Учебное пособие 847

3.ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

3.1.Основные законы и формулы

Формула де Бройля

h

m

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

x px ; E t ,

где h . 2

Уравнение Шредингера

-общий вид

- для стационарных состояний

2m

2 E U 0,

частицы, U – потенциальная энергия частицы, - волновая функция.

Вероятность обнаружить частицу в объеме dV

dp 2 dV .

29

Условие нормировки волновой функции

2 dV 1.

Волновая функция, описывающая движение свободной частицы

(x,t) A e i(Et px)/ .

Собственные значения энергии и собственные волновые функции для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме

где d – ширина потенциальной ямы.

где d – ширина барьера, E – энергия частицы.

3.2. Примеры решения задач по квантовой механике

Пример 1. Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b=2мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на L=50 см, ширина центрального дифракционного максимума x = 0,36 мм (рис.8).

30

Решение

Согласно гипотезе де Бройля длина волны , соответствующая частице массой m, движущейся со скоростью, выражается формулой

При дифракции на узкой щели ширина центрального дифракционного максимума равна расстоянию между дифракционными минимумами первого порядка. Дифракционные минимумы при дифракции на одной щели наблюдаются при условии

bsin = k ,

где k = 1,2,3… - порядковый номер минимума.

Как следует из рис.8 ширина центрального дифракционного максимума

заведомо мал, поэтому tg =sin , и, следовательно, формула

(3) примет вид

Пример 2. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов

700 кВ.

Решение

Связь длины волны де Бройля с импульсом

h , p

где h= 6,63 10-34Дж с – постоянная Планка.

Импульс вычисляется различным образом для

релятивистского ( p 1 (2E0 T)T ) и нерелятивистского c

( p 2mT ) случаев, где m, T, E0 – соответственно масса, кинетическая энергия, энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

TeU 0,7МэВ,

аэнергия покоя электрона Е0=mc2=0,5МэВ, т.е. кинетическая энергия одного порядка с энергией покоя и в данном случае мы имеем дело с релятивистской частицей.

Тогда искомая длина волны де Бройля

где m = 9,11 10-31кг; c =3 108м/c; е =1,6 10-19Кл.

Вычисляя, получаем λ= 1,13пм.

Пример 3. Используя соотношения неопределенностейx px , найти выражение, позволяющее оценить

минимальную энергию Emin электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной d.

32

n x 2d sin nxd .

Невозбуждённому состоянию (n=1) отвечает волновая функция

1 x 2d sin nxd .

Подставив 1(x)вподынтегральноевыраженияформулы(1)и вынося постоянные за знак интеграла, получим

x2

P 2d sin2 xd dx.

x1

Пределы интегрирования определим из условия равноудаленности интервала d/4 от стенок ямы (рис.9). Тогда

34

4.ФИЗИКА АТОМОВ

4.1.Основные законы и формулы

Квантование энергии En и орбитального момента импульса электрона

где n = 1,2,3… - главное квантовое число.

L ( 1),

где = 0,1,2…(n-1) – орбитальное квантовое число.

Пространственное квантование орбитального момента импульса электрона

L z m ,

где m = 0, 1, 2… - магнитное квантовое число, z –

направление внешнего магнитного поля.

Собственный механический момент импульса электрона (спин)

Ls s(s 1),

1

где s = - спиновое квантовое число. 2

Проекция спина на направление внешнего магнитного

поля

LS z mS ,

1

где n > m, m – определяет структурную серию, n – отдельную линию этой серии, R' = 1,09.107 м-1 – постоянная Ридберга.

Коротковолновая граница min сплошного рентгеновского спектра

hc

min eU ,

где e –элементарный заряд; U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.

где - частота линий рентгеновского спектра; Z – атомный номер элемента, излучающего этот спектр; R = 3,29 1015 с-1 – постоянная Ридберга; - постоянная экранирования; С- константа; m и n – номера энергетических уровней.

для К-серии = 1, m=1, n=2,3,4… для L-серии = 7,5, m=2, n=3,4,5…

36

4.3. Примеры решения задач по физике атома

Пример 1. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3d – состоянии. Определить изменение механического и магнитного моментов, обусловленных орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

Решение

Изменение механического L и магнитного pm

моментов находится как разность моментов в конечном (основном) и начальном (возбужденном) состояниях, т.е.

L = L2 – L1,

pm pm2 pm1.

Механические и магнитные моменты орбитального движения электрона зависят только от орбитального квантового числа :

L ( 1), pm Б ( 1).

Знак минус показывает, что в данном случае происходит уменьшение орбитальных моментов.

Подставив значения, получим

L= -2,57 10-34 Дж с;Pm = -2,27 10-23 Дж/Тл.

37

Пример 2. Определить скорость электронов, падающих на антикатод рентгеновской трубки, если минимальная длина волны min в сплошном спектре рентгеновского излучения равна 1 нм.

Решение

В рентгеновской трубке электрон приобретает m 2

2

ускоряющей разностью потенциалов U соотношением

T= eU,

где e – заряд электрона.

Следовательно, скорость электронов, падающих на антикатод рентгеновской трубки, зависит от напряжения, приложенного к рентгеновской трубке:

Тормозное рентгеновское излучение возникает за счет энергии, теряемой электроном при торможении. В соответствии с законом сохранения энергии энергия фотона не может превысить кинетическую энергию электрона. Максимальная энергия фотона определяется равенством

h max hc T eU.

mib

Из последнего выражения находим U и, подставляя в (1), получаем:

2hc .

m min

Произведя вычисления, найдем:

21 Мм/с . 38