Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdf
В проекциях:
d(mvx) = Fx dt ; d(mvy) = Fy dt ; d(mvz) = Fz dt . (5)
Проинтегрируем обе части равенства (4) :
|
t |
t |
|
|
|
d(mv) = |
Fdt |
(6) |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
0 |
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv - mv0 = |
|
Fdt |
(7) |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно полному импульсу всех действующих на точку сил за тот же промежуток
111
времени (конечная форма).
Проецируя получаем:
mvx -
mv y -
mvz -
|
t |
|
|
mv0x = |
т |
Fx dt |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
mv0 y = |
т |
Fy dt |
(8) |
|
|||
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
mv0z = |
т |
Fz dt |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Изменение проекции количества движения точки на неподвижную координатную ось за некоторый промежуток времени равно проекции полного импульса всех действующих на точку сил на ту же ось и за тот же
112
промежуток времени.
3.17. Теорема о количестве движения механической системы
Рассмотрим систему N материальных точек.
|
d 2rk |
(e) |
(i) |
|
|
|
mk |
|
|
= Fk |
+Fk |
(k = 1, 2, …, N), |
(1) |
|
dt2 |
|||||
или |
|
dvk |
|
|
|
|
|
|
(e) |
(i) |
|
|
|
mk |
|
|
= Fk |
+Fk |
(k = 1, 2, …, N). |
(2) |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
||
Просуммируем по всем точкам системы:
n |
d (m v ) |
N |
|
N |
0 |
|
|
F (e) + |
F (i ) |
|
|||||
|
k k |
= |
|
|
113 |
||
|
|
|
|
(3) |
|||
|
dt |
|
k |
|
k |
||
k =1 |
k =1 |
|
k =1 |
|
|
||
d
dt
Учтем, что:
N
Q =
k =1
N |
N |
(mkvk ) = Fk(e) |
|
k =1 |
k =1 |
|
|
N |
mkvk |
R(e) = Fk(e) |
|
|
|
k =1 |
|
dQ |
= R(e) |
|
dt |
|
|
|
|
(4)
(5)
(6)
Производная по времени от главного вектора количества движения механической системы равна геометрической
сумме (главному вектору) всех действующих на систему
114
внешних сил.
В проекциях: |
|
|
|
|
|
||
|
dQx |
= Rx(e) |
dQy |
= Ry(e) |
dQz |
= Rz(e) |
(7) |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||
|
dt |
dt |
dt |
|
|||
Производные по времени от проекции количества движения механической системы на оси координат равны проекции главного вектора всех действующих на систему внешних сил на эти же оси координат.
Дифференциальная форма:
N |
|
N |
|
d (mkvk ) = Fk(e) dt |
(8) |
||
k =1 |
|
k =1 |
|
|
N |
|
|
или с учетом (5) dQ = |
|
dS (F (e) ) |
(9) |
|
k |
115 |
|
|
k =1 |
|
|
Дифференциал от количества движения механической системы равен геометрической сумме элементарных импульсов всех действующих на систему внешних сил.
В проекциях: |
|
|
N |
|
|
|
|
|
F (e)dt |
|
|
dQ |
x |
= |
|
||
|
|
|
kx |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
dQy = |
|
Fky(e) dt |
(10) |
||
|
|||||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
dQ |
z |
= |
|
F (e) dt |
|
|
|
kz |
|
||
|
|
|
|
|
|
k =1
116
Интегрируя (9) получаем
N |
N |
N t |
|
|
|
|
(e) |
dt |
|
(mkvk ) − (mkvk 0 ) = Fk |
(11) |
|||
|
|
|
|
|
k=1 |
k=1 |
k=1 0 |
|
|
или |
Q − Q0 |
N |
|
|
|
= Sk |
|
|
|
|
|
(e) |
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
Q и Q0 |
– количество движения механической системы в |
|||
произвольный и начальный моменты времени;
S (e)
k – полный импульс равнодействующей всех внешних сил, действующих на k-ю материальную точку117 .
Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме полных импульсов всех действующих на систему внешних сил за тот же
промежуток времени.
В проекциях:
Qx −Q0 x
Qy − Q0 y
Qz −Q0z
N
= Skx(e) k =1
N
= Sky(e) k =1
N
= Skz(e) k =1
(12)
118
3.18. Законы сохранения количества движения механической системы
По теореме о количестве движения:
dQ |
= R(e) |
(1) |
||
|
dt |
|||
|
|
|
|
|
|
dQx |
= Rx(e) |
(2) |
|
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
1. Пусть главный вектор всех внешних сил, действующих
на точки механической системы, равен нулю, т.е. |
|
|||
R |
|
N |
= 0 |
|
|
= Fk |
|
||
|
(e) |
(e) |
|
(3) |
|
|
|
|
|
k =1
Тогда из уравнения (1) следует, что |
Q = const |
|
119 |
Если главный вектор всех внешних сил, приложенных к точкам механической системы, равен нулю, то количество движения системы и по величине и по направлению постоянно.
2. Пусть проекция главного вектора на какую-нибудь координатную ось равна нулю, т.е.
|
N |
Rx(e) = |
N |
|
R(e) = |
k |
|
Fkx(e) = 0 (4) |
|
F (e) 0 |
|
|||
|
k =1 |
|
k =1 |
|
Тогда из первого равенства уравнений (2) следует, что
Qx = const.
120