Методическое пособие 577

соответствующие ограничения умножаются на –1, соответственно меняются и знаки неравенств на противоположные. Далее избавляются от знаков неравенств: если стоял знак ≤ , то к соответствующему ограничению прибавляется новая дополнительная переменная, а если был знак ≥, то новая дополнительная переменная вычитается. Так как этих дополнительных переменных нет в целевой функции, то на общую прибыль они не будут нести влияния.

F(X) = −6x1 − 5x2 − 9x3 → min.

5x1 + 2x2 + 3x3 +x4 = 25 x1 + 6x2 + 2x3+x5 = 20 4x1 + 0x2 +3x3+x6 = 18.

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0.

Как видно, базисными переменными являются x4, x5 и x6. Составим первую симплекс таблицу (табл. 4).

Далее определим оценки — последняя строка таблицы. Например, оценка для переменной x2: 0*2+0*6+0*0−(−5) = 5. У нас получились три положительных оценки. Выбираем максимальную (9). Значит, столбец x3 является ведущим. Определим ведущую строку, для чего найдем соотношения: 25 : 3 = 8,3, 20 : 2 = 10, 18 : 3 = 6. Поэтому третья строка (x6)

является ведущей, так как именно в ней отношение получилось минимальным. Значит, выделенный элемент (3) является ведущим.

10

Далее пересчитываем таблицу по правилу «прямоугольника» (табл. 5). Ведущую строку делим на ведущий элемент:

18:3=6, 4:3= 43 ; 0:3 0, 3:3 1 и т.д. Рассмотрим правило

«прямоугольника» на некоторых элементах таблицы: напри-

Аналогично рассчитали и остальные элементы таблицы. Так как ведущий элемент находился на пересечении строки x6 и столбца x3, то во второй таблице в качестве

базисной переменной переменная x3 заменит переменную x6.

По известному нам правилу мы рассчитали оценки для второй таблицы. Среди этих оценок есть положительная (5). Значит, столбец x2 является ведущим. Определим ведущую строку, для чего найдем соотношения к положительным элементам этого столбца: 7:2=3,5, 8:6=4/3. Поэтому вторая строка (x5) является ведущей, так как именно в ней отношение получилось минимальным. Значит, выделенный элемент (6) является ведущим. Далее пересчитываем таблицу по правилу «прямоугольника» (табл. 6).

11

Таблица 6 Таблица, пересчитанная по правилу «прямоугольника»

на второй итерации

Рассчитаем для этой таблицы оценки. Среди оценок нет

положительных. Значит, мы нашли оптимальный план задачи. Решение находится в столбце b: x4 = 13/3; x2 = 4/3; x3 = 6. Все остальные переменные (x1, x5 и x6) приравниваются к нулю. Теперь подставим значения для найденных переменных в целе-

Но полученное решение является не до конца верным. Нельзя производить дробное количество приборов. Поэтому целочисленный оптимальный план можно записать так:

x2 = 1, x3 = 6. F(X) = 5*1 + 9*6 = 59.

Вывод: необходимо производить один ЭЭГ и шесть ЭМГ для получения максимальной прибыли.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 1

1.Для решения каких задач используется симплекс

метод?

2.Что из себя представляет задача производственного

плана?

3.Как определяется первоначальный опорный план?

4.Каким образом определяются базисные переменные?

5.Как высчитываются оценки? О чем они говорят?

12

6.Как пересчитывается симплекс таблица в случае «неоптимальности»?

7.Каким образом определяется итоговое значение целевой функции? К чему оно стремится?

13

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПЛАНА СРЕДСТВАМИ EXCEL

Рассмотрим особенности решения задачи производственного плана средствами EXCEL. Рассмотрим пример. Для производства двух видов аппаратов — наркозно-дыхательного и аппарата для поддержки кровообращения — используются три вида неорганического сырья, а именно металлы, полимеры и композиты. Для производства одного наркозно-дыхательного аппарата (НДА) используется a1 кг металлов, полимеров — a2 кг, композитов — a3 кг. Для производства одного аппарата искус-

ственного кровообращения (АИК) используется b1 кг металлов, полимеров — b2 кг, композитов — b3 кг. На изготовление всех аппаратов предприятие может использовать не более чем t1 кг металлов, полимеров — не более t2 кг, композитов — не более

t3 кг. Прибыль от реализации одного готового наркознодыхательного аппарата составляет денежных единиц, а аппарата для поддержки кровообращения — денежных единиц. Составить план производства обоих аппаратов, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Численные значения исходных параметров представлены в табл. 7.

Таблица 7 Исходные значения задачи производственного плана

Решение задачи в среде EXCEL начинается с ввода условий задачи. Ввод условий задачи состоит из следующих основных этапов:

–создание формы для ввода условий задачи;

–ввод исходных данных;

–ввод формул из математической модели;

–назначение целевой функции;

–ввод ограничений.

14

Математическая модель для решения данной задачи: F = 44x1 + 38x2 max;

x1 + 2x2 3 6; 3x1 + 3x2 60;

3x1 + x2 48; xj 0, j=1,2.

Форма для ввода условий данной задачи может иметь вид, представленный на рис. 1:

Рис. 1. Форма для ввода условий данной задачи

При этом ячейки B3:С3 являются изменяемыми и в них будут заноситься значения переменных (количество производимых аппаратов). Именно это нам и нужно найти в задаче. Ввод функциональных зависимостей для целевой функции и ограничений осуществляется с использованием «Мастера функций». Для этого необходимо активизировать требуемую ячейку (D4)

ивызвать «Мастер функций». В левой части появившегося диалогового окна нужно выбрать категорию функции «Математическая», а в правом окне выделить функцию СУММПРОИЗВ

инажать клавишу ОК. Затем на экране отобразится диалоговое окно второго шага (рис. 2), где требуется ввести как первый (B$3:C$3), так и второй массив (B4:C4). При вводе первого массива используются абсолютные ссылки ($) на ячейки, при вводе второго — относительные, что в дальнейшем будет удобно при копировании формул. Во все окна адреса ячеек удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по соответствующим ячейкам.

15

Рис. 4. Окно ввода процедуры «Поиск решения»

В окне «Установить целевую ячейку» требуется ввести имя ячейки, в которую введена зависимость для целевой функции (в данном случае D4). В качестве направления оптимизации выбирается максимизация, так как прибыль должна быть максимальной. В окне «Изменяя ячейки»вводятся адреса ячеек, соответствующих варьируемым переменным задачи ($B3:$C3). Далее необходимо ввести ограничения. Для добавления ограничений выбирается пункт «Добавить», после чего появляется окно добавления ограничений.

Вводятся условия для переменных (НДА – АИК) используются абсолютные ссылки ($) на ячейки, при вводе второго — целые. Для обеспечения положительных значений для переменных «Количество аппаратов» можно ввести в виде $B3 >= 0, $C3 >= 0. Но при условии максимизации целевой функции наши переменные и так не будут отрицательными. Затем вводятся ограничения на ресурсы: $D6 <= $E6, $D7 <= $E7, $D8 <= $E8. Ограничения вводят последовательно. Сначала выбирается пункт «Добавить», далее в появившихся диалоговых окнах вводится левая часть, знак и правая часть каждого ограничения. После ввода последнего ограничения и нажатия OK произойдет возврат в окно «Поиск решения».

17

Результирующие значения количества выпускаемой техники указаны в ячейках B3–С3 исходной задачи. Соответствующее значение целевой функции общей прибыли заносится в ячейку D4, а значения левых частей ограничений — в ячейки D6–D8. Таблица с результатами решения задачи представлена на рис. 5.

Рис. 5. Результаты решения задачи производственного плана

По результатам видно, что в оптимальном решении НДА = В3 = 14; АИК = С3 = 6. При этом максимальная прибыль будет составлять D4 = 844, а количество использованных ресурсов равно: металлы = F6 = 768, полимеры = F7 = 204, композиты = F8 = 855.

Это является оптимальным решением рассматриваемой задачи производственного планирования. Однако решение задачи находится не всегда. Если условия задачи несовместны, на экране появится сообщение: «Поиск не может найти подходящего решения». Если целевая функция не ограничена, то в окне результатов поиска решения появится сообщение: «Значения целевой функции не сходятся».

Из окна «Результаты поиска решения» возможно создание трех типов отчетов: по результатам, устойчивости и пределам. Каждый из отчетов записывается на отдельном листе. Отчеты используются при анализе полученного оптимального решения.

Отчет по результатам (рис. 6) состоит из трех таблиц. В первой (целевая ячейка) приведены сведения о целевой функции, в столбце «Исходно» указывается значение целевой функции до вычислений, «Результат» указывается значение

18

целевой функции после вычислений. Вторая таблица (изменяемые ячейки) содержит сведения о значениях искомых переменных до и после решения задачи. Третья таблица (ограничения) показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий. Здесь, в графе «Формула», приведены зависимости, которые были введены в диалоговом окне «Поиск решения»); в графе «Разница» показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе «Состояние» указывается связанное; при неполном использовании ресурса в этой графе указывается не связан.

Рис. 6. Отчет по результатам

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц. В первой (изменяемые ячейки) приводятся следующие значения для переменных: результат решения задачи; редуцированная стоимость, то есть дополнительные двойственные переменные vj, которые показывают, насколько изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение; коэффициенты целевой

функции; предельные значения приращения коэффициентов cj целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение. Во второй таблице (ограничения) приводятся аналогичные значения для ограни-

19