3семестр_лабораторные_работы / СМИИ_лаб1
.pdfОтчет по лабораторной работе №1 по дисциплине «Статистические методы в инженерных исследованиях»
Тема: Основные понятия теории вероятностей: частота, вероятность случайного события, закон распределения непрерывной случайной величины; расчет квантилей распределения и вероятности попадания в заданную область; типовые законы распределения непрерывных случайных величин.
4. Расчет частоты случайного события и анализ ее поведения при увеличении количества опытов
Вариант А) случайное событие - выпадения «орла» (1) или «решки» (0) в опыте с подбрасыванием монеты.
Частота события «выпадение «орла» (1) в опыте с подбрасыванием монеты для 10, 30, 100, 1000 опытов:
В данном случае с помощью усреднения значений рассчитывается вероятностная характеристика частоты события «выпадение единицы»: так как сумма любого количества нулей равна нулю, то вычисляется отношение суммы единиц к общему количеству опытов.
Вывод: при значительном увеличении числа опытов вероятность события «выпадение «орла» приближается к устойчивому значению 0,5.
Вариант В) случайное событие - выпадения числа от 1 до 6 в опыте с подбрасыванием игральной кости.
На оси Ox отмечены возможные события: появления чисел 1-6. Высота столбца гистограммы для любого из чисел 1-6 показывает число появлений данного числа в N опытах.
Чтобы рассчитать частоту появления события, используя график, нужно высоту столбца для события, которое нас интересует, разделить на общее количество опытов, для которых строился график.
Частота при N=1000:
2
для 1: 0,168 для 2: 0,162 для 3: 0,157 для 4: 0,178 для 5: 0,177 для 6: 0,158
С увеличением количества опытов высота столбцов выравнивается, то есть она приближается к определенному значению (1000/6=166,6…).
3
5. Моделирование случайных величин с типовыми законами распределения вероятности и изучение влияния параметров на характер кривых
K=11
Нормальное распределение Параметры: -1,1 5,5
Функция плотности вероятности y=normal(x;-1,1;5,5)
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
-12 |
-10 |
-8 |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
Функция распределения
p=inormal(x;-1,1;5,5)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-12 |
-10 |
-8 |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
При увеличении параметра θ1 график функции плотности распределения сохраняет общий вид, но сдвигается вправо, при уменьшении параметра – влево.
При уменьшении параметра θ2 меняется форма графика - он вытягивается вверх и сужается; максимальное значение функции плотности распределения увеличивается.
4
Распределение Лапласа Параметры: -1,1 1,1
Функция плотности вероятности y=laplace(x;-1,1;1,1)
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
Функция распределения p=ilaplace(x;-1,1;1,1)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
При увеличении параметра θ1 график функции плотности распределения сохраняет общий вид, но сдвигается вправо, при уменьшении параметра – влево.
При уменьшении параметра θ2 меняется форма графика - он вытягивается вверх и сужается; максимальное значение функции плотности распределения увеличивается.
5
Логнормальное распределение Параметры: 1,1 1,1
Функция плотности вероятности y=lognorm(x;1,1;1,1)
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
Функция распределения
p=ilognorm(x;1,1;1,1)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
При увеличении параметра θ1 график функции плотности распределения расширяется, максимальное значение функции и значение функции по левой границе уменьшаются. При увеличении параметра θ2 график функции плотности распределения сужается, максимальное значение функции то увеличивается, то уменьшается и сдвигается влево.
6
Экспоненциальное распределение Параметр: 2,1
Функция плотности вероятности y=expon(x;2,1)
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2,0 |
Функция распределения
p=iexpon(x;2,1)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2,0 |
При увеличении параметра θ1 график функции плотности распределения сужается, максимальное значение функции увеличивается.
6. Значения вероятностей попадания в интервалы и дополняющих вероятностей
Нормальное распределение
А) Параметры -1,1 |
5,5 |
Интервал 2,1; ∞ |
Вероятность 0,280345 Дополняющая вероятность 0,719655 |
В) Интервал 1,1;1,6 |
Вероятность 0,688255-0,655422=0,032833 |
7
Дополняющая вероятность 1-0,032833=0,967167 |
|
|
Распределение Лапласа |
|
|
Параметры -1,1 |
1,1 |
|
Интервал -∞;0,1 |
Вероятность 0,832045 Дополняющая вероятность 0,167955 |
|
Логнормальное распределение |
|
|
Параметры 1,1 |
1,1 |
|
Интервал 1,1; ∞ |
Вероятность 0,819472 |
Дополняющая вероятность 0,180528 |
Экспоненциальное распределение |
|
|
Параметр 2,1 |
|
|
Интервал 1,1; ∞ |
Вероятность 0,099261 |
Дополняющая вероятность 0,900739 |
7. Квантили, отвечающие уровню вероятности p. Левая и правая границы симметрично расположенного интервала симметричных функций
Нормальное распределение
Параметры -1,1 |
5,5 |
Вероятность 0,95 |
Квантиль 7,946695 |
|
Правая граница симметричного 9,679802 |
|
Левая граница симметричного = -1,1-(1,1+9,679802)=-11,879802 |
|
Симметричный (-11,879802; 9,679802) |
|
Асимметричный (- ∞; 7,946695) |
Вероятность 0,99 |
Квантиль 11,694913 |
|
Правая граница симметричного 13,067061 |
|
Левая граница симметричного = -1,1-(1,1+13,067061)=-15,267061 |
|
Симметричный (-15,267061; 13,067061) |
|
Асимметричный (- ∞; 11,694913) |
Распределение Лапласа |
|
Параметры -1,1 |
1,1 |
Вероятность 0,95 |
Квантиль 1,432844 |
|
Правая граница симметричного 2,195306 |
|
Левая граница симметричного = -1,1-(1,1+2,195306)=-4,395306 |
|
Симметричный (-4,395306; 2,195306) |
|
Асимметричный (- ∞; 1,432844) |
Вероятность 0,99 |
Квантиль 3,203225 |
|
Правая граница симметричного 3,965687 |
|
Левая граница симметричного = -1,1-(1,1+3,965687)=-6,165687 |
Симметричный (-6,165687; 3,965687)
Асимметричный (- ∞; 3,203225)
Логнормальное распределение
Параметры 1,1 1,1 |
|
Вероятность 0,11 |
Квантиль 0,779439 |
|
Асимметричный (- ∞; 0,779439) |
Экспоненциальное распределение |
|
Параметр 2,1 |
|
Вероятность 0,11 |
Квантиль 0,055492 |
|
Асимметричный (- ∞; 0,055492) |
8