1 и 2: R1, r1, R2, r2 .

Схемы механизмов показаны на рис. 3.1-3.3, а необходимые для решения данные приведены в табл. 3.1.

Найти уравнение вращательного движения звена механизма, указанного в последней графе табл. 3.1. Определить также натяжение нитей в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание звеньев 1 и 2, найти окружное усилие в точке их касания. Звенья 1 и 2, для которых радиусы инерции ρ1 и ρ2 в табл. 3.1 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

Пример выполнения задания Д-3

Дано: m1=100 кг; m2=150 кг; m3=400 кг; М=4200+200t Нм; MC=2000 Нм=const; R1=60 см; R2= 40 см; r2= 20 см; ρ1= 202 см ; ρ2= 30

см; ω10=2 сек-1.

Найти уравнение ϕ2=f(t) вращательного движения звена 2 механизма, а также окружное усилие S в точке касания звеньев 1 и 2 и натяжение нити Т в момент времени t1= 1 сек (рис. 3.4.а)

Решение

К звену 1 механизма приложены (рис. 3.4.б) сила тяжести G1 , дви-

жущий момент М, составляющие реакции подшипника YA , Z A , окружное усилие S1 и нормальная реакция N1 звена 2.

К звену 2 механизма приложены сила тяжести G2 , момент сил со-

противления МC, составляющие реакции подшипника YB , ZB , натяжение нити T , к которой подвешен груз 3, окружное усилие S2 и нормальная ре-