Учебное пособие 659
.pdfинтеграла |
Pdx Qdy от |
|
|
следует, что |
выбора пути AB |
||||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
множество |
функций, |
удовлетворяющих |
условию |
|
du Pdx Qdy , есть |
|
|
|
|
|
|
( x, y) |
|
|
|
u(x, y) |
|
Pdx Qdy c . |
|
|
|
( x 0 , y 0) |
|
|
Чтобы найти функцию u(x, y) , можно выбрать в качестве
пути интегрирования наиболее простой, например, ACB , где AC и CB – отрезки, параллельные осям координат (рис. 2.7). Тогда
u(x, y) Pdx Qdy Pdx Qdy c
AC |
CB |
Поскольку
AC : y y0 , dy 0, x0 x (x const) ; CB : x const , dx 0, y0 y ( y const) , то
|
x |
|
y |
|
|
|
u(x, y) P(x, y0 )dx Q(x, y)dy c . |
(2.6) |
|||
Примеры: |
x0 |
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Проверить, |
|
является |
ли |
выражение |
2xydx (x2 2 y)dy |
полным дифференциалом du . Если |
||||
является, то найти u(x, y) . |
|
|
|||
P 2xy,Q x2 2 y, |
P |
2x Q |
, |
|
|
|
|
y |
x |
|
|
т.е. 2xydx (x2 2 y)dy du . По (2.5) имеем |
|
||||
( x; y) |
|
|
x |
y |
|
u |
2 ydx (x2 2 y)dy 0dx (x2 2 y)dy c |
||||
(0;0) |
|
|
0 |
0 |
|
x2 y y2 c. 19
|
|
(2;2) |
|
|
|
2) Вычислить |
( yex 1)dx exdy . |
|
|
||
|
|
(0;1) |
|
|
|
Выражение |
под |
знаком |
интеграла |
|
является |
дифференциалом |
du , |
так как |
P ex |
Q |
, если |
|
|
|
y |
x |
|
P yex 1, |
Q ex . Берем путь интегрирования от A(0;1) до |
|||||||||
B(2; 2) |
в |
виде |
ломаной |
ACB |
(рис. 2.8). Тогда |
|||||
AC : y 1, dy 0, 0 x 2 , CB : x 2, dx 0, 1 y 2 . |
||||||||||
(2;2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
( yex 1)dx exdy |
|
(ex 1)dx e2dy |
||||||||
(0;1) |
|
|
|
|
AC |
CB |
0 |
1 |
||
|
(ex x) |
|
2 |
e2 y |
|
2 |
e2 2 1 2e2 e2 2e2 1. |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.7 |
Рис. 2.8 |
|
2.8. Уравнения в полных дифференциалах |
||
О: Уравнение |
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 |
называется |
уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y) , т.е. P(x, y)dx Q(x, y)dy du .
Из определения следует, что общий интеграл такого дифференциального уравнения записывается в виде u(x, y) c .
20
Используем формулу (2.6) для нахождения функции u(x, y) . Таким образом, для уравнения в полных
дифференциалах решение может быть получено в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x, y0 )dx Q(x, y)dy c . |
|
|
|
|
(2.7) |
||||||||||||||||||||||
|
Пример: |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
dx |
|
y2 3x2 |
dy 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
y4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P(x, y) |
2x |
,Q |
|
|
y2 |
3x2 |
, |
|
данное |
|
уравнение является |
|||||||||||||||||||||||
|
y3 |
|
|
y4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
уравнением |
|
|
в |
|
полных |
|
|
дифференциалах, |
так |
|
как |
||||||||||||||||||||||||
P |
6x |
Q . |
В |
|
качестве |
|
|
т. (x , y ) |
возьмем |
(0;1). Тогда |
|||||||||||||||||||||||||
y |
y4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
по формуле (2.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
y y2 |
3x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
y |
x2 |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2xdx |
|
|
|
|
|
dy c x |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
c . |
||||||||||
|
y |
4 |
|
|
|
y |
|
3y |
3 |
y |
3 |
y |
|||||||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Опорный конспект №3
1) Поверхность в R3
G : z z(x, y), M (x, y) R2 , z(x, y), zx , zy - непрерывны в
D G – гладкая поверхность, являющаяся двусторонней.
Единичный |
вектор |
нормали |
n cos ,cos ,cos , |
|
|
|
|
|
- непрерывная функция |
(n,i), (n, j), (n, k) , |
n(M ) |
т. M
21
2) ПИ 1р
2.1. Определение ПИ 1р
f (x, y, z) непрерывна в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
, G , Gi Gj , G n |
Gi , i – площадь Gi |
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
i |
i |
|
|
|
|
0 |
n |
i |
i |
|
i |
i |
|
|
f (x, y, z)d |
|
|
) |
||||||||||||
M |
( |
, |
, |
) G |
|
|
lim |
|
( f ( |
, |
, |
) |
||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
max diam Gi , (M ) - поверхностная плотность G |
|
|||||||||||||||
m (x, y, z)d – масса G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Вычисление ПИ 1р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
G : z z(x, y))x, y) D - гладкая поверхность |
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (x, y, z)d f (x, y, z(x, y)) |
1 (zx )2 (zy )2 d |
|
|
|||||||||||||
|
G |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ПИ 2р
3.1. Определение ПИ 2р
P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны в |
|
R3 ,G – |
||||||||||||||
двусторонняя ориентированная поверхность, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Dix y прX OY Gi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Dx z пр |
X O Z |
G |
, D y z пр |
G , i 1, n; S x y , S y z , S x z |
– |
|||||||||||
i |
|
i |
|
i |
Y O Z |
i |
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
( ) |
площади ( ) Dx y , Dy z |
, Dx z , M |
i |
( |
, |
, |
i |
) G |
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
i |
i |
|
|
i |
|
|
Pdydz Qdxdz Rdydx
G
lim P(Mi ) Siy z Q(M i ) Six z R(M i ) Six y .
0 i 1n
Связь ПИ Iр и ПИ IIр:
Pdydz Qdxdz Rdydx (P cos Q cos R cos )d .
G |
|
G |
(x, y, z) P,Q, R |
- скорость жидкости, протекающей |
|
через G поток жидкости |
|
|
|
|
|
ПG Pdydz Qdxdz Rdydx nd . |
||
G |
|
G |
3.2. Вычисление ПИ 2р
Dx y прX OY G, Dx z прX O Z G, Dy z прY O Z G ,
G : z z(x, y) y y(x, z) x x( y, z)
Pdydz Qdxdz Rdxdy P(x( y, z), y, z)dydz
G |
Dyz |
|
|
|
|
|
Q(x, y(x, z), z)dxdz R(x, y, z(x, y))dxdy , |
||||||
Dxz |
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где (+) – для острых углов (n,i),(n, j),(n, k),( ) - для тупых. |
||||||
4) Формула Остроградского-Гаусса |
|
|
|
|||
P(M ),Q(M ), R(M ) - непрерывны |
вместе |
с |
частными |
|||
производными в , G - ориентированная поверхность |
||||||
|
|
|
P |
Q |
R |
|
Pdydz Qdxdz Rdxdy |
dxdydz . |
|||||
G |
|
|
x |
y |
z |
|
5) Формула Стокса
P(M ),Q(M ), R(M ) -
непрерывные вместе с частными производными на ориентированной поверхности G, L G - гладкая
|
|
|
|
|
|
|
Q |
P |
|
|
Pdx Qdy Rdz |
dxdy |
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
G |
x |
y |
|
|
|
|
R |
|
Q |
P |
|
R |
|
|
|
|
z |
dydz |
z |
x |
dxdz. |
|||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
24
23
3.1. Поверхности в R3
Пусть поверхность G задана уравнением F(x, y, z) 0 . Можно показать, что если в окрестности т. M0 (x0 , y0 , z0 ) G частные производные Fx , Fy , Fz непрерывны и одновременно
не равны нулю, то в т. M0 |
существует касательная плоскость к |
||||||
поверхности. Такая т. M0 |
называется обыкновенной точкой |
||||||
поверхности G. Если, например, |
Fz 0 , |
то |
на |
основании |
|||
теоремы о неявной функции в окрестности т. |
M0 |
уравнение |
|||||
поверхности |
F(x, y, z) 0 |
можно |
записать |
в явном виде |
|||
z f (x, y) . |
Такой |
кусок |
поверхности G |
является гладким |
|||
куском. Точки, в |
которых Fx Fy Fz 0 |
– |
особые точки |
поверхности, в них касательная плоскость может не существовать. Например, поверхность x2 y2 z2 R2 (сфера)
не имеет особых точек. Ее можно задать и параметрическими уравнениями
x R cos sin , y R sin sin , z cos (рис. 3.1).
В общем случае поверхность G может быть задана параметрическими уравнениями
x (u, ) , y (u, ) , z (u, ) , (u, ) D R2 ,
или векторным уравнением
r r(u, ) , , .
Если (u, ) , (u, ) , (u, ) Рис. 3.1
непрерывны в D со своими частными
производными ( D предполагается кусочно-гладкой) и поверхность не имеет особых точек, т.е. в D
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
u |
u |
|
|
|
|
|
u |
u |
|
|
|
u |
u |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
r u |
r |
|
|
u |
|
u u |
0 |
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то поверхность является гладкой. Отметим, что в случае замкнутой поверхности (например, сферической) при параметрическом задании неизбежно наличие точек, получающихся при нескольких значениях параметров (u, ) – кратных точек поверхности.
Точки, соответствующие одному набору значений параметров, называются простыми.
Частным случаем параметрического задания G является
задание |
ее явным |
уравнением |
z z(x, y),(x, y) |
D |
. Если |
||
функция |
z z(x, y) |
непрерывна |
в |
|
вместе со своими |
||
D |
частными производными, то G - гладкая поверхность.
Пусть G - гладкая поверхность. Тогда в каждой т. M G можно выбрать одно из двух возможных направлений нормали, зафиксировав определенный единичный вектор нормали:
n(M ) {cos (M ),cos (M ),cos (M )},
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j, k - ортонормирован- |
где (n,i), (n, j), |
(n, k), i, |
|||
ный базис в R3 |
(рис. 3.2). |
|
|
|
|
|
26 |
|
|
25
|
Рис. 3.2 |
|
О: Гладкая поверхность G называется двусторонней, если |
||
направление нормали |
n(M ) т. M G при обходе |
по |
любому замкнутому |
контуру L : M L G , |
при |
возвращении в т. M совпадает с исходным. Если после обхода L направление n(M ) противоположно исходному,
то поверхность G называется односторонней.
Например, сфера – двусторонняя поверхность. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса (рис. 3.3, а), который получается склейкой сторон AB и CD прямоугольника ABCD так, что т. A совмещается с т. D , а т. B - с т. C (рис. 3.3, б).
Будем рассматривать только двусторонние поверхности, причем выбирать определенную их сторону, т.е. задавать ориентацию поверхности (см. рис. 3.2). В каждой точке такой
поверхности n(M ) зависит от т. M непрерывно.
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
Пусть |
гладкая поверхность |
G задана уравнением |
||||
z z(x, y) , |
(x, y) |
|
. |
Она |
является |
двусторонней. |
D |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|||
Действительно, вектор n(M ) |
|
|
|
, z |
|
,1 |
|
||||
|
z |
|
|
||||||||
нормали в т. M и |
|
|
|
zx |
|
|
|
||||
cos (M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(zx )2 |
(zy ) 1 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
cos (M ) |
|
|
|
|
zy |
|
|
|
|||
(zx )2 |
(zy ) 1 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
cos (M ) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
(zy ) 1 |
||||||||
|
|
|
(zx )2 |
направлен по
,
,
являются непрерывными функциями в области D и определяют ориентацию n(M ) .
3.2.Поверхностный интеграл I рода
3.2.1.Задача о массе поверхности G .
|
Определение ПИ 1р |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
на поверхности |
G |
распределена масса с |
||||
поверхностной плотностью (x, y, z) . |
Найдем |
массу |
|||||
поверхности G . |
|
|
|
|
|
|
|
Разобьем G на n частей |
Gi ,i |
|
, |
с площадями i |
|||
1, n |
|||||||
(рис. 3.4), |
выберем произвольно |
Mi ( i , i |
, i ) Gi |
и будем |
считать, что плотность Gi постоянна и равна (Mi ) . Тогда
m(Mi ) i .
i 1n
За точное значение массы естественно принять
n
m lim (Mi ) i , (3.1)
0 i 1
где max diam i ,i 1, n . 28
27
Рис. 3.4
Введем понятие интеграла соответствующего формуле (3.1). Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в
пространственной области , которой принадлежит гладкая поверхность G . Проведем для G описанные выше построения и составим
|
n |
|
|
|
|
|
f ( i , i , i ) i . |
|
(3.2) |
||
|
i 1 |
|
|
|
|
О: Поверхностным |
интегралом |
I |
рода |
(ПИ |
1р) |
f (x, y, z)d от функции f (x, y, z) |
по поверхности G |
||||
G |
|
|
|
|
|
называется предел |
интегральной |
суммы |
(3.2), |
когда |
max diam Gi 0 , если он существует, конечен и не зависит как от способа разделения G на Gi , так и от выбора промежуточных т. Mi Gi , т.е.
|
|
0 |
n |
|
i |
i |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
, |
) |
. |
||||||
|
f (x, y, z)d lim |
|
f ( |
, |
|
|
|||||
G |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
определяется |
ПИ 1р |
f (x1, x2 ,..., xn )d от |
||||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
функции n |
переменных |
f (x1, x2 ,..., xn ) |
|
по гладкой |
поверхности G Rn .
ПИ 1р обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл, так как его определение аналогично определению двойного интеграла. Из формулы (3.1) и определения ПИ 1р следует, что масса m поверхности G
|
|
m (x, y, z)d . |
(3.3) |
|
|
G |
|
В частности, |
при |
1 формула (3.3) дает |
площадь |
поверхности G . |
|
G d . |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
3.2.2. Вычисление ПИ 1р |
|
||
Вычисление |
ПИ 1р |
сводится к вычислению |
двойного |
интеграла. Пусть гладкая поверхность G задана уравнением z z(x, y) , (x, y) D , D прXOY G . Воспользуемся определением ПИ 1р, причем в интегральной сумме (3.2) выразим i через Si - площадь Di прX OY G (рис. 3.5).
Рис. 3.5
По формуле площади поверхности и теореме о среднем для двойного интеграла
i |
|
z 2 |
|
z 2 |
1 (zx ( i , i )) |
2 |
(zy ( i , i )) |
2 |
Si |
, |
|
1 |
|
|
|
dS |
|
|
|||||
D |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi ( i , i ) Di . Выберем промежуточные т. Mi такими, что Pi прX O Y M i , тогда
30
29
n |
n |
f ( i , i , i ) i |
f ( i , i , z(Pi )) 1 (zx (Pi ))2 (zy (Pi ))2 Si . |
i 1 |
i 1 |
Переходя к пределу при 0 , имеем |
|
|
f (x, y, z)d |
|
G |
f (x, y, z(x, y)) 1 (zx (x, y))2 (zy (x, y))2 dS . (3.4) |
|
D |
G проектируется на другие координатные |
Если область |
плоскости, то получаются формулы, аналогичные (3.4). Из формулы (3.4) и теоремы существования двойного интеграла
получаем |
условия |
существования |
ПИ |
1р: |
непрерывность |
||||
f (x, y, z) |
в , |
G , непрерывность |
вместе с |
частными |
|||||
производными функции z z(x, y) , |
задающей поверхность G |
||||||||
в D прXOY G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: Вычислить массу m части G |
параболоида с |
||||||||
уравнением z 1 x2 |
y2 , отсеченной плоскостью |
z 0 , если |
|||||||
|
|
плотность |
1 4x2 4 y2 |
(рис.3.6). |
|||||
|
|
|
|
По формулам (3.3), (3.4) |
|
|
|||
|
|
|
|
m 1 4x2 4 y2 d |
|
|
|||
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4x2 4 y2 1 ( 2x)2 ( 2 y)2 dxdy |
|||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1 4x2 4 y2 )dxdy . |
|
|
|||
Рис. 3.6. |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так |
как |
|
: x2 y2 1 , |
то |
переходя |
к |
полярным |
||
D |
|||||||||
координатам, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
2 r2 |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
m d (1 4r |
|
)rdr |
|
r |
|
|
|
d 3 . |
|
|
2 |
|
|||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3.3.Поверхностный интеграл II рода
3.3.1.Поток жидкости через поверхность. Определение ПИ 2р
Решим задачу о потоке жидкости. Пусть через двустороннюю поверхность G R3 стационарно (независимо
от времени) движется жидкость с плотностью |
1 со |
||
скоростью |
|
|
|
|
|||
|
(x, y, z) P(x, y, z)i |
Q(x, y, z) j R(x, y, z)k . |
Найти поток жидкости через поверхность G , т.е. количество жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени.
Разобьем G на n частей Gi с площадями i , выберем M ( i , i , i ) Gi (рис. 3.7) и будем считать, что в пределахGi скорость постоянна и равна ( i , i , i ) .
Рис. 3.7
32
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если n(Mi ) cos |
(Mi )i cos (Mi ) j cos k |
- единичный |
|||||||
вектор нормали в т. Mi , то приближенно поток ПG |
через G |
||||||||
равен |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ПG |
(Mi ) n(Mi ) i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
n |
скалярное произведение , n . За точное значение |
|||||||
потока принимаем |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ПG |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
lim v(Mi ) n(Mi ) i |
|
|
|
||||
|
|
|
x 0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (P(Mi ) cos (Mi ) Q(Mi ) cos (Mi ) |
(3.5) |
||||||
|
|
x 0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(Mi ) cos (Mi )) i
Введем понятие интеграла, соответствующего формуле (3.5).
Пусть в пространственной области |
заданы |
||||||||||||
непрерывные |
функции |
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) , |
т. е. |
||||||||||
вектор a(x, y, z) |
|
|
|
|
|
ориентированная |
|||||||
|
P,Q, R |
, двусторонняя |
|||||||||||
поверхность |
G . |
Проведем |
вышеописанное |
разбиение |
|||||||||
области G и составим |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( i , i , i ) Si y z |
Q( i , i , i ) Si x z R( i , i , i ) Si x y , |
(3.6) |
|||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где S yz |
, S xz , S xy |
- |
площади проекции |
D y z , D x z , D x y |
|||||||||
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
областей |
Gi , i 1, n |
на плоскости YOZ, XOZ, XOY, |
|||||||||||
соответственно, взятые с определенным знаком (так, |
Si y z 0 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si xz 0 , если (Mi ) - тупой |
|||
если (Mi ) (n, k) |
- острый угол, |
||||||||||||
для M |
i |
D , аналогично для S yz , S xz ) (рис. 3.8). |
|
|
|||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
Рис. 3.8
O: Поверхностным интегралом II рода от функции P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) по
двусторонней ориентированной области G называется предел интегральной суммы (3.6) при0 , если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения G на части Gi и от выбора
т. Mi Gi .
Так как при выполнении условий существования поверхностного интеграла можно считать
S |
x y x y , |
S |
y z y z |
, |
S |
x z x |
z |
, |
i |
i i |
i |
i i |
|
i |
i |
i |
|
то ПИ 2р обозначается
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dydx .
G
В силу справедливости равенств
dxdy dS x y d cos (M ) , |
dydz dS y z d cos (M ) , |
|
dxdz dS x z d cos (M ) , получаем формулу, |
связывающую |
|
ПИ I и II рода: |
|
|
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dydx |
||
G |
|
(3.7) |
|
||
(P cos Q cos R cos )d a nd . |
|
G |
34 |
G |
|
|
Из формул (3.5), (3.7) следует, что поток жидкости через поверхность G записывается поверхностным интегралом
ПG Pdydz Qdxdz Rdydx v nd .
G G
Из (3.7) следует, что ПИ 2р имеет такие же свойства, как и ПИ 1р, но в отличие от последнего меняет знак на противоположный при переориентации поверхности G.
3.3.2. Вычисление ПИ 2р
Вычисление ПИ 2р сводится к вычислению двойных интегралов. Если Dx y прXOY G, Dx z прXOZ G, Dy z прYOZ G , а двусторонняя поверхность такова, что ее уравнение можно записать как
z z(x, y) y y(x, z) x( y, z) ,
то
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x( y, z), y, z)dydz Q(x, y(x, z), z)dxdz |
(3.8) |
|||||||||||||||||||
Dyz |
|
|
|
|
|
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R(x, y, z(x, y))dxdy. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где знак (+) |
берется, если (M ) |
|
для |
первого |
интеграла, |
|||||||||||||||
(M ) для второго интеграла, G(M ) |
|
для третьего интеграла – |
||||||||||||||||||
острые углы, знак (-), если углы тупые. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Действительно, по определению ПИ 2р |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
n |
|
i |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
R(x, y, z)dxdy lim |
|
|
R( |
, |
|
) S x y |
|
||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i |
i |
|
i |
|
i |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0 |
, ( |
|
|
|
|
R(x, y, z(x, y))dxdy. |
|||||||||||||
lim |
R( |
, |
|
, |
)) x |
y |
|
|
|
|||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
Аналогично для функции P(x, y, z), |
|
Q(x, y, z) . |
|
Пример: Вычислить |
zdxdy xdydz , |
если G – внешняя |
|||
|
|
|
G |
|
|
сторона нижней части сферы x2 y2 |
z2 1 (рис. 3.9, а). |
||||
|
Воспользуемся формулой (3.8): |
|
|||
D : x2 |
y2 1, z |
1 x2 y2 |
(рис. 3.9, б) |
||
|
xy |
|
|
|
|
|
zdxdy 1 x2 y2 dxdy |
1 r2 rdrd |
|||
|
G |
Dxy |
|
Dxy |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
d r 1 r2 dr 2 . |
|
|
||
|
0 |
0 |
3 |
|
|
Рис. 3.9
Dyz : y2 z2 |
1 |
(рис. 3.9, в), y 0( y 0), x |
1 y2 z2 , |
: острый при x > 0,тупой при х < 0,
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
xdydz 2 |
1 y2 z2 dydz 2 d |
1 r2 rdr |
; |
|||||
G |
Dyz |
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
т. е. zdxdy xdydz |
4 . |
36 |
|
|
|
|
||
|
G |
|
3 |
|
|
|
|
35
Вычисление ПИ 2р можно провести также по формулам
(3.7), (3.4).
3.4. Формула Остроградского – Гаусса
Формула Остроградского – Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой ориентированной поверхности G и тройным интегралом по пространственной области , G , и обобщает формулу Грина на пространственный случай.
Т: Пусть функции
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области , G - гладкая ориентированная поверхность. Тогда справедлива формула
|
Pdydz Qdxdz Rdxdy ( |
P |
|
Q |
|
R)dxdydz, (3.9) |
G |
G |
x |
|
y |
|
z |
причем поверхностный интеграл берется по внешней стороне G. Формула (3.9) и носит название формулы Остроградского – Гаусса.
Предположим, что - простая область, т.е. G пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках (рис. 3.10). Если не является простой, то ее необходимо разбить на конечное число простых областей. Пусть z z1 (x, y), z z2 (x, y) - уравнения нижней G1
и верхней G2 поверхностей G, D прXOY G . Тогда, используя
(3.8), имеем
37
Рис. 3.10
|
Rdxdydz dxdy |
z ( x, y) |
R dz |
|
||
|
2 |
R(x, y, z2 (x, y)dxdy |
||||
|
z |
D |
z ( x, y) |
z |
|
D |
|
|
|
1 |
|
|
|
R(x, y, z1 (x, y)dxdy R(x, y, z)dxdy |
||||||
D |
|
|
G |
|
|
|
Аналогично доказываются формулы |
||||||
|
Pdxdydz Pdydz , |
|
Qdxdydz Qdydz |
|||
|
x |
G |
|
|
y |
G |
Складывая почленно, имеем (3.9).
3.5 Формула Стокса
Формула Стокса устанавливает поверхностным и криволинейным интегралами, а также обобщает формулу Грина на пространственный случай.
Т: Пусть функции P(x, y, z) ,
Q(x, y, z) , R(x, y, z)
непрерывны вместе со своими частными производными на гладкой ориентированной поверхности G, ограниченной гладкой замкнутой кривой L.
38
связь между
Рис. 3.11