Учебное пособие 707

1.3. Изменить порядок интегрирования в двойных

Решение. а) По пределам интегрирования строим область интегрирования: у = х + 2, у = х2, х = 2, х = -1 (рис. 7). Решая совместно уравнения у = х + 2, у = х2, находим координаты точек пересечения прямой и параболы А (-1, 1), В (2,4).

Рис. 7

Поскольку слева область D ограничена линиями x = y - 2

11

соответственно, по областям DACOA и DABC

Рис. 8

координаты точек пересечения прямой и параболы А (0, 2) и В

y = -2 x +1 . Следовательно, при изменении порядка интегрирования интеграл разбивается на два

2 2- y 0 2 x+1 8 2-x

ò dy ò f (x, y dx) = òdx ò f (x, y dy) + òdx ò f (x, y dy) .

2. Двойной интеграл в полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле

1°. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным необходимо в подынтегральном выра-

12

Если область интегрирования ограничена линиями, имеющими различное аналитическое представление, то ее разбивают на части, а двойной интеграл представляют в виде суммы соответствующих интегралов.

2°. Пусть в двойном интеграле òò f (x, y )dxdy требуется от

S

переменных х, у перейти к переменным u, v, связанным соотношениями

Функции (2) осуществляют взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение областиG плоскости O1uv на область S плоскости Оху. Если якобиан этого отображения

¶u ¶v

не обращается в нуль наG и функция f (x, y ) непрерывна в области S, то справедлива формула

Производить замену переменных по формулам(2) целесообразно в том случае, если область интегрирования G интеграла (3) значительно проще области S.

2.1. Переходя к полярным координатам,

14

Решение. а) Область интегрирования представляет первую

x2 + y2 = a2 , x2 + y2 = ay (рис. 10).

Рис. 10 Переходя к полярным координатам и учитывая, что урав-

нение внутренней окружности будет r = a sin j , получим

15

Решение. Область интегрирования ограничена двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами r1 = 3 и r2 = 5. Переходя в интеграле к полярной системе координат будем иметь

3. Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности

1°. Площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, ограниченная областью D, находится по формуле

16

17

где D - проекция поверхности на плоскость Oyz; если поверхность

здесь D - проекция поверхности на плоскость Oxz.

3.1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) y = x, y = 4 x и x = 1 ; б) y = ln x, x - y =1, x = 0 и y = -2 .

Решение. а) Построим параболы и прямую (рис. 11.).

Рис. 11

Согласно формуле (2) имеем

б) Построим область, ограниченную линиями (рис. 12).

18

Рис. 12

Поскольку область ограничена линиями, имеющими различный аналитический вид, то при вычислении площади ее следует разбить на две части прямойу =- 1. Вся площадь равна сумме интегралов

S = ò dy ò dx + ò dy ò dx = ò (e y - (1+ y ))dy + ò e ydy =

0

=æey - y - 1 -

ç 2 -2 2 e2

è ø -1

3.2.Вычислить площадь, ограниченную линиями:y2 ö÷ +ey -1 = 1 .

а) r = a (1- cosj ), r = a и расположенную вне круга.

б) (x2 + y2 )3 = x4 + y4 ;

Решение. а) Представим кардиоиду и круг на рис. 13.

Рис. 13

19