Учебное пособие 1680

Рис. 2. Эпюр Монжа

Рис. 3. Расположение четвертей (а) и октантов (б)

11

Примеры тестовых заданий

Задание 4.

Чертеж точки, расположенной в I

четверти, показан на рисунке ...

Решение. Если точка А располагается в I четверти, то координаты X, Y и Z положительны. На чертеже точки А горизонтальная проекция точки А1 должна располагаться ниже оси х, фронтальная проекция точки А2 должна располагаться выше оси и линия проекционной связи А1А2 х.

12

Решение. Комплексный чертеж точки (эпюр Монжа), то есть чертеж точки на две плоскости проекций - горизонтальную и фронтальную, является обратимым: по нему можно восстановить однозначно положение точки в пространстве.

Решение. Если точка лежит на фронтальной плоскости проекций, ее координата Y равна нулю. На представленном чертеже координата Y равна нулю для точек С (С1 лежит на оси x) и Е (Е1 лежит на оси х).

Чертеж прямой линии, чертеж плоскости

Прямая в пространстве может быть расположена относительно плоскостей проекций по-разному. Прямую, не параллельную и не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения

(рис. 4, а).

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют сле-

дами прямой (рис. 4, б):

-М - горизонтальный след прямой;

-N - фронтальный след прямой;

-Р - профильный след прямой.

Относительно плоскостей проекций прямые линии могут занимать и особые положения. Такие прямые, параллельные или перпендикулярные к плоско-

стям проекций, называют прямыми частного положения.

К ним относятся прямые уровня и проецирующие прямые (рис. 5). Прямая, параллельная какой-нибудь одной плоскости проекций, называ-

ется прямой уровня. В начертательной геометрии различают три линии уровня: - горизонтальную - прямую, параллельную горизонтальной плоскости

проекций;

13

-фронтальную - прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций;

-профильную - прямую, параллельную профильной плоскости проекций.

Рис. 4. Прямая общего положения

Рис. 5. Прямые частного положения:

а - прямая уровня; б - проецирующая прямая

Проецирующими называют прямые, перпендикулярные к плоскости проекций. Таких прямых три:

-горизонтально проецирующая, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций;

-фронтально проецирующая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций;

14

-профильно проецирующая, перпендикулярная к профильной плоскости проекций.

Плоскость является простейшей поверхностью. На чертеже плоскость может быть задана следующими способами:

-проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 6, а);

-проекциями прямой и точки, не лежащей на ней (рис. 6, б);

-проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 6, в);

-проекциями двух параллельных прямых (рис. 6, г);

-проекциями плоской фигуры - треугольником, кругом, прямоугольником и т. п. (рис. 6, д).

Кроме того плоскость может быть задана следами (рис. 6, е). Следом плоскости называется линия пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций.

Рис. 6. Способы задания плоскости:

а- точками; б - точкой и прямой; в - пересекающимися прямыми;

г- параллельными прямыми; д - плоской фигурой; е - следами

Плоскость может занимать произвольное положение в пространстве. Плоскость, не параллельную и не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения.

Плоскости, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называют плоскостями частного положения. К ним относятся проецирующие плоскости и плоскости уровня.

15

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций называют проецирующей:

-горизонтально проецирующая, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций;

-фронтально проецирующая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций;

-профильно проецирующая, перпендикулярная к профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскости проекций, называются плоскостями уровня:

-горизонтальная - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций;

-фронтальная - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций;

-профильная - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций. Некоторые прямые, лежащие в плоскости, могут занимать в ней особое

положение (рис. 7), например, быть параллельными плоскостям проекций (т. е. быть прямыми уровня). Такие прямые называют главными линиями плоскости.

Кним относятся:

-горизонталь - прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций - прямая h;

-фронталь - прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций - прямая - f;

-профильная линия - прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций - прямая - р.

Рис. 7. Главные линии плоскости: а - линии уровня (горизонталь, фронталь); б - линия наклона (линия наибольшего ската)

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций назы-

вают линии, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные к главным ли-

16

ниям плоскости. В частности, линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называют линией ската плоскости.

Примеры тестовых заданий

Задание 7.

Чертежи плоскостей по-

казаны на рисунках ...

Решение. Плоскость на чертеже задана двумя пересекающимися прямыми и плоской фигурой (треугольником).

17

Задание 8.

Прямая общего положения изображена на рисунке …

Решение. Прямая общего положения - это прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций.

18

Решение. Плоскость на чертеже можно задать: тремя точками, не лежащими на одной прямой, и двумя пересекающимися прямыми.

Решение. Горизонтальной прямой уровня называется прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций. Все точки такой прямой располагаются на одном и том же расстоянии от плоскости П1, т. е. имеет одинаковые высоты. У точки А (20, 20, 10) и точки В (5, 5, 10) координата ZА = ZВ = 10.

Чертеж многогранника. Чертеж поверхности вращения

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Каждый из таких многоугольников называется гранью многогранника, общие соприкасающиеся стороны смежных многоугольников называются ребрами. Совокупность всех граней многогранника называются его поверхностью.

Построение проекции любого геометрического тела сводится к построению проекций некоторых его точек и линий. Линию, ограничивающую проекцию, назовем очерком фигуры. Тогда на основании правил построения изображений каждая точка, расположенная внутри очерка многогранника, явится проекцией множества его точек (не менее двух). На чертеже многогранники изображаются проекциями своих вершин и ребер. При этом невидимые ребра изображаются штриховыми линиями.

Из множества многогранников выделим пирамиды, призмы, правильные

Рис. 8. Многогранники:

а - пирамида; б - призма; в - правильный многогранник (октаэдр)

19

Поверхностью вращения называется поверхность, описываемая кривой (или прямой), образующей при ее вращении вокруг неподвижной оси. Эта поверхность определяется на чертеже заданием образующей и оси вращения (рис. 9). Каждая точка образующей описывает при своем вращении окружность с центром на оси. Эти окружности 1 называют параллелями. Наибольшая из этих параллелей 2 называется экватором, наименьшая 3 - горлом. Кривые, получающиеся в сечении тела вращения плоскостями, проходящими через ось, называются меридианами. Меридиан 4, параллельный фронтальной плоскости проекций, называется главным. Все меридианы равны между собой.

Рис. 9. Геометрические элементы поверхности вращения

На чертеже ось вращения поверхности располагают перпендикулярно к одной из плоскостей проекций (чаще горизонтальной), тогда все параллели проецируются на эту плоскость в истинную величину, причем экватор и горло определяют горизонтальный очерк поверхности. Фронтальным очерком такой поверхности будет меридиан, расположенный во фронтальной плоскости, т. е. главный меридиан.

Различают следующие поверхности вращения:

-поверхности, образованные вращением прямой линии: боковая поверх-

ность цилиндра вращения; боковая поверхность конуса вращения; однополостный гиперболой вращения (рис. 10, а-в);

-поверхности, образованные вращением окружности вокруг неподвиж-

ной оси: сфера; тор (рис. 10, г-д);

-поверхности, образованные вращением кривых второго порядка - эллипса, параболы и гиперболы - вокруг их осей: эллипсоид вращения; параболо-

ид вращения; однополостный гиперболоид вращения; двуполостный гиперболоид вращения (рис. 10, в, е-з).

20