Методическое пособие 612

и потоковых EF (рис. 1.15, б) Vf E f (t) переменных. Здесь Ep (t) и Ef (t) — произвольные функции.

Линейная модель управляемого источника может быть записана в общем виде

Принимая a1 0 , модель управляемого источника EFU

потоковой переменной будет иметь вид, показанный на рис. 1.16, а. При а2 = 0 получим модель"управляемого источника EPU потенциальной переменной (рис. 1.16, б). В роли информационной переменной может также выступать переменная любой ветви. Введенные понятия позволяют найти решение и модель цепи.

Решением цепи, или решением модели цепи, V будем называть значения совокупности переменных, действующих на связях компонентов K1,..., Kl цепи, т. е.

l ni

V( [IKj i ])

i1 j 1

Внастоящей работе используется следующее правило установления порядка переменных в векторе (одномерном массиве) V:

Рис. Рис.

на основе узлового топологического закона равенства одноименных потенциальных переменных потенциальные переменные связей заменяются узловыми потенциальными переменными;

потенциальные переменные информационных и элементарных связей получают в V индексы соответствующих узлов;

потоковые переменные элементарных связей получают индексы соответствующих ветвей из списка С (См);

потоковые и потенциальные переменные векторных связей нумеруются в соответствии с установленным порядком типов переменных V1, ..., VQ. Первая потоковая (потенциальная) переменная получает индекс ветки (узла). Последующие типы переменных нумеруют последовательно для каждого типа числами натурального ряда, начиная с Smax Ymax 1, где Smax - максимальный номер ветви; Ymax — максимальный номер узла в С (См). Порядок переменных устанавливают с помощью номеров ветвей для потоковых и номеров узлов для потенциальных переменных.

Очевидно, что модель цепи можно рассматривать как совокупность моделей компонентов, в которых индексы переменных связей заменены на индексы соответствующих переменных из решения цепи V, и узловых топологических законов равенства нулю суммы одноименных потоковых переменных, т. е. линейных алгебраических уравнений.

Задача автоматизированного моделирования заключается в построении математической модели М [См] цепи См по заданному списковому представлению С [См] и поиске решения V этой модели.

1.2. Классификация моделей компонентов и цепей

Основой любой классификации [6] является деление механических систем на одномерные (поступательные и вращательные) и многомерные. Многомерные системы могут содержать низшие и высшие кинематические пары. Более подробная классификация учитывает число степеней свободы, предоставляемых кинематическими парами в относительном движении твердых тел. Кинематические пары делятся на од- но-, двух-, трех-, четырех - и пятиподвижные [17].

На основе принципов классификации механических систем вводится классификация механических цепейи и их компонентов.

Будем полагать, что компоненты механических цепей классифицируются на основе физических, топологических и математических признаков. Физические признаки определяют внутренние свойства компонентов или характеристики переменных связей. Выделяются инерционные и безынерционные, информационные и энергетические, непрерывные и дискретные компоненты. Признаки переменных связей характеризуют: тип движения (поступательное, вращательное, смешанное); зависимость от времени; амплитуду изменения. К физическим относятся также признаки, определяющие режимы работы (кинематический, статический, динамический) компонентов и цепей.

Топологические признаки: число и ориентация связей, типы связей (информационные, элементарные, векторные)— определяют графическое представление компонентов и механических цепей.

Математические признаки связаны с характером уравнений математических моделей. Можно отметить линейные, нелинейные и дифференциальные уравнения. Линейные модели инерционных компонентов (во временной форме) содержат производные по времени (линейные дифференциальные

уравнения). На основе преобразования Лапласа такие модели могут быть представлены в частотной форме, т. е. в виде линейных алгебраических уравнений относительно действительных и мнимых составляющих переменных.

Введем следующие обозначения признаков: K —кине- матический режим; S — статический режим; D — динамический режим; R — вращательное движение; Р — поступательное движение; — инерционность; V — векторные связи; Е — элементарные связи; I — информационные связи; Т— зависимость от времени; — зависимость от частоты; L

— линейность.

Далее надчерк будет означать отсутствие признака. Класс цепи задается совокупностью признаков. Так, на-

пример, ELDP — линейная динамическая цепь поступательного движения, компоненты которой имеют элементарные связи, a VNDPR — нелинейная динамическая цепь с векторными связями компонентов, участвующих в поступательном и вращательном движении.

Введенную классификацию можно проиллюстрировать с помощью рис. 1.17. Тип движения твердых тел определяется параметром NSV, а подвижность цепи — параметром NSe

(число степеней свободы кинематических узлов).

23

В трехмерных поступательных цепях твердые тела имеют три поступательные степени свободы. В трехмерных вращательных механических цепях, например гироскопических, поступательным движением твердых тел обычно пренебрегают, поэтому векторным связям компонентов такой цепи соответствует только угловая скорость со и момент силы М. Каждая векторная связь может быть представлена эквивалентно тремя элементарными связями, соответствующими проекциям вращательного движения на оси, связанной с телом системы координат.

В трехмерных механических цепях с плоским движением твердые тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером могут служить шарнирно-рычажные механизмы.

Рис. 1.19

Векторные связи компонентов — линейные скорости vx, vy и силы Fх, Fy, а также угловая скорость z и момент силы

Mz.

В пространственных цепях твердые тела могут иметь до шести степеней свободы. Векторным связям соответствуют переменные vx, vy, vz, х, y , z , Fx, Fy, Fz, Мх, M y , Мz.

Наиболее общим режимом работы механических цепей является динамический режим. Модель динамической цепи М. [См] включает в себя уравнения

( M[TYl ])},

l

т. е. модели твердых тел, кинематических узлов, динамических компонентов и топологических узлов.

В статическом режиме изучаются законы равновесия системы тел. Задача моделирования статических механических цепей См возникает при расчете ферм, строительных конструкций и т. д. В моделях компонентов статических цепей не учитываются инерционные свойства (признак 0), а также потенциальные переменные, т. е. скорости. Модель статической цепи (рис. 1.20) имеет вид

( M[TYl ])} ,

l

т. е. включает в себя модели твердых тел и кинематических узлов в статическом режиме, топологических узлов и источников потоковых переменных (сил и моментов сил) Ef. В кинематическом режиме не учитываются инерционность компонентов и потоковые переменные (силы и моменты сил) (рис. 1.21). Определяются линейные и угловые скорости. Мо-

дель кинематической цепи CMK имеет вид

т. е. включает в себя модели твердых тел и кинематических узлов в кинематическом режиме и источников потенциальных (линейных и угловых скоростей).

Рис.1.22

Р

Рис. 1.23

Необходимость учета частных режимов (статического и кинематического) при автоматизированном моделировании механических цепей связана с упрощением математической модели цепи в этих режимах и соответственно с сокращением затрат машинного времени на моделирование.

1.3. Примеры механических цепей различных классов

Рассмотрим ряд конкретных примеров построения механических цепей и их моделей. В примерах будем использовать обозначения компонентов, которые приняты в системе автоматизации моделирования МАРС.

Элементарные механические цепи. Допустим, что все связи компонентов элементарной цепи — элементарные. Процедура построения графа Г (См) механической цепи, соответствующей исследуемой механической системе, включает в себя следующие основные этапы:

выделение составляющих цепь компонентов; выделение узлов общей скорости (топологических узлов), т. е. общих точек связей компонентов; соединение твердых тел, находящихся в относительном движении, при помощи кинема-

тических узлов; присоединение к кинематическим узлам динамических компонентов — упругости, трения, люфтов, и т.д.; нумерацию узлов и ветвей.

На основе графа Г (См) строим списковое описание

цепи.

Пример 1.1. На рис. 1.22, а приведено схематическое изображение механической системы, состоящей из двух сцепленных платформ и упругого закрепленного на одной из них груза. При моделировании необходимо учесть эффекты трения качения платформы и трения скольжения груза, а

также упругость крепления груза и упругость сцепки платформ.

На рис. 1.22, б показана соответствующая механическая цепь. Трение качения и трение скольжения вводятся в цепь с помощью односвязного компонента RM, присоединенного к кинематическому Y1-узлу. Этот узел находится между двумя движущимися массами. Сила трения в компоненте RМ пропорциональна относительной скорости движения массивных тел.

В механической цепи использованы следующие обозначения компонентов: 1М1 — масса первой платформы; IM2— масса груза; 1М3 — масса второй платформы; SPR3 , SPR3 —

упругости канатов крепления; SPR3 — упругость сцепки;

RM1 — трение скольжения; RM2, RM3 — трение качения; DMPF — компонент с двумя связями, отражающий трение в сцепке; EF — источник внешнего усилия.

Список С (См) для рис. 1.22, б после нумерации узлов и ветвей (номер дан в скобках) может быть записан следующим образом:

IM, M1, —3,2;

IM, M2, —6,1;

IM, МЗ, —11,5;

YI, —4,4,4,2,1,3;

Y1,—7, 7, 7, 1, 0,

8;

Y1,—12, 12, 12, 5, 0, 6; SPR , К1, —1, 1, 1,2; SPR, K2, —1, 2, 2, 1; DMPF, R1, —9, 9, 1,5; RM, R2, —8, 4;

RM, R3, —13, 6;

EF, F1, —14, 1.

Здесь буквами М, К и R обозначены параметры соответственно массы, упругости и трения; F1 — значение прило-

женной силы.

Рассмотрим соответствующую математическую модель. Уравнения инерционных компонентов:

M [IM1 ] {M1 d 2 dt F3};

Уравнения кинематических узлов:

Уравнения динамических компонентов:

31

Уравнения узловых топологических законов:

Модель цепи характеризуется группой признаков

LDT P.

Для отображения процессов преобразования вращательного движения в поступательное и наоборот будут использоваться преобразователи мощности без потерь (трансформаторы и гираторы). Для отображения нелинейных эффектов используются люфт и трение без смазочного материала.

Пример 1.2. Маховик радиуса R и массы m1 связан с помощью безынерционного шатуна АВ с ползуном массы m2 а,

который воздействует на безынерционный поршень со штоком и пружиной. К валу маховика приложен источник момента вращения (Мвр) (рис. 1.23, а). Процедура построения

механической цепи слагается из тех же этапов, что и в предыдущем примере. Рассмотрим основные отличия.

Для преобразования координат поступательного и вращательного движения вводим преобразующий трансформатор с коэффициентом трансформации Т = R (1 — cosa), где R

— радиус маховика; а — угол поворота. Зазор между ползуном и поршнем отображается с помощью компонента LUFT. Механическая цепь, соответствующая рассматриваемому механизму, приведена на рис. 1.23, б. В нее входят следующие компоненты: EF — источник момента вращения; Y1 — кинематический узел для определения относительной скорости на концах вала; КМ — конечная жесткость приводного вала маховика; IM, — момент инерции маховика; IM2 — масса ползуна; SPR — пружина штока.

Список С (См) для нелинейной динамической цепи класса LD PR можно записать в виде

EF,F1, —1,1;

Рис. 1.24

1М, M1 , —3, 2;

IM, M2, —7, 4;

Y1, —2, 2, 2, 1, 2, 3; КМ, K1, — 4, 3; TR, Т, — 5, 6, 2, 4;

SPR, K2, — 9, 9, 5, О;

33

Пример 1.3. Рассмотрим особенности механических цепей, в которых имеют место преобразования энергии, например, механической в электрическую или гидравлической в механическую. На рис. 1.24, а приведено схематическое изображение гидронасоса с электромеханическим приводом и системой регулирования объемного расхода на выходе насоса. На рис. 1.24, б приведен граф Г (См) . В состав механической цепи входят компоненты с элементарными и информационными связями, а также согласующие компоненты. Приведем уравнения моделей компонентов. Индексы у переменных в уравнениях моделей соответствуют номерам ветвей и узлов цепи.

Электромеханический привод ЕМР играет роль согласующего компонента. Его первая связь является информационной с управляющей переменной V8, имеющей смысл напряжения или тока в обмотке управления привода, а вторая связь — элементарной с переменными 5 , M9 . Модель ЕМР

имеет вид

5 1 H VN 8 0 ,

где Н — постоянная электромеханической связи.

Рычаг RCH — компонент, обладающий двумя элементарными связями. В одной из них действуют переменные

где Т — коэффициент трансформации рычага. Источник давления ЕР является односвязным компо-

нентом с переменными Р и Q (давление и расход) и моделью Р1 = ЕР, где ЕР — амплитуда источника.

Инерционность IM моделирует массу сердечника, яв-

параметр инерционности.

Гидроцилиндр GC — компонент с тремя связями, две из которых гидравлические, а третья — механическая. Гидравлическим связям соответствуют давление Р и расход Q, механической — линейная скорость перемещения штока v и усилие в нем F. Уравнения идеального гидроцилиндра с учетом индексов переменных в его связях имеют вид

где S — рабочая площадь поршня.

Гидроклапаны GK1,GK2 на связях гидроцилиндра выде-

лены в отдельные компоненты. Каждый из этих компонентов имеет по две элементарные гидравлические связи с переменными Р и Q. Одна из моделей гидроклапана задается уравнением

где KG — эмпирический коэффициент.

Расходомер QM является согласующим компонентом с одной информационной и одной элементарной связями. Элементарная связь соединена с гидроклапаном GK2, а информационная — с управляющей системой. Уравнение расходомера записывается следующим образом:

dVN 7 dt Q10 0 ,

35

где VN 7 , — объем жидкости.

Управляющую систему KZ для простоты представим одним колебательным звеном KZ, которое является компонентом с тремя информационными связями, характеризующимися соотношениями вида

K1 dVN 9 dt K 2VN 9 K 3VN 8 K 4VN 7 ; dVN 8 dt VN 9 .

Узловые топологические законы:

Q2 Q3 0;Q5 Q10 0.

Узлы 7 и 8 инцидентны информационным связям.

Пример 1.4. В качестве примера механической цепи с векторными связями рассмотрим плоские механизмы. Звенья плоского механизма могут иметь три степени свободы — две поступательные в плоскости механизма и одну вращательную. Связи твердых тел описываются векторами силы

тельных кинематических пар могут использоваться и поступательные, движение которых приводит к изменению координат внешних точек твердых тел, то в число переменных

Схематическое изображение робота приведено на рис. 1.25, а.

37

Манипулятор робота представляет собой плоский механизм, состоящий из шарниров (кинематических узлов вращения) и звеньев (твердых тел). Граф Г (См) робота с векторными связями компонентов приведен на рис. 1.25, б, а граф эквивалентной механической цепи с элементарными связями — на рис. 1.25, в. Каждый из кинематических узлов представляет собой одну степень свободы в относительном движении твердых тел.

Допустим, что необходимо исследовать кинематический режим. В этом случае из рассмотрения исключают потоковые переменные связей — силы и моменты сил. Упрощают модели твердого тела и кинематического узла вращения. С учетом режима можно построить модель цепи (рис. 1.25, в):

В уравнениях КУ переменная V7 соответствует углу поворота TT2 относительно TT1

Приводы представлены кинематическими источниками скорости

где EV (t) — заданная функция от t.

К уравнениям модели цепи необходимо добавить источник нулевой скорости EV:

M [EV ] { 0 0}.