МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет» Кафедра прикладной математики и механики
АНАЛИЗ ДИНАМИКИ СЛОЖНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению курсовой работы по дисциплине «Математический анализ»
для студентов специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» всех форм обучения
Воронеж 2021
УДК 517(07)
ББК 22.161я7
Составители:
докт. техн. наук А. А. Хвостов, канд. физ.-мат. наук А. В. Ряжских, канд. физ.-мат. наук Е. А. Соболева
Анализ динамики сложных линейных систем: методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» всех форм обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; cост.: А. А. Хвостов, А. В. Ряжских, Е. А. Соболева. - Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. - 24 с.
Содержат комплекс заданий и методических рекомендаций к выполнению курсовой работы по дисциплине «Математический анализ». Выполнение предусмотренных заданий позволит студентам закрепить теоретические знания и приобрести необходимые практические навыки.
Предназначены для студентов специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» всех форм обучения.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле KR_RD_Math.pdf.
Ил. 6. Библиогр.: 5 назв.
УДК 517(07)
ББК 22.161я7
Рецензент - Т. И. Костина, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики и механики ВГТУ
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ВВЕДЕНИЕ
Цель методических указаний - научить студентов самостоятельно синтезировать систему интегро-дифференциальных уравнений, а также ее решать с помощью интегральное преобразования Лапласа.
Системный анализ процессов передачи информации является важнейшем элементом при изучении количественных соотношений в различных предметно-ориентированных областях науки
Методические указания составлены по программе дисциплины «Математический анализ» для студентов направления 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» Воронежского государственного технического университета.
Внастоящих указаниях предлагается разобранный типовой вариант с составлением системы уравнений на основе представленной схемы, используя понятия передаточной функции.
Вначале приводятся краткие сведения о преобразовании Лапласа, а также его свойства; характеризуются основные элементы с помощью соответствующих математических записей. Особое внимание уделяется синтезу модели, описывающую данную систему. В конце представлены набор схем и входных функций для составления индивидуального варианта
3
ТИПОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Будем рассматривать линейные цепи с постоянными и сосредоточенными параметрами математическая модель которых представляется неоднородными обыкновенными дифференциальными уравнениями n - го порядка с постоянными коэффициентами
|
|
|
a |
d n y(t ) |
+ a |
d n−1 y(t ) |
|
+... + a |
dy(t ) |
+ a y(t )= x(t ), |
||||||||||||||
|
|
|
|
dtn−1 |
dt |
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
dtn |
1 |
n−1 |
|
n |
|
|
|||||||||||||||
где |
a0 , a1, ..., an−1, an |
|
- константы, характеризующие функционирование |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
элемента во времени; |
x (t ), y(t ) |
- |
входная и выходная |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции из элемента цепи (рис.1); |
t - текущее время. |
|||||||||||||||
|
x (t ) |
|
|
|
y (t ) |
|
На практике ограничиваются уравнениями модели до 2- |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
го порядка включительно. Поэтому назовем элементы, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
которые |
описываются |
дифференциальными |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Рис. 1. Схематическое |
уравнениями |
не выше |
второго |
порядка (n ≤ 2), |
|||||||||||||||||||
|
изображение элемента |
типовыми элементами и проведем их классификацию: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
цепи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1) усилительный элемент: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
y(t )= k x(t ), где k > 0 - коэффициент усиления. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x (t ) |
|
|
|
|
|
y (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Рис. 2. Характеристика усилительного
элемента
2) интегрирующий элемент:
y(t )= ∫t k x(t )dt .
0
4
x (t ) |
y (t ) |
0 |
|
|
t |
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 3. Характеристика интегрирующего элемента |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
Пусть, например, k =1, |
x(t )=t , тогда y (t )= 0,5t2 . |
|
|
||||||
3) апериодический устойчивый элемент: |
|
|
|||||||
|
|
|
T |
dy(t ) |
+ y(t )= k x(t ), |
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где T , k = const . Из физических соображений следует, что в начальный момент времени сигнал на выходе из элемента отсутствует, т.е.
y(0)= 0 .
Решение такой задачи Коши имеет вид
|
|
y(t )= |
k |
e− |
t |
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|||||||||
|
|
|
|
∫x(t )e |
|
dt . |
|
|||||||||||||||
|
|
T |
T |
|
||||||||||||||||||
|
|
T |
|
|||||||||||||||||||
В частности, если x (t )=1, то |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y (t )= |
|
k |
|
|
− |
t |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
−e T . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4. Характеристика апериодического элемента
4) апериодический неустойчивый элемент:
T dydt(t ) − y(t )= k x(t ).
5
x (t ) |
|
y (t ) |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
t |
t |
Рис. 5. Характеристика апериодического
неустойчивого элемента
В этом случае при y(0)= 0 и x(t )=1 имеем
y(t )= Tk2 eTt −1 .
5) дифференцирующий идеальный элемент:
y(t )= k dxdt(t ),
где k > 0 - постоянная величина. Для получения изменения выходного сигнала необходимо продифференцировать входной сигнал x(t ).
Разновидностью дифференциального идеального элемента является дифференциальный элемент 1-го порядка.
y(t )= k x(t )+T |
dx(t ) |
. |
|
dt |
|||
|
|
||
6) запаздывающий элемент: |
|
|
y(t )= k x(t −t ),
где k > 0 - постоянная величина; τ - время сдвига.
6
x (t ) |
|
y (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
t |
|
τ |
t |
Рис. 6. Характеристика запаздывающего элемента
7) колебательный элемент:
|
1 |
|
d 2 y(t ) |
+ |
2x dy(t ) |
+ y(t )= k x(t ), |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ω dt |
||||
|
ω2 dt2 |
|
|
|
||||
где ω, ξ, k - постоянные |
величины. Вновь из физических соображений |
замыкаем уравнение до задачи Коши
y(0)= y′(0)= 0.
При ξ ≥1 - апериодический выход; ξ <1 - колебательный выход.
КОМБИНАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
Последовательное соединение
Пусть элементы 1 и 2 являются апериодическими устойчивыми, тогда для первого элемента имеем:
x (t ) |
|
y (t ) |
|
|
|
|
z (t ) |
||
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
dy (t ) |
+ y (t )= k x (t ). |
(1) |
|
dt |
||||
1 |
1 |
|
Для второго элемента входной функцией служит выходная функция из первого элемента, поэтому для него запишем
T |
dz (t ) |
+ z (t )= k |
|
y (t ). |
(2) |
dt |
|
||||
2 |
|
2 |
|
|
7
К уравнениям (1) и (2) добавляются начальные условия
y (0)= z (0)= 0 . |
(3) |
Т.о. математическое описание функционирования такой системы сводится к решению задачи Коши (1) – (3).
Параллельное соединение
1 y1 (t )
x(t ) |
|
|
|
y (t ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y2 (t )
Пусть вновь элементы 1 и 2 являются апериодическими устойчивыми, тогда для первого элемента
T1 dydt1 (t ) + y1 (t )= k1 x(t ),
для второго элемента
T2 dy2 (t ) + y2 (t )= k2 x(t ), dt
уравнения (4) и (5), дополненные начальным условиям
y1 (0)= y2 (0)= 0
описывают функционирование указанного соединения с результатом
y(t )= y1 (t )+ y2 (t ).
(4)
(5)
(6)
(7)
Соединение с обратной связью
Если выходная функция через какой-либо (или какие-либо) элемент подается на вход и складывается с входной, то такая связь называется обратной положительной.
По-прежнему считаем элементы 1 и 2 апериодически устойчивыми, тогда
x (t ) |
|
|
y1 (t ) y (t ) |
x (t )+ y2 (t ) |
1 |
||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2
y2 (t ) y (t )
8
согласно схеме для первого элемента получим
T1 |
dy1 (t ) |
|
+ y1 (t )= k (x (t )+ y2 (t )), |
(8) |
||||||
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а для второго |
|
|
|
dy2 (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
+ y |
2 |
(t )= y |
(t ), |
(9) |
|||
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
dt |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с соответствующими начальными условиями |
|
|
|
|||||||
|
y1 (0)= y2 (0)= 0. |
|
(10) |
Если выходная функция, через какой либо элемент подается на вход и вычитается из входной функцией, то такая связь называется обратной отрицательной.
Математическое описание при тех же предположениях об элементах 1 и 2 таково
|
x (t )− y2 |
(t ) |
|
y (t ) |
|
|
x (t ) |
1 |
y (t ) |
||||
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 (t ) |
|
|||
|
|
|
y2 (t ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
dy1 (t ) |
|
|
|
(x (t )− y2 (t )), |
|
|||||||
T1 |
+ y1 (t )= k |
(11) |
|||||||||||
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
T |
dy2 (t ) |
+ y |
2 |
(t ) |
= y |
(t ), |
(12) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
dt |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y1 (0)= y2 (0)= 0. |
(13) |
|||||||||
Вывод. Если комбинацияэлементов |
|
|
и |
их соединение |
в системе |
представляет собой сложную схему, то получение выходной функции по известной входной в явном виде может представлять собой весьма трудную проблему. Поэтому анализ таких цепей проводится с помощью интегрального преобразования Лапласа.
9