Учебное пособие 374
.pdfФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
211-2016
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу «Высшая математика» для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Воронеж 2016
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев |
|
|||
УДК 51 (075) |
|
|
|
|
Теория |
функций |
|
комплексного |
переменно: |
методические |
указания для |
организации самостоятельной |
||
работы по |
курсу«Высшая |
|
математика» для |
студентов |
направления |
20.01.03 |
«Техносферная |
безопасность» |
|
(направленности |
«Защита |
в |
чрезвычайных |
ситуациях», |
«Безопасность |
жизнедеятельности в техносфере», |
«Защита |
окружающей среды») очной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2016. 42 с.
Методические |
указания |
|
предназначены |
в |
качестве |
||
руководства |
для |
организации |
самостоятельной |
работы по |
|||
курсу "Высшая математика" |
по |
|
разделу «Теория |
функций |
|||
комплексного |
переменного» |
для |
студентов |
направления |
|||
20.01.03 «Техносферная безопасность» в 3 семестре. В работе |
|||||||
приведен |
теоретический |
|
материал, необходимый |
для |
|||
выполнения заданий и решение типовых примеров. |
|
|
|||||
Методические |
указания |
|
подготовлены в |
электронном |
|||
виде и содержатся в файле Vmfmm_TFKP _16.pdf. |
|
|
|||||
Ил. 1. Библиогр.: 7 назв. |
|
|
|
|
|
Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ÓФГБОУ ВО «Воронежский государственный
технический университет», 2016
I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Комплексные числа
Комплексным |
числом z называется пара действитель- |
ных чисел (x, y) , |
записанных в определенном порядке: |
z = (x, y ) . Одним из обозначений служит запись вида
(1)
называемая алгебраической формой записи комплексного числа z . В записи (1) x называется действительной, y – мнимой частями комплексного числа z (для этого употребляется также запись x = Re z , y = Im z ); i называется «мнимой единицей».
Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:
|
|
z = |
|
z |
|
|
(cos (arg z )+ i sin (arg z)). |
(2) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Здесь |
величина |
|
z |
|
= |
x 2 + y 2 называется |
модулем |
комплекс- |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||
ного |
числа; аргумент |
комплексного числа Arg z = arg z + 2pn, |
|||||||||||||||
(n = 0, ±1, ± 2,...) |
|
|
|
определяется |
из |
равенствcos (arg z) = |
|
x |
, |
||||||||
|
|
|
|
z |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (arg z ) = yz . Главное значение аргумента комплексного чис-
ла равно -p £ arg z £ p . Существует также показательная форма записи комплексного числа
z = |
|
z |
|
e i (arg z+2pn ) . |
(3) |
|
|
3
2.Вычисление корня, возведение
встепень, формулы Эйлера
Вычисление корня из комплексного числа:
wk = n |
z = n |
|
|
z |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
arg z + 2kp |
+ i sin |
arg z + 2kp ö |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
çcos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
, |
(4) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
||||
k = 0,1,..., n -1. |
Здесь |
|
|
z |
|
= |
|
|
|
|
|
x 2 + y 2 |
|
– |
|
модуль |
комплексного |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
числа z . Аргумент |
|
arg z |
|
комплексного числа z |
определяется |
|||||||||||||||||||||||||||||
из выражений cos(arg z) = |
|
x |
, |
sin(arg z) = |
|
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Возведение в степень. Формула Муавра |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z n = |
|
|
z |
|
n (cos nj + i sin nj) , |
|
j = arg z |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(cos j + i sin j)n = cos n j + i sin n j. |
|
|
|
(5) |
||||||||||||||||||||||||||||||
Формулы Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
eiz = cos z + i sin z, |
e-iz |
= cos z - i sin z, |
|
|
|
(6) |
||||||||||||||||||||||||||||
cos z = |
|
|
eiz |
+ e-iz |
, |
|
|
sin z = |
eiz |
|
- e-iz |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Связь основных элементарных функций |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
комплексного переменного |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
cos iz = ch z; |
|
|
|
|
sin iz = i sh z ; |
|
|
|
|
|
(8) |
||||||||||||||||||||||
|
ch iz = cos z; |
sh iz = i sin z; |
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||||||||||||||||||||
e z = ch z + sh z; |
e - z = ch z - sh z; |
|
|
|
(10) |
|||||||||||||||||||||||||||||
eiz |
= cos z + i sin z; |
e-iz = cos z - i sin z; |
|
|
|
(11) |
4
Ln z = ln |
|
z |
|
|
+ i (arg z + 2k p); |
|
|
|
(12) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Arcsin z = -i Ln (iz + |
1- z2 ), |
Arccos z = -i Ln (z + |
|
z2 -1); |
(13) |
|||||||||||||||||||||
Arctg z = - |
i |
Ln |
1 |
+ iz |
, |
Arcctg z = |
i |
Ln |
z - i |
; |
(14) |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Arsh z = Ln (z + |
|
|
|
|
1 |
- iz |
2 |
|
|
z + i |
|
|||||||||||||||
z2 +1), |
|
Arch z = Ln (z + |
z 2 -1 ); |
(15) |
||||||||||||||||||||||
Arth z = |
1 |
Ln |
1 |
+ z |
, |
Arcth z = |
1 |
Ln |
1 + z |
; |
(16) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
1 |
- z |
|
|
|
2 z -1 |
|
||||||||||||||||||
za = ea Ln z ; |
|
|
a z |
= ez Ln a |
|
|
|
(17) |
(a, z - комплексные числа).
4.Аналитические функции. Условия Коши–Римана
Определение. Функция f (z ) называется аналитической в
данной точке z Î D , |
если она |
дифференцируема |
как в самой |
||
точке z , так и в некоторой ее окрестности. |
|
||||
Теорема. |
Для |
того |
чтобы |
функцияf (z ) = u (x, y)+ |
|
+iv (x, y ) была |
дифференцируемой в |
точкеz , необходимо и |
|||
достаточно, чтобы функции u = u (x, y) |
и v = v (x, y ) |
были диф- |
ференцируемы в этой точке и выполнялись условия Коши– Римана
¶u |
= |
¶v |
; |
¶u |
= - |
¶v |
|
|
|
|
¶y |
¶x . |
(18) |
||||
¶x ¶y |
|
5
5. Интеграл по кривой и его вычисление
Пусть однозначная функция f (z ) = u (x, y) + i v (x, y ) опре-
делена и непрерывна в области D ; L – кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая кривая, лежащая в D . Тогда вычисление интеграла сводится к вычислению (обычных) криволинейных интегралов второго рода
ò f (z )dz = òu d x - vdy + i òvdx + u dy . |
(19) |
||
L |
L |
L |
|
6. Теорема Коши и интегральные формулы Коши
Теорема Коши. Если функция f (z ) аналитическая в много-
связной области D , ограниченной внешним контуром L и внутренними контурами g1,..., gk и непрерывна в замкнутой области
D , то
Ñò |
f (z )dz = 0 . |
(20) |
|
k |
|
|
|
L+ å gm |
|
|
|
m=1 |
|
|
|
Или в другой формулировке: |
|
|
|
|
k |
|
|
Ñò f (z )dz = å Ñòg |
f (z )dz . |
(21) |
|
L |
m=1 L m |
|
|
Интегральные формулы Коши. Если функция |
f (z ) анали- |
ти-ческая в D , z0 ÎD и gÌD – контур, охватывающий точку z0 , то
6
|
|
f (z0 |
)= |
1 |
|
|
f (z )dz |
, (z Î g). |
|
(22) |
|||||||||||
|
|
2pi Ñò |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z - z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом функция f (z ) |
имеет всюду в |
D производные |
|||||||||||||||||||
любого порядка, для которых справедливы формулы |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (n )(z0 )= |
n! |
|
|
f |
( |
z |
) |
dz |
|
. |
|
(23) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2pi Ñòg (z - z0 )n+1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
7. Ряды Лорана |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определение. Рядом Лорана называется ряд |
|
||||||||||||||||||||
¥ |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
å сn (z - a)n |
= å cn (z - a)n |
+ å cn (z - a )n ; |
(24) |
||||||||||||||||||
n =-¥ |
|
|
|
n =-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
||||||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом ряд |
å cn (z - a )n |
называется |
главной частью |
ряда |
|||||||||||||||||
|
|
n =-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лорана, а ряд å cn (z - a )n – правильной частью. |
|
||||||||||||||||||||
n =0 |
|
|
|
|
функция f (z ) |
|
|
||||||||||||||
Теорема |
Лорана. |
Если |
аналитическая в |
||||||||||||||||||
кольце 0 £ r < |
|
z - a |
|
< R , то в |
этом |
|
кольце |
она единственным |
|||||||||||||
|
|
|
образом представима в виде ряда Лорана, коэффициенты которого вычисляются по формулам:
с = 1 f (z )dz , (r < r < R ; n = 0, ±1, ± 2,...) . (25)
n |
2pi z-aò< r (z - a)n+1 |
|
При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций(символ z Î(z) означает, что ряд сходится во всех точках комплексной плоскости (z)):
7
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1) ez = å |
|
|
, z Î(z ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
n |
|
z |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2) cos z = å(-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
z Î(z ); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
(2n !) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
n |
|
z2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3) sin z = å(-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, z Î(z ); |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2n + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4) ln (1 + z ) = å(-1 n)-1 |
|
|
, |
|
z |
|
<1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5) (1 + z )a |
|
|
|
|
|
|
¥ |
a(a -1)...(a - n +1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=1 + å |
z n, |
|
z |
|
<1, |
aÎ R ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
n z2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
6) arctg z = å(-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
z |
<1 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7) |
|
|
= |
å(-1 n) zn , |
|
z |
|
<1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 + z |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
8) |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
(-1 n) |
-1 |
× |
|
d n-1 |
æ 1 ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
(26) |
|||||||
|
|
|
|
(1 + z )n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n -1)! dzn-1 |
è1 + z |
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Вычеты. Применение их |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к вычислению интегралов |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Определение 1. Точка |
|
|
z0 |
|
|
называется изолированной осо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бой |
точкой |
|
|
|
|
|
|
функцииf (z) , |
|
|
если |
существует окрестность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
z - z0 |
|
< d этой точки с исключенной точкой |
z0 , в которой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z) |
аналитическая, кроме самой точки z0 . |
|
8
Определение 2. Точка z0 называется устранимой особой
точкой, если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.
Определение 3. Точка z0 называется полюсом кратности n функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности этой точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является c-n (c-n ¹ 0) .
Определение 4. Точка z0 называется существенно особой точкой функции f (z) , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.
Определение 5. Вычетом функции f (z) относительно
точки z0 (обозначается |
res f (z) |
|
или res |
f (z) ) называется |
|||||||
число, равное |
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
res f |
( |
z |
= |
Ñò |
f |
( |
z dz |
(27) |
|||
2pi |
|||||||||||
|
0 |
) |
|
) |
, |
||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
где L – простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f (z) и содержащий внутри себя только од-
ну особую точку z0 .
В качестве L удобно брать окружность z - z0 = r доста-
точно малого радиуса r . Из определения следует, что вычет
функции f (z) совпадает с коэффициентом c-1 разложения ее в ряд Лорана по степеням z - z0 : res f (z) = c-1 . Отсюда следу-
ет, что вычет в правильной и устранимой особой точках равен нулю.
9
Вычет f (z) в простом полюсе равен
|
|
res f (z0 ) = lim ( f (z )(z - z0 )). |
|
|
|
|
(28) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
z®z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычет функции |
|
f (z ) |
в полюсе z0 порядка m равен |
|
|
|
||||||||||
res f (z |
0 |
)= |
|
1 |
|
lim |
d m-1 |
( |
f (z )(z - z |
0 |
)m |
) |
. |
(29) |
||
( |
) |
|
d z |
m-1 |
||||||||||||
|
|
|
z ®z |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
m -1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если z0 – существенно особая точка функции z0 , то для определения res f (z0 ) необходимо найти коэффициент c-1 в лора-
новском разложении функции f (z ) в окрестности точки z0 .
Теорема Коши о вычетах. Если функция f (z ) аналити-
ческая на границе L области D и внутри области, за исключением конечного числа изолированных особых точек z1, z2 ,..., zn , то
|
f |
|
z |
dz = 2pi |
n |
res f |
( |
z |
|
.) |
|
|
Ñò |
( |
å |
k |
(30) |
||||||||
|
|
) |
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
9.Вычисление некоторых действительных интегралов
спомощью вычетов
А) Если рациональная функция R (z )= |
P (z ) |
|
не имеет по- |
|
Q (z ) |
||||
|
|
люсов на вещественной оси и степень знаменателяQ (z ) , по крайней мере, на две единицы выше степени числителя P (z ) , то
¥ |
|
n |
|
|
P (x )d x = 2pi å res R (a k , ) |
(31) |
|
-ò¥ Q (x ) |
k =1 |
|
10