Теоретические основы теплотехники 2

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Дифференциальное уравнение теплообмена получается при рассмотре-

нии передачи теплоты теплопроводностью через, практический, неподвиж-

ный слой жидкости (пограничный слой), который имеет место вблизи твер-

Дифференциальное уравнение энергии при условии однородности и не-

сжимаемости жидкости, отсутствия внутренних источников теплоты и рабо-

ты расширения, а также постоянства физических параметров жидкости в пределах элементарного объема формулируется следующим образом:

водности для твердого тела без внутренних источников теплоты.

Дифференциальное уравнение неразрывности получается на основе за-

кона сохранения массы и, для сжимаемой жидкости имеет следующий вид:

41

В частном случае несжимаемых жидкостей const . уравнение (100)

запишется в виде

Уравнение движения (уравнение Навье-Стокса) получается на базе первого и второго законов Ньютона и в векторной форме записи можно представить в виде

свободного падения; - динамический коэффициент вязкости.

Полученная система дифференциальных уравнений описывает бесчис-

ленное множество конкретных процессов.

Точные решения этой системы имеются только для отдельных частных случаев при ряде упрощающих предпосылок.

Основы теории подобия и метода анализа размерностей

В связи с ограниченными возможностями аналитического решения дифференциальных уравнений конвективного теплообмена решающее зна-

чение приобретает эксперимент.

Цель экспериментального исследования получение на основе экспери-

ментальных данных уравнений, по которым можно затем вести расчет тепло-

обмена в подобных процессах.

Для этого необходимо сформулировать основные условия, при выпол-

нении которых процессы будут подобны.

42

На все эти вопросы дает ответы теория подобия. Понятие подобия за-

имствовано из геометрии, где рассматриваются условия подобия геометриче-

ских фигур. Для подобия геометрических фигур достаточно соблюдения обычных признаков подобия (пропорциональность сходственных сторон, ра-

венство углов и др.). Для подобия физических процессов необходимо гово-

рить о подобии физических величин и явлений. Два или несколько явлений будут подобны, если подобны все физические величины , характеризующие эти явления, т.е. подобные между собою явления имеют одинаковые безраз-

мерные комплексы - критерии подобия. Этот вывод свидетельствует о том,

что в опытах нужно измерять те величины, которые входят в критерии по-

добия, характеризующие данный процесс.

Важной теоремой теории подобия является утверждение о том, что

решение дифференциального уравнения, описывающего данный процесс,

может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, характеризующими этот процесс и полученными из исходного уравнения. Это утверждение говорит о том, опытные данные надо обработать в виде зависимости между критериями подобия.

Наряду с приведенными выше двумя теоремами подобия, важным яв-

ляется и утверждение о том, что подобны между собой те явления, которые принадлежат к одному классу, к одному роду и имеют равные определяющие критерии подобия. Этот вывод позволяет полученные в опыте расчетные за-

висимости распространить на группу явлений, подобных исследованному.

Таким образом, теория подобия, при наличии дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемый процесс, позволяет, не решая сами уравнения, получить выражения чисел (критериев) подобия и на их основе получить расчетные зависимости – уравнения подобия.

При отсутствии дифференциальных уравнений, описывающих изучае-

мый процесс, используется метод анализа размерностей. Однако в этом слу-

чае должен быть известен перечень основных величин, оказывающих суще-

ственное влияние на развитие рассматриваемого процесса.

43

Например, для свободной конвекции такой перечень величин опреде-

ляется следующей исходной зависимостью:

жидкости, Дж/(кг·K).

Непосредственное экспериментальное исследование этой зависимости вследствие необходимости проведения большего числа опытов неосуще-

ствимо.

Теория размерностей в этом случае позволяет свести данное выраже-

ние от семи независимых переменных к зависимости от двух обобщенных безразмерных переменных (к уравнению подобия).

Критерии подобия и критериальные уравнения

Рассмотрим безразмерные комплексы величин, входящие в дифферен-

циальные уравнения, преобразованные в безразмерные уравнения:

Записанные безразмерные комплексы, составленные из размерных ве-

личин, называются критериями подобия.

Критерий Нуссельта характеризует соотношение тепловых потоков,

передаваемых конвекцией и теплопроводностью, является обычно искомой величиной, поскольку в него входит коэффициент теплоотдачи

44

Критерий Рейнольдса характеризует соотношение между силами инер-

ции и молекулярного трения (вязкости)

где w – средняя (линейная) скорость жидкости (м/с).

Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости и их влияние на конвективный теплообмен

Критерий Пекле характеризует отношение плотности теплового пото-

ка, передаваемого конвекцией, к плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью

Критерий Грасгофа характеризует соотношение подъемной силы, воз-

никшей вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жид-

кости и силы молекулярного трения и является параметром интенсивности свободного движения жидкости

Характеристики теплофизических свойств жидкостей, входящие в вы-

ражение чисел подобия, в общем случае зависят от температуры. Поэтому для определения численных значений критериев подобия указывается темпе-

ратура, при которой берутся теплофизические характеристики.

Как было рассмотрено ранее, система дифференциальных уравнений,

характеризующая процесс, приводится к безразмерному виду при соответ-

45

ствующих условиях однозначности. В конечном счете получается общий вид критериального уравнения

Важное значение, при решении задач нестационарной теплопроводно-

Критерий Фурье ( Fo a ) - характеризует безразмерное время.

l02

Написание Критерия Био похоже на форму записи критерия Нуссельта

где – коэффициент теплопроводности твердого тела (в то время как в кри-

терий Нуссельта - относится к окружающей среде)

Уравнения вида (110) называется критериальными.

В случае теплообмена, осложненного массообменном и изменением аг-

регатного состояния жидкости в процессе теплообмена, критерий Нуссельта зависит еще от ряда критериев.

Следует отметить, что. поскольку критериальные уравнения получены на основе эксперимента, в каждом случае указывается диапазон применимо-

сти уравнения, что принимается в качестве определяющей температуры и линейного размера при определении соответствующих критериев.

Обработка и обобщение результатов эксперимента

Предположим, что анализ конвективного теплообмена в условиях вы-

нужденного движения , позволил установить, что коэффициент теплоотдачи,

а следовательно, и критерий Нуссельта, зависит

46

Из эксперимента определяют необходимые величины, входящие в кри-

терии подобия, и подсчитывают их значения. Предположим, что зависимость между критериями подобия имеет степенной вид т.е.

Наносим опытные значения критериев подобия во всем диапазоне про-

веденных исследований на график lg Nu f lg Re (рис. 7).

Очевидно, если связь (112) действительно является степенной, получим семейство прямых линий, каждая из которых соответствует определенному значению критерия Pr .

Рис. 7. Обобщение опытных данных в критериальной форме

47

Из этого графика определяют показатель степени m при критерии Pr

Таким образом, определяются все постоянные коэффициенты в крите-

риальных уравнениях.

4. Теплообмен при естественной конвекции

Интенсивность конвективного теплообмена в значительной степени определяется развитием течения жидкости около поверхности тела, которое при естественной конвекции зависит от разности температур тела и окружа-

ющей среды, от формы и расположения поверхности тела в пространстве и расположения близлежащих тел.

При изучении естественной конвекции рассматриваются три характер-

ных случая: теплообмен между жидкостью и телом, расположенным в не-

ограниченном пространстве; теплообмен в ограниченных прослойках; сов-

местное протекание естественной и вынужденной конвекции.

При движении жидкости, вызванном естественной конвекцией, на по-

верхности теплообмена образуется динамический и тепловой пограничные слои. Температура в пограничном слое меняется плавно от температуры на стенке tс до температуры среды tж. Скорость на границах пограничного слоя

48

близка к нулю, а максимальное значение имеет на некотором расстоянии от стенки.

При движении жидкости вдоль поверхности пограничный слой разви-

ваются и переходит из ламинарного в турбулентный.

На основании теории подобия для естественной конвекции в большом объеме была получена критериальная зависимость в виде

Развитие течения вдоль горячей вертикальной поверхности показано на рис. 8. Сначала толщина нагретого слоя жидкости мала и течение ламинар-

ное. Постепенно по высоте стенки движением увлекается все большее коли-

чество жидкости. Толщина ламинарного слоя растет. Затем он разрушается и наступает турбулентный режим течения.

Рис. 8. Развитие течения и изменение коэффициента теплоотдачи при естественной конвекции у вертикальной поверхности.

На участке ламинарного течения α уменьшается в связи с увеличением толщины пограничного слоя движущейся жидкости, а на участке переходно-

го течения вследствие повышения степени турбулизации и уменьшения тол-

49

щины ламинарного слоя коэффициент теплоотдачи резко возрастает и далее по высоте стенки, при развитом турбулентном течении, сохраняется посто-

янным.

Коэффициент теплоотдачи при свободном движении жидкости в боль-

шом объеме определяется из следующих уравнений подобия:

для вертикальных труб и плоских стенок при ламинарном течении жидкости

для вертикальных труб и плоских стенок при турбулентном течении жидко-

В этих уравнениях определяющей температурой является температура окружающей среды; за определяющий размер принимается длина участка от

начала теплообмена l.

Теплообмен на горизонтальном цилиндре. Развитие естественной конвекции около горизонтального цилиндра аналогично развитию естествен-

ной конвекции у вертикальной поверхности. Здесь также можно выделить ламинарный, переходный и турбулентный участки пограничного слоя. В за-

висимости от температурного напора и диаметра цилиндра переход ламинар-

ного течения в турбулентное может происходить на поверхности цилиндра

или за пределами соприкосновения движущейся среды с цилиндром.

При Gr Pr m < 10-3 [(определяющий размер - диаметр, определяющая температура tm 0,5 tс tж ] вокруг тела образуется неподвижная пленка с переменной температурой. Такой режим называется пленочным. В этих усло-

виях критерий Нуссельта зависит только от формы тела(для тонкой проволо-

переходный от пленочного к ламинарному. Наибольшее значение коэффици-

ента теплоотдачи при переходном режиме определяется уравнением

50