Методическое пособие 768

где f – результирующая всех сил, приложенных к объему.

Рис. 3.3. Движение течения в пограничном слое

Жидкость втекает в выделенный неподвижный объем через левую и верхнюю грани и вытекает через правую, в результате чего устанавливается некоторый баланс в обмене количеством движения.

Вычислим количество движения, поступающее в выделенный объем через грань AB. Через элементарную полоску этой грани с основанием dy и вы-

Вычислим далее количество движения, поступающее в выбранный объем через верхнюю грань BC . Пусть скорость потока на верхней границе слоя равна U . Масса m жидкости, поступающей с этой скоростью в пограничный слой извне, равна разности масс, поступившей внутрь объема ABCD через грань AB и вытекшей через грань CD, т.е.

50

Количество движения, поступающего через грань BC , равно

и левая часть уравнения (3.8) принимает вид

Рассмотрим теперь силы, действующие на выделенный объем. Внешние объемные силы (например, силы тяжести) в пограничном слое намного слабее силы трения, поэтому будем ими пренебрегать. Чтобы определить проекцию действующих сил на ось x, нужно учесть: силу давления на грань AB, равную p ; силу давления на грань CD, равную p p , где p – прираще-

ние давления от грани AB до грани CD, а – приращение толщины пограничного слоя от грани AB до грани CD; силу давления на грань BC, равную p и силу трения, равную x, где – сила трения на единицу площади обтекаемой поверхности. Суммируя эти силы, получим

fx p p p p x p x.

Подставляя полученные величины в уравнение импульсов (3.8), разделив на x и переходя к пределу при x 0, имеем

Уравнение (3.9) называется уравнением импульсов или интегральным соотношением Кармана (1921) для плоского установившегося течения в пограничным слое.

Если выразить с помощью уравнения Бернулли продольный градиент

давления dp через распределение скоростей U во внешнем невозмущенном dx

потоке, т.е.

dp U dU , dx dx

то уравнение Кармана перепишется в виде

51

При выводе уравнения импульсов (3.9) мы не делали никаких предположений относительно природы касательного напряжения τ, поэтому оно в одинаковой степени применимо как к ламинарному, так и к турбулентному пограничному слою.

В уравнении импульсов предполагается известным распределение скоро-

стей во внешнем потоке, т.е. величины U и dU .Они могут быть определены dx

методами гидродинамики идеальной жидкости или опытным путем в результате измерения распределения давления на поверхности обтекаемого тела. Поэтому для определения наиболее важных для практики характеристик пограничного слоя – его толщины и касательного напряжения на стенке необходимо задаваться распределением скоростей в слое. То обстоятельство, что скорость vx внутри слоя входит в уравнение импульсов под знаком интеграла, уменьшает погрешность расчета и позволяет пользоваться приближенными законами распределения скорости.

3.2.2. Условные толщины пограничного слоя

Приведем еще одну форму записи уравнения импульсов, получаемую путем тождественных преобразований. Так как

то уравнение (3.9) может быть представлено в виде

Объединяя в последнем выражении члены, содержащие производные от интегралов, получим

Интеграл во втором слагаемом левой части уравнения (3.11) представляет собой разность между расходами жидкости в пограничном слое, если бы скорость во всем его сечении не уменьшалась вследствие вязкости, а оставалась

52

равной U , и действительным расходом (рис. 3.4). Таким образом, этот интеграл представляет собой уменьшение расхода в пограничном слое вследствие вязкости. Графически он изображен площадью с перекрестной штриховкой на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Интеграл уравнения

Разделив этот интеграл на величину скорости U , получим некоторый

размер *, равный толщине слоя, через который протекал бы недостающий расход:

На расстояние * оттесняются от поверхности тела линии тока невозму-

щенного течения вследствие торможения в пограничном слое. Поэтому * носит название толщины вытеснения.

Аналогично интеграл в первом слагаемом левой части уравнения (3.11) можно рассматривать как уменьшение количества движения жидкости, протекающей через пограничный слой, или потерю импульса. Разделив этот интеграл

на U2 , получим линейную величину **, называемую толщиной потери импульса:

Вводя величины * и ** в уравнение (3.11), получим

53

или, выполнив дифференцирование и разделив на U2,

Вэтой форме записи уравнения импульсов неизвестными являются *,

** и .

3.2.3. Ламинарный пограничный слой на плоской пластинке

При продольном обтекании тонкой плоской пластинки скорость внешне-

го потока не меняется по длине x, члены U dU в уравнениях Прандтля (3.2) и dx

U dU в уравнении Кармана (3.10) равны нулю. Поэтому основные параметры dx

пограничного слоя на плоской пластинке определяются наиболее просто. Результаты этого расчета часто используются для приблизительного определения параметров пограничного слоя различных удобообтекаемых тел, например, тонких крыльев.

Применим для расчета пограничного слоя на плоской пластинке уравнение импульсов (3.10). Будем считать жидкость несжимаемой. Если постоянная скорость внешнего потока равна v , то уравнение импульсов приобретает вид

или

Наиболее простой способ задания скорости в ламинарном пограничном слое – это представление vx в виде степенного ряда по степеням y

vx a0 x a1 x y a2 x y2 ...

54

Коэффициенты этого ряда a0 x , a1 x ,... можно определить из гранич-

ных условий (3.3)-(3.7), которым должна удовлетворять скорость vx и ее производные на границах слоя. Эти условия таковы

vx a0 a1y. Предположение о линейном распределении скоростей по толщине пограничного слоя является, конечно, очень грубым приближением, но мы убедимся ниже, что даже такое приближение дает удовлетворительные результаты. Используя первые два из граничных условий (3.15), получим

a0 0,a1 v ,

т.е.

vx v y.

Касательное напряжение на поверхности пластинки определяется по закону Ньютона, т.е.

dvx dy y 0 .

В данном случае имеем

v .

Для определения толщины пограничного слоя подставим полученные величины в уравнение импульсов (3.13). Для этого вычислим входящие в него интегралы:

Подставляя эти величины в уравнение (3.13), имеем

55

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в виде

d 6 dx. v

Интегрируя это уравнение, получаем

2 12 x C . v

Постоянную интегрирования находим из условия на передней кромке

где Rex v x – местное число Рейнольдса.

Касательное напряжение получается равным

Полученные формулы для и τ отличаются от точных формул, являющихся результатом более сложного решения уравнений Прандтля (3.1), только числовыми коэффициентами. Точные решения имеют вид:

56

В точном решении за толщину пограничного слоя принималось такое расстояние, от стенки, где скорость отличается всего на 1 % от скорости невозмущенного потока. Величины и могут быть вычислены гораздо точнее, если не ограничиваться двумя слагаемыми в разложении vx по степеням y , а взять три или четыре слагаемых. Результаты решения в этом случае быстро сходятся к точным формулам (3.16) и (3.17).

Решение для пластинки показывает, что в ламинарном пограничном слое его толщина нарастает по длине пластинки по параболическому закону, а

напряжения трения обратно пропорционально x (рис. 3.5). Этот закон при x 0 дает ; в действительности напряжение трения у входной кромки не может возрастать безгранично, так как у реальной пластинки (а не бесконечно тонкой) происходит торможение у входной кромки из-за ее конечной толщины

vx x 0 0. Следовательно, в передней критической точке и x x 0 0. Поэтому

действительное распределение касательных напряжений на поверхности пластинки будет таким, как показано на рис. 3.5 пунктирной линией. Величина участка, к которому не применима формула (3.17), зависит от степени заостренности входной кромки пластинки.

Рис. 3.5. Распределение касательных напряжений на поверхности пластинки

Определим полную силу трения на поверхности пластинки длиной l и шириной b при ламинарном обтекании. Используя выражение (3.17), получим, что сила трения на одной из сторон пластинки равна

Сравнивая полученный результат с общей формулой для определения гидродинамических сил (3.7), которая для сил трения может быть записана в виде

57

Следовательно, коэффициент сопротивления Cтр для ламинарного слоя на пластинке равен

1,328

Cтр.л. . (3.18)

Rel

3.2.4. Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке

Применим уравнение импульсов (3.13) для расчета турбулентного пограничного слоя на пластинке. Для этого, как уже отмечалось выше, требуется задать хотя бы приближенно закон распределения скоростей поперек слоя и характер зависимости от U и . Наиболее просто эти дополнительные условия задаются, если считать распределение скоростей в турбулентном пограничном слое таким же, как и распределение скоростей по радиусу цилиндрической трубы.

Согласно опытным данным в трубе при достаточно больших числах Рейнольдса осредненная скорость пропорциональна расстоянию от стенки в степе-

1

ни . Поэтому будем считать, что

7

Также из экспериментов с трубами следует, что зависимость касательного напряжения трения от U и имеет вид

Подставляя выражение (3.19) в уравнение импульсов на плоской пластинке (3.13), вычислим входящие в него интегралы:

58

2

С использованием полученных выражений и формулы (3.20) уравнение (3.13) приводится к виду

или

Интегрируя полученное уравнение с разделяющимися переменными, получим

Постоянную интегрирования C можно определить, если принять, что в критическом сечении, где ламинарный слой переходит в турбулентный, их толщины одинаковы, т.е. x xкр кр . Тогда начальное значение толщины тур-

булентного слоя можно определить с использованием теории ламинарного слоя

(3.16). Если же местные числа Рейнольдса Rel v l очень велики (порядка 107

и больше), то ламинарный участок у входной кромки пластинки занимает относительно небольшую часть ее длины. В этом случае можно пренебречь его вли-

янием на толщину слоя и считать x 0 0, откуда следует C 0; получаем формулу для расчета толщины турбулентного слоя на пластинке в виде

59