Методическое пособие 521

Получилось четыре решения. На самом деле здесь различных решений только два, поскольку наборы 1, 2, которые соответствуют одному и тому же собственному числу , отличаются лишь знаками и тем самым дают противоположные по знаку собственные функции. Такие функции считаются неразличимыми, так как собственные функции задачи Штурма-Лиу- вилля определяются с точностью до постоянного множителя.

Покажем, что тот же результат можно получить, не прибегая к решению нелинейной системы. Для этого при составлении системы не будем включать в неё интегральное условие (4.10).

> eq:=[diff(P,a1)=0,diff(P,a2)=0];

Заметим, что полученная система имеет вид (A–B)u = 0, что соответствует известной в линейной алгебре обобщенной задаче на собственные числа и собственные векторы матрицы A. Такая задача сводится к обычной задаче Wu= u определения собственных чисел и векторов для матрицы W=B–1A, методы решения которой для любого порядка матрицы достаточно хорошо разработаны. Например, широко применяются методы вращений (Якоби), итераций, Ланцоша, степенной метод, QR-алгоритм и др.

Чтобы воспользоваться стандартными возможностями системы Maple для нахождения собственных чисел и векторов, необходимо по заданной системе уравнений явно выписать матрицы A и B. Для этого воспользуемся функцией genmatrix из пакета расширения linalg.

>with(linalg):

>A:=genmatrix(subs(lambda=0,eq),[a1,a2]);

101

> B:=evalm(-genmatrix(diff(eq,lambda),[a1,a2]));

Обратите внимание, как здесь из системы (A – B)u = 0 выделяется нужная матрица: в одном случае предварительно подставляется =0, а в другом – берется частная производная по .

Теперь вычисляем собственные числа обобщенной задачи:

> evalf(eigenvals(A,B));

Для нахождения собственных векторов требуется матри-

ца B–1A:

>G:=evalm(inverse(B)&*A);

>v:=evalf(eigenvectors(G));

v:= [41.99999994, 1., {[-.4999999994, 1.]}], [10.00000000, 1., { [1.,

б2 0,5;0 T (в разных версиях Maple значения компонент могут отличаться от приведённых некоторым множителем).

Построим собственную функцию, соответствующую первому собственному числу. В приведенном списке v этому числу соответствует второй составной элемент [10.00000000, 1., {[1., 0]}], в котором 10.00000000 – это собственное число, 1.

– его кратность, {[1., 0]} – собственный вектор. Компоненты последнего и есть искомые коэффициенты 1, 2 аппроксимации (*). Извлечь найденные числовые значения 1, 2 из списка можно, например, так:

>num:=2;# номер элемента списка v, соответствующего 1 10

>pr:=a1=op(v[num,3])[1],a2=op(v[num,3])[2];

102

Внимание: так как функция Maple eigenvectors() выводит собственные числа и соответствующие им собственные векторы в случайном порядке, то при практической реализации переменная num может иметь значение, отличное от приведенного, в частности, равное 1. Поэтому необходимо тщательно отслеживать порядок вывода собственных чисел указанной функцией.

Далее делаем подстановку и тут же нормируем, т.е. де-

> z1:=subs(pr,z(x))/sqrt(int(subs(pr,z(x))^2, x=0..1));

z1 := 5.477225576 x (x–1)

Получили приближение первой собственной функции ~y1(x) 5.4772 x (x 1). Интересно сравнить его с точным ре-

шением y1 2sin x ; для этого строим графики и вычисляем

норму погрешности аппроксимации.

> plot({z1,sqrt(2)*sin(Pi*x)},x=0..1);

Рис. 4.2

103

Судя по характерной «картинке», данные функции находятся в противофазе. Как известно, функции с одинаковой нормой могут отличаться знаками, в данном случае так и произошло, поэтому перед z1 нужно взять «минус». Чтобы автоматизировать этот процесс, можно проверять производную в нуле: если она отрицательна, знак собственной функции сле-

> z1:=`if`(subs(x=0,diff(z1,x))>0,z1,-z1); z1 := –5.477225576 x (x–1)

> plot({z1,sqrt(2)*sin(Pi*x)},x=0..1);

Рис. 4.3

Норму погрешности решения определяем по формуле

> delta1:=sqrt(int((z1-sqrt(2)*sin(Pi*x))^2,x=0..1));

1:= .03801985008

104

Аналогично находим вторую собственную функцию, со-

~

ответствующую собственному числу 2 42.

> num:=1; # номер элемента списка v, соответствующего

2 42; может не совпадать с указанным

>pr:=a1=op(v[num,3])[1],a2=op(v[num,3])[2];

>z2:=subs(pr,z(x))/sqrt(int(subs(pr,z(x))^2, x=0..1));

>z2:=`if`(subs(x=0,diff(z1,x))>0,z2,-z2);

z2 := 28.98275350 (-.4999999994+1.x) x (x–1)

> plot({z2,sqrt(2)*sin(Pi*x)},x=0..1);

Рис. 4.4

> delta2:=sqrt(int((z2-sqrt(2)*sin(2*Pi*x))^2, x=0..1));

2:= .1308460450

Таким образом, вторая собственная функция аппрокси-

мируется выражением

~y2(x) 28,983x (x 0,5) (x 1).

Для проверки ортогональности вычислим скалярное произведение (~y1,~y2 ); оно должно быть близко к нулю.

105

> int(z1*z2,x=0..1);

-.3174901574 10-8

Проверка сходимости. С увеличением числа m параметров аппроксимации точность решения задачи должна возрастать. Для проведения такого анализа следует решить несколько задач при различных значениях m и показать, что

~2

k m (k ) , k m 0, k = 1, 2, … ,

где k ~yk yk – норма погрешности аппроксимации собст-

венной функции yk . Для этого в приведенной программе следует модифицировать некоторые строки: там, где определяется вид аппроксимации, система уравнений, список неизвестных и т.п. Например, при m=4 имеем (измененные строки выделены)

>restart;

>with(linalg):

>Digits:=20:

>z:=x->(a1+a2*x+a3*x^2+a4*x^3)*x*(x-1):

>F:=y->int((D(y)(x))^2-lambda*y(x)^2,x=0..1):

>P:=evalf(F(z)):

>eq1:=[diff(P,a1),diff(P,a2),diff(P,a3),diff(P,a4)]:

>A:=genmatrix(subs(lambda=0,eq1),[a1,a2,a3,a4]): B:=-genmatrix(diff(eq1,lambda),[a1,a2,a3,a4]): G:=evalm(inverse(B)&*A): evalf(eigenvals(A,B)): v:=evalf(eigenvectors(G));

v := [39.501552784298, 1., { [-.931856758802112e-1, -.212570779438151, 1.19682639311396, -.797884261947117]}], [102.130250362174, 1., { [-.262091514193518, 1.21430684794896, -1.21430684764023, -.283518439568072e-9]}], [200.498447161152, 1., { [.266620374018506, -2.07461390966088, 4.62411948487108, -3.08274632323329]}],

[9.8697496216058, 1., { [.661684886859476, .749782041997382, -.749782042221858, .166378860069766e-9] }]

106

обще говоря, с увеличением номера собственного числа (собственной функции) задачи Штурма-Лиувилля скорость сходимости решения метода Ритца уменьшается. Ниже приводится итоговая таблица, с помощью которой удобно вести контроль сходимости.

Из таблицы видна закономерность, при которой результаты расчетов для отдельной пары k и yk меняются в зависимости от m с шагом 2. Например, собственное значение 1 и погрешность 1 остаются неизменными при m = 3 4 и при m = 5 6; 2 и 2 одинаковые для m = 2 и m=3 и для m = 4 и m = 5 и т.д. Это обстоятельство при анализе сходимости позволяет сократить объем вычислений, выполняя их лишь при четных, либо нечетных номерах m.

В задаче Штурма-Лиувилля могут ставиться граничные условия вида

0 = 1 =0 – однородным условиям 2-го рода. В этом случае вариационная формулировка приводит к минимизации функционала с дополнительными граничными слагаемыми

b

F[y(x)] (p(x)y 2 q(x)y2 y2)dx 1p(b)y2(b) 0p(a)y2(a). (4.12)

a

108

Таким образом, задача сводится к решению задачи Больца, в которой ограничения (4.11) выступают как естественные граничные условия – условия трансверсальности. Аппроксимация при этом не должна заранее удовлетворять какому-либо условию при x = a и x = b. С этой целью обычно берут приближение в виде многочлена

Если на одном конце отрезка a x b задано граничное условие 1-го рода, а на другом – 2-3-рода, то в функционале (4.12) следует убрать одно из двух неинтегральных слагаемых, а от аппроксимации ~y(x) потребовать, чтобы выполнялось однородное условие 1-го рода при любых значениях параметров { i}. В частности, для задачи

Пример 3. Найти первые два собственных значения и соответствующие собственные функции задачи

109