Динамика точки и системы / Теоретическая механика
.pdf
|
|
|
|
|
131 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
B |
M |
Q |
A |
A |
M |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
Q |
M |
A |
Q |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
B |
|
C |
x |
|
C |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
13 |
C |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
A |
M |
|
|
C |
|
|
|
|
|
α |
α |
|
|||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
16 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
C |
|
|
|
A |
|
|
Q |
|
|
|
x |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
α |
B |
M |
α |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
|
|
|
|
|
|
132
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица Д-1 |
|
№ |
Рис. |
m |
V0 , |
Q , |
R , |
μ |
l , |
t1 , |
|
FX , |
вари- |
|
(кг) |
м/с |
Н |
Н |
|
м |
с |
|
Н |
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
4,5 |
18 |
9 |
μV |
0,45 |
- |
5 |
|
3sin2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
32 |
4 |
μV2 |
0,8 |
2,5 |
- |
|
-8cos4t |
3 |
3 |
2 |
2 |
2 |
μV |
0,4 |
- |
2,5 |
|
2sin4t |
4 |
4 |
6 |
14 |
18 |
μV2 |
0,6 |
5 |
- |
|
-3cos2t |
5 |
5 |
1,6 |
18 |
4 |
μV |
0,4 |
- |
2 |
|
4cos4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
1,2 |
22 |
2 |
μV2 |
0,8 |
0,5 |
- |
|
6t |
7 |
7 |
2 |
5 |
2 |
μV |
0,4 |
- |
2,5 |
|
2sin4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
8 |
2,4 |
12 |
6 |
μV2 |
0,48 |
1,5 |
- |
|
6t |
9 |
9 |
1,8 |
15 |
6 |
μV |
0,3 |
- |
3 |
|
9t² |
10 |
10 |
4 |
12 |
12 |
μV2 |
0,8 |
2,5 |
- |
|
-8cos4t |
11 |
11 |
2 |
20 |
6 |
μV |
0,4 |
- |
2,5 |
|
2sin4t |
12 |
12 |
4,8 |
5 |
12 |
μV2 |
0,24 |
5 |
- |
|
-6sin2t |
13 |
13 |
1,2 |
24 |
2 |
μV |
0,4 |
- |
1 |
|
4cos4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
14 |
2,4 |
12 |
6 |
μV2 |
0,8 |
0,5 |
- |
|
6t |
15 |
15 |
4 |
10 |
6 |
μV |
0,8 |
- |
5 |
|
3sin2t |
16 |
16 |
2,4 |
12 |
2 |
μV2 |
0,48 |
1,5 |
- |
|
6t |
17 |
1 |
6 |
2,5 |
18 |
μV2 |
0,6 |
5 |
- |
|
-3cos2t |
18 |
2 |
2 |
26 |
3 |
μV |
0,6 |
- |
5 |
|
2cos2t |
19 |
3 |
4 |
2 |
4 |
μV2 |
0,2 |
5 |
- |
|
-6sin4t |
20 |
4 |
1,6 |
18 |
4 |
μV |
0,4 |
- |
2 |
|
4cos4t |
21 |
5 |
6 |
14 |
18 |
μV2 |
0,6 |
5 |
- |
|
-3cos2t |
22 |
6 |
2,1 |
28 |
3 |
μV |
0,5 |
- |
3 |
|
8sin2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
7 |
2,4 |
1,2 |
2 |
μV2 |
0,8 |
1,5 |
- |
|
6t |
24 |
8 |
2 |
20 |
6 |
μV |
0,4 |
- |
2,5 |
|
2sin4t |
25 |
9 |
8 |
10 |
16 |
μV2 |
0,8 |
15 |
- |
|
-6cos2t |
26 |
10 |
1,8 |
15 |
6 |
μV |
0,3 |
- |
2 |
|
9t² |
27 |
11 |
2,5 |
1,5 |
8 |
μV2 |
0,75 |
2,5 |
- |
|
3sin2t |
28 |
12 |
3 |
2,2 |
9 |
μV |
0,6 |
- |
2,5 |
|
2cos2t |
29 |
13 |
2 |
28 |
5 |
μV2 |
0,6 |
0,5 |
- |
|
-3cos2t |
30 |
14 |
4,5 |
18 |
9 |
μV |
0,5 |
- |
3 |
|
8sin2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133
Пример выполнения задания Д-1
На вертикальном участке АВ трубы (рис.3) на точку массой m=1 кг действует сила тяжести и сила сопротивления R=μV2. Скорость материальной точки М в начальный момент времени t=0 в точке А равна нулю. Длина участка АВ=2 (м). На наклонном участке ВС трубы (α=30º) на материальную точку действует сила тяжести, сила трения (коэффициент трения f=0,2) и переменная сила FX=16sin(3t) . Требуется определить закон движения материальной точки на участке ВС.
Решение
Рассмотрим движение материальной точки на участке AB. Изобразим на чертеже материальную точку М в произвольном положении. На точку действуют силы P и R . Введем ось z в направлении от точки А к точке В. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось z
|
A |
|
|
|
|
|
|
m |
dVZ |
|
= |
å |
F |
|
|
|
|
|
или |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KZ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
dVZ |
= P + R |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
M |
|
|
|
|
|
|
dt |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что PZ = mg , |
RZ = -μV2 , |
VZ=V , |
||||||||||||||||||
|
B |
N |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
FTP |
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
α |
M F |
C |
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
μ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
= mg − μV 2 , или |
|
= g − |
V 2 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
|
Рис. 1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b = |
μ |
|
= |
0,5 |
|
|
= 0,5 (1/м). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда (1) запишется так
|
134 |
|
|
|
dV |
= g - bV 2 |
. |
(2) |
|
dt |
||||
|
|
|
Так как в условии задачи задана длина участка АВ, то целесообразно при интегрировании перейти от переменной t к переменной z в уравнении
(2). Домножим на dz правую и левую части уравнения (2), получим
dz |
dV |
= (g - bV 2 )dz , |
т. к. |
|
dz |
|
= V , то имеем |
|
||||||||||
|
|
|
dt |
|
||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
VdV = (g − bV 2 )dz |
|
(3) |
||||||||
Разделим переменные в уравнении (3) и вычислим интегралы от обеих |
||||||||||||||||||
частей равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(g - bV 2 )= z + C . |
|
|||||||
|
|
|
VdV |
|
= dz |
, |
|
|
- |
|
1 |
(4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
g - bV 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2b |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из начальных условий |
V0 = 0 , |
z0 = 0 следует, что |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C = - |
1 |
ln g . |
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим (5) в (4), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
- |
1 |
ln |
g - bV 2 |
= z |
или |
|
|
|
|
|
g - bV 2 |
= e-2bz . |
|
|||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
g |
|
|||||||||
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как длина участка трубы АВ = 2 (м), то скорость в конце участка в точке В будет равна
2 |
|
1- e-2bz |
1- e-2×0,5×2 |
æ |
|
1 |
ö |
|||
VB |
= g |
|
|
|
= 10 |
|
= 20ç1 |
- |
|
÷ , |
|
b |
|
0,5 |
e2 |
||||||
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|||
VB = 4,15 |
|
м/с . |
|
|
|
|
(6) |
|||
Рассмотрим движение материальной точки на участке ВС. Изобразим в произвольном положении точку и действующие на нее силы P=mg, N, FТР и F. Введем оси координат x и y и составим дифференциальное
135 |
|
||||
уравнение движения точки в проекции на оси x и y |
|
||||
|
m |
dV X |
= mg sin α − FTP + FX , |
(7) |
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
0 = N − mg cosα . |
(8) |
|
Найдем силу N из уравнения (8) |
|
||||
|
|
|
N = mg cosα . |
|
|
Из этого равенства и закона Кулона FTP=fN определим силу трения |
|
||||
|
|
|
FTP = fmg cosα . |
|
|
Подставим значения сил трения и FX в уравнение (7) |
|
||||
m |
dVX |
= mg(sinα − f cosα )+16sin(3t) . |
(9) |
||
|
|||||
|
dt |
|
|||
Разделим обе части уравнения (9) на m и подставим численные значения параметров
g(sinα − f cosα )= 9,8(sin 30o − 0,2cos30o )= 3,2 .
Имеем |
dVX |
= 3,2 +16sin(3t) . |
|
dt |
|||
|
|
Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, получим
VX = 3,2t − |
16 |
|
cos(3t)+ C2 . |
|||
3 |
||||||
|
|
|
|
|||
Из начального условия |
V(0) = VB и (6) получим |
|||||
C2 |
= 4,15 + |
|
16 |
cos0 = 9,48 . |
||
|
||||||
|
|
3 |
|
|
||
Подставим значение C2 |
в (11) |
|
|
|
|
|
(10)
(11)
136
VX |
= |
dx |
= 3,2t − |
16 |
cos3t + 9,48 . |
|
dt |
3 |
|||||
|
|
|
|
Умножаем обе части уравнения на dt и интегрируем по t
x = 1,6t 2 − |
16 |
sin 3t + 9,48t + C3 . |
(12) |
|
9 |
||||
|
|
|
Из начального условия x(0)=0, получим C3=0 . Поставляем значение C3 в (12) и находим закон движения точки на участке ВС
x = 1,6t 2 − |
16 |
sin 3t + 9,48t . |
|
9 |
|||
|
|
137
ЗАДАНИЕ Д-3
На звено 1 механизма, угловая скорость которого равна ω10, с некоторого момента времени (t=0) начинает действовать пара сил с моментом M (движущий момент) или движущая сила Р.
Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m1 и m2 , а масса поднимаемого груза 3 - m3. Момент сил сопротивления вращению ведомого звена 2 равен МC. Радиусы больших и малых окружностей звень-
ев 1 и 2: R1, r1, R2, r2 .
Схемы механизмов показаны на рис. 3.1-3.3, а необходимые для решения данные приведены в табл. 3.1.
Найти уравнение вращательного движения звена механизма, указанного в последней графе табл. 3.1. Определить также натяжение нитей в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание звеньев 1 и 2, найти окружное усилие в точке их касания. Звенья 1 и 2, для которых радиусы инерции ρ1 и ρ2 в табл. 3.1 не заданы, считать сплошными однородными дисками.
Пример выполнения задания Д-3
Дано: m1=100 кг; m2=150 кг; m3=400 кг; М=4200+200t Нм;
MC=2000 Нм=const; R1=60 см; R2= 40 см; r2= 20 см; ρ1= 20
2 см ; ρ2= 30
см; ω10=2 сек-1.
Найти уравнение ϕ2=f(t) вращательного движения звена 2 механизма, а также окружное усилие S в точке касания звеньев 1 и 2 и натяжение нити Т в момент времени t1= 1 сек (рис. 3.4.а)
Решение
Кзвену 1 механизма приложены (рис. 3.4.б) сила тяжести G1 , движущий момент М, составляющие реакции подшипника YA , ZA , окружное усилие S1 и нормальная реакция N1 звена 2.
Кзвену 2 механизма приложены сила тяжести G2 , момент сил сопротивления МC, составляющие реакции подшипника YB , ZB , натяжение нити T , к которой подвешен груз 3, окружное усилие S2 и нормальная ре-
138
Рис. 3.1
139
Рис. 3.2
140
Рис. 3.3