МОД_ТР
.pdfРАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ
по дисциплине «Методы обработки данных»
Механизм образования случайной величины
Отделение многоканальной ретрансляционной станции мобильной связи обслуживает 10000 потребителей. Абоненты обращаются на станцию в случайные моменты времени. Интенсивность обращений постоянна в определенное время суток. Интервал времени в секундах между обращениями по одному каналу с 8-00 до 10-00 - случайная величина Y [с].
1. Выбор закона распределения вероятностей случайной величины.
Случайные события – обращения абонентов на станцию в случайные моменты времени – образуют простейший поток событий. Тогда значения случайной величины, равные интервалу между событиями, подчиняются экспоненциальному закону распределения.
2. Аналитическое выражение плотности распределения. f(y, Θ)= Θ*exp(-Θ*y)
3.Значение параметра распределения.
Θ=9
4.Сгенерируем 100 значений случайной величины Y с экспоненциальным законом распределения с помощью пакета «STATISTICA».
5.Расчет значения выборочных несмещенных точечных оценок математического ожидания M’[Y] и дисперсии D’[Y] по выборкам объема 100 и 20.
N=100
M’[Y] =(1/100)*Σyi =0,1117, где i=1,…,100
D’[Y]=(1/99)*Σ(yi - M’[Y])2= 0,012186, где i=1,…,100
N=20
M’[Y] =(1/20)*Σyi = 0,0796, где i=1,…,20
D’[Y}=(1/19)*Σ(yi - M’[Y])2=0,004379, где i=1,…,20
Построение гистограммы по выборке объема 100.
Размах R=ymax-ymin=0,702313472-0,00276463235=0,699549
Количество подинтервалов k=1+3,2*lg100=8
Ширина подинтервала delta=R/k=0,699549/8=0,08744
Подинтервалы:
[0,002765; 0,090205); (0,090205; 0,177645); (0,177645; 0,265085); (0,265085; 0,352525); (0,352525; 0,439965); (0,439965; 0,527405); (0,527405; 0,614845); (0,614845; 0,702313]
Подинтервал |
Число наблюдений |
|
|
[0,002765; 0,090205) |
50 |
|
|
(0,090205; 0,177645) |
34 |
|
|
(0,177645; 0,265085) |
8 |
|
|
(0,265085; 0,352525) |
3 |
|
|
(0,352525; 0,439965) |
3 |
|
|
(0,439965; 0,527405) |
1 |
|
|
(0,527405; 0,614845) |
0 |
|
|
(0,614845; 0,702313] |
1 |
|
|
4-8 подинтервалы содержат менее 5 наблюдений, поэтому 4 объединяется с третьим, а 5-8 объединяются между собой.
Подинтервалы, образующиеся в результате объединения 3 с 4 и 5-8 между собой, содержат не менее 5 измерений:
Подинтервал |
Число наблюдений |
|
|
[0,002765; 0,090205) |
50 |
|
|
(0,090205; 0,177645) |
34 |
|
|
(0,177645; 0,352525) |
11 |
|
|
(0,352525; 0,702313] |
5 |
|
|
2
1.f(y)=50/(0,08744*100)= 5,71821
2.f(y)=34/(0,08744*100)= 3,88838
3.f(y)=11/(2*0,08744*100)= 0,629
4.f(y)=5/(4*0,08744*100)= 0,14296
6. Расчет оценки параметра распределения Θ” с использованием метода максимального правдоподобия.
•Функция максимального правдоподобия
L(y, Θ)=П Θ*exp(-Θ*yj), где j=1,…,n
•Вывод уравнения правдоподобия для оценки параметра
L(y, Θ)= Θn *exp(-Θ*Σyj), |
ln(L(y, Θ))=n*lnΘ - Θ*Σyj |
|||
|
d(ln(L(y, Θ))) |
|
|
|
|
dΘ |
|
= n/Θ - Σyj, |
n/Θ - Σyj=0 |
•Выражение для расчета оценки параметра
Θ’’=n/Σyj
•Расчет оценки параметра для выборок объема 100 и 20 N=100
Θ’’=100/Σyj =8,951911 N=20
Θ’’=100/Σyj =12,51622
7. Выражения, связывающие параметр распределения и числовые характеристики, для экспоненциального закона.
M[Y]=1/ Θ
D[Y]=1/ Θ2
3
8.Расчет оценки математического ожидания M”[Y] и дисперсии D”[Y]. N=100
M’’[Y]=1/8,951911=0,1117 D’’[Y]=1/(8,951911)2=0,012479 N=20 M’’[Y]=1/12,51622=0,0799 D’’[Y]=1/(12,51622)2=0,006383
9.Сравнение результатов п.п. 5 и 9.
Объем |
Точечная |
Точечная |
Оценка математического |
Оценка дисперсии, |
выборки |
эмпирическая |
эмпирическая |
ожидания, рассчитанная с |
рассчитанная с |
|
оценка |
оценка дисперсии |
использованием ММП |
использованием ММП |
|
математического |
|
|
|
|
ожидания |
|
|
|
100 |
0,1117 |
0,012186 |
0,1117 |
0,012479 |
|
|
|
|
|
20 |
0,0796 |
0,004379 |
0,0799 |
0,006383 |
|
|
|
|
|
Свойства точечных эмпирических оценок
•состоятельные;
•несмещенные;
•для определения эффективности необходимы дополнительные исследования.
Свойства ММП-оценок
•состоятельные;
•по крайней мере, асимптотически несмещенные;
•асимптотически эффективные.
4