Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 692

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

4.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

2.1.2. Матричная форма уравнения преобразования координат точек звеньев

Матрица порядка (m n) есть система чисел (элементов), расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов

a11 ,a12 ,........,a1n

Aa21 ,a22 ,........,a2n

........................

an1 ,an2 ,........,ann

Если m=n, то матрица называется квадратной порядка. Уравнения (2.1), (2.2) и (2.3) запишем в матричной фор-

ме. Коэффициенты правой части дают матрицу порядка (2 3). Удобнее использовать матрицы квадратные, поэтому к каждым двум уравнениям добавим тождество 1 1, получим квадратные матрицы третьего порядка.

Составим матрицу перехода из системы х3у3 в систему

х2у2.

	cos	32	sin	32	2
T32	sin	32	cos	32	0
	0		0		1

Запишем матрицу перехода Т21.

cos 21

T21 sin 21

Матрицу перехода Т10.

sin cos 0

21 1

210

cos

T10 sin 0

sin cos 0

Левые части уравнений (2.1), (2.2) и (2.3) с добавлением тождества I 1 дают столбцевые матрицы третьего порядка:

		xE	2					xE						xE	0			xE
			2					1							0			3
rE	2	yE	2	rE				yE		rE		0		yE	0	rE	3	yE	3
	2		2		1			1				0			0		3		3
		1						1						1				1
Радиус-вектор rE известен,												т.к. известны координаты хЕ3
				3
и yЕ3.
Чтобы найти значение rE										,rE		,rE		необходимо:
									2	1			0
				rE2				T32		rE3									(2.4)
					rE			T21		rE	2								(2.5)
					1						2
					rE	0		T10		rE									(2.6)
						0					1
Подставим уравнения (2.4) и (2.5) в уравнение (2.6), по-
дучим
				rE	0		T10		T21			T32		rE		3
					0											3

Это уравнение позволяет определить положение т. Е3 в системе координат х0у0. Для этого необходимо перемножить

матрицы T10 и Т21, а затем (T10Т21)T32 и столбцевую rE3 .

cos

T10T21 sin

sin cos

0cos

0sin

sin cos

21 1

210

a11	cos 10 cos		21		sin		10 sin 21		cos(	10	21 )	cos	20
a12	cos	10 sin	21			sin	10 cos	21	sin(		10	21 )	sin 20
a13	1 cos	10
a21	sin 10 cos		21		cos		10 sin	21	sin	20
a22	sin	10 sin	21			cos	10 cos	21	cos 20
a23	1 sin	10
				cos		20	sin	20	1 cos		20
				cos		20	sin	20	1 cos		20
	T10T21			sin		20	cos	20	1 sin		20		(2.7)
					0		0			1

Матрицу (2.7) умножаем на матрицу T32 и столбцевую матрицу rE3 :

xE3 rE3 yE3

Получим:

xE	0	xE	3	cos
yE	0	xE	3	sin

30 yE3 sin

30	yE	cos
		3

30	2 cos	20	1 cos	10	(2.7)
	2 sin		1 sin		(2.7)
30	2 sin	20	1 sin	10

Уравнения (2.8) можно было бы получить, решая уравнения (2.1), (2.2) и (2.3), но вычисления заняли бы больше времени. Матричная форма записи и решения уравнений удобнее. Для решения таких уравнений существуют стандартные программы, используемые на ЭВМ.

Уравнение (2.8), определяющее положение точки E3 относительно х0у0, можно получить и иным способом, а именно – составить уравнение проекции контура 010203E3 в системе х0у0.

Однако метод проекций получается сложнее метода преобразования координат для пространственных механизмов.

2.1.3. Определение положений, скоростей и ускорений звеньев пространственных механизмов

При кинематическом анализе механизмов по заданному закону движения ведущих звеньев определяем положение, скорость и ускорение ведомых звеньев механизма. Ведомые звенья являются исполнительными в машине, поэтому знание выше названных параметров совершенно необходимо при эксплуатации машин и механизмов.

Токарный станок. Для чего здесь необходимо знать скорости ведомых звеньев? Скорость является одним из главных факторов выбора оптимального режима резания. От скорости резания зависит чистота обработки поверхностей. Скорость надо знать.

Знание ускорений необходимо для определения сил инерции, возникающих в механизмах. С учетом сил инерции ведется силовой и прочностной расчет механизма.

Задачу определения положений, скоростей и ускорений ведомого звена рассмотрим на примере пространственного кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.2).

Степень свободы данного механизма равна единице, W=1, т.е. задана одна обобщенная координата, это угол поворота кривошипа АВ, 10. Угол 10 задается как функция времени.

Удобно перемещение звеньев механизма рассматривать относительно неподвижной системы координат. Неподвижную систему координат связываем со стойкой механизма. Ось x0 неподвижной системы направим параллельно линии движения ползуна, ось у0 будет направлена перпендикулярно лини движения ползуна. Причем плоскость х0Ау0 выбирается еще и так, чтобы кривошип АВ лежал в этой плоскости. Ось z0 направим по оси вращения кривошипа.

Рис. 2.2

Обозначим координату точки С по оси у0 через l3, а по оси z0 через l0. Текущее значение перемещения точки С будет определяться одной переменной координатой x0C по оси х0.

Выберем еще две подвижные системы координат. Одну свяжем с кривошипом, вторую с шатуном. С шатуном свяжем систему x2y2z2, где x2 направим по шатуну ВС, z2 – по оси пальца шатуна, y2 перпендикулярно плоскости x2Вz2. Такой выбор системы координат позволяет определить положение т. С в системе x2y2z2 одной координатой, а именно:

x2	2
y2	0	(2.9)
z2	0
Чтобы выразить перемещение ползуна		х0С через обоб-

щенную координату 10, подвижную систему x1y1z1, свяжем с кривошипом АВ так: ось z будет параллельна оси z0, ось y1 окажется в 1 плоскости x0Аy0, а x1 направим по кривошипу АВ.

	Углы между осями x2 и x1 обозначим через 21, а между z2
и z1	– через 21. Последовательным переходом из системы
x2y2z2	в систему x1y1z1 и в систему x0y0z0 решаем задачу нахож-

дения положения ползуна в неподвижной системе координат. Опишем положение ползуна в системе x1y1z1.

x1C

x2 cos

y1C

x2 sin

21 cos

(2.10)

z1C

x2 sin

21 cos

Найденные координаты точки С в системе x1y1z1, спроек-

тируем на оси неподвижной системы x0y0z0.

x0C

x1C cos

y1C sin 10

1 cos

2 cos

10 cos

2 sin

10 sin

21 cos

1 cos

(2.11)

y1C

x1C sin

y1C cos 10

1 sin

2 cos

21 sin

2 sin

21 cos

10 cos

1 sin

z0C

z1C

2 sin

21 sin

Выше

отмечено, что

y0C

const,

z0C

const,

подставив эти значения в систему (2.11) получим:

x0C

2 cos

10 cos

2 sin

10 sin

21 cos

1 cos

2 cos

10 sin

2 sin

10 cos

21 cos 21

1 sin

(2.12)

2 sin

21 cos

Система (2.12) содержит три уравнения и три неизвест-

ных:

X0C,

21,

21.

Из второго и третьего уравнений системы (2.12) опреде-

ляем углы

21 и

21, подставляя их в первое уравнение, находим

X0С, т.е. координату положения ползуна.

Если механизм будет плоским, 20=0, т.к. оси z1z2z3 параллельны. В этом случае ползун будет двигаться в плоскости кривошипа. Система уравнений для определения положения ползуна примет вид:

x0C	2 cos	10 cos	21	2 sin	10 sin	21	1 cos	10	(2.13)
3	2 cos	10 sin		2 sin	10 cos		1 sin
			21			21		10
Два уравнения с двумя неизвестными. Из второго уравне-
ния определяем		21, подставив его в первое уравнение, опреде-

лим положение ползуна в зависимости от обобщенной координаты 10 и размеров звеньев механизма l1, l2, l3.

Для определения скорости и ускорения перемещения ползуна необходимо систему уравнений (2.12) продифференцировать по времени.

Первое дифференцирование системы (2.12) дает возможность получить систему линейных уравнений для определения скорости перемещения ползуна.

Из третьего и второго уравнения полученной системы (2.14) находим 21 и 21, подставив их в первое уравнение, получим возможность определить скорость перемещения ползуна xOC в зависимости от угла поворота 10 кривошипа и угловой

скорости 10 кривошипа. Повторное дифференцирование уравнений системы (2.12) позволяет определить ускорение xOC ползуна.

x0C			21 2 sin 21 cos							10	10 2 cos				21 sin		10
21 2 cos					21 sin		10 cos			21		21 2 sin			21 sin		10 sin			21

10 2 sin				21 cos			10 cos			21		10 1 sin			10
	21 2 sin				21 cos			10		cos	21 sin		10 cos			21
			cos			sin			sin			cos		cos				1	sin
		2	cos		21	sin		10	sin		21	cos	10	cos		21			sin	10
10		2			21			10			21		10			21		2		10
21		2 sin		21 sin			10 sin											2
21		2 sin		21 sin			10 sin			21

0	21 2 sin				21 sin			10		10 2 cos			21 cos			10		10 sin
21 2 cos					21 cos			10 cos 21				21 2 sin			21 cos			10 sin		21

10 2 sin				21 sin			10 cos			21	10 1 cos				10
	21 2 sin				21 sin			10		cos	21 cos		10 cos			21
			cos			cos				sin		sin		cos				1	cos
		2	cos		21	cos		10		sin	21	sin	10	cos		21			cos	10
10		2			21			10			21		10			21		2		10
21		2 sin		21 cos			10 sin											2
21		2 sin		21 cos			10 sin			21

0 21 2 cos					21 sin			21		21 2 sin 21 cos					21					(2.14)

2.1.4.Графическое определение положений звеньев механизма

ипостроение траектории

Для решения поставленной задачи должны быть заданы кинематическая схема механизма и закон движения ведущего (начального) звена.

Для определения положений звеньев механизма кинематическая схема выполняется в масштабе. Для этого выбирается масштабный коэффициент l (м/мм), который показывает, сколько метров натуры содержится в одном мм чертежа.

Пусть задана схема механизма 2-го класса (рис. 2.3). Известны размеры звеньев механизма lAB, lBC, lCD, lAD и закон движения ведущего звена. Механизм имеет ведущее звено АВ.

	2		C
	2
B		3
		3
1
А			D

Рис. 2.3

Построение начинается с определения положения неподвижных точек механизма А и Д (lAD). Затем описываем окружность радиусом lAB и вторую – радиусом lCD (рис. 2.4).

		S1		C		C1
	S					C1
	S					C2
	B1					C2
B	B1		S2
B			S2
	B2
А	S’				D

C’

Рис. 2.4

Выбрав положение звена АВ, определяемое значением обобщенной координаты 1, находим методом засечек положение остальных звеньев ВС и СD.

Точно также можно найти ряд других положений механизма. Будем считать 1=const, тогда откладывая равные углы от положения кривошипа АВ, найдем положение механизма

АВ1С1D и т.д. Затем строим траекторию точки S, лежащей на звене ВС.

При построения положений звеньев механизма при одном положении звена АВ звенья ВС и СD могут занимать два положения ВС и СD или ВСи CD. Это разные механизмы, здесь проявляет себя свойство – условие сборки.

Внашем случае допустим только первый вариант ВСD, т.к. при этом сохраняется требуемое направление угловой скорости звена СD – по часовой стрелке.

Второй вариант – В1С1D – это уже другой механизм, т.к. СD вращается против часовой стрелки.

2.1.5.Определение скоростей и ускорений точек звеньев методом планов

Втакой задаче исходными данными являются: кинематическая схема механизма (рис. 17.3), закон движения ведущего звена, размеры звеньев механизма.

Дано: 1=const, размеры lAB, lBC, lCD, lAD, lBK, lKC.

Определить скорость точки К.

Схема механизма выполняется в масштабе.

W=1

Рис. 2.5

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20224.34 Mб37Методическое пособие 688.pdf
#
30.04.20224.35 Mб5Методическое пособие 689.pdf
#
30.04.2022343.72 Кб8Методическое пособие 69.pdf
#
30.04.20224.37 Mб4Методическое пособие 690.pdf
#
30.04.20224.4 Mб3Методическое пособие 691.pdf
#
30.04.20224.42 Mб4Методическое пособие 692.pdf
#
30.04.20224.44 Mб7Методическое пособие 693.pdf
#
30.04.20224.51 Mб4Методическое пособие 694.pdf
#
30.04.20224.68 Mб24Методическое пособие 695.pdf
#
30.04.20224.73 Mб25Методическое пособие 696.pdf
#
30.04.20224.87 Mб4Методическое пособие 697.pdf