Учебное пособие 1691
.pdfФункция y = f (x), для которой на отрезке [a;b] существует определен-
ный интеграл (3.9), называется интегрируемой на этом отрезке.
Можно показать, что для непрерывной на отрезке [a;b] функции y = f (x)
определенный интеграл существует.
Из определения следует, что определенный интеграл – это число. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования
b |
b |
b |
∫ f (x)dx = ∫ f (z)dz = ∫ f (t )dt . |
||
a |
a |
a |
3.2.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
b
Пусть в определенном интеграле ∫ f (x)dx нижний предел а зафиксиро-
a
ван (постоянен), а верхний b меняется. Тогда будет меняться и значение определенного интеграла, т.е. в этом случае определенный интеграл есть функция
верхнего предела.
Для того чтобы иметь привычные обозначения, верхний предел обозначим через х, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, последнюю обозначим через t (от обозначения переменной интегрирования значение интеграла не зависит). Получим интеграл
x
∫ f (t )dt ,
a
который называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.
3.2.4.Свойства определенного интеграла
1.Если нижний и верхний пределы определенного интеграла одинаковы, то он равен нулю
a
∫ f (x)d x = 0 .
a
2. При перемене местами пределов интегрирования знак у определенного интеграла изменяется
101
b |
a |
∫ f (x)d x = −∫ f (x)d x . |
|
a |
b |
3. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a;b], а С – постоянный |
|
множитель, то |
|
b |
b |
∫C f (x)d x = C ∫ f (x)d x . |
|
a |
a |
4. Если функции f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке [a;b], то опреде-
ленный интеграл от их алгебраической суммы будет равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого
b |
f (x)± g (x) d x = b |
f (x)d x ± b g (x)d x . |
||
∫ |
|
∫ |
∫ |
|
a |
|
|
a |
a |
5. Если функция f (x) интегрируема в наибольшем из отрезков [a;b], [a;c] и [c;b], то она интегрируема в двух других, и имеет место равенство
b |
c |
b |
∫ f (x)d x = ∫ f (x)d x + ∫ f (x)d x , |
||
a |
a |
c |
каково бы ни было взаимное расположение точек a, b и c.
6. Если функция f (x), интегрируемая на отрезке [a;b], неотрицательна и a < b , то
b |
(x)d x ≥ 0 . |
∫ f |
|
a |
|
7. Если функции f (x) и g (x) |
интегрируемы на отрезке [a;b] ( a < b ) и на |
[a;b] f (x)≤ g (x), то |
|
b |
b |
∫ f (x)d x ≤ ∫g (x)d x .
aa
8.Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.
102
x |
′ |
= f (x). |
∫ |
|
|
|
f (t )dt |
|
a |
|
|
3.2.5. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Если F (x) есть какая-либо первообразная от |
непрерывной функции |
||
f (x), то справедлива формула |
|
||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
∫ f (x)dx = F (b)− F (a) |
. |
(3.14) |
|
a |
|
|
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Итак, значение определенного интеграла выражается разностью двух значений любой первообразной подынтегральной функции при x = b и при x = a .
Если ввести обозначение
F (b)− F (a)= F (x)ba ,
то формулу (3.14) можно записать в виде
b
∫ f (x)dx = F (x)ba = F (b)− F (a).
a
2
Пример 3.8. Вычислить интеграл ∫5x4dx .
1
Решение. Сначала найдем какую-нибудь первообразную для функции 5x4 , т.е. вычислим неопределенный интеграл ∫5x4dx , а потом применим формулу Ньютона-Лейбница
2 |
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫5x4dx = 5 x |
|
|
|
= x5 |
1 |
= 25 |
−15 |
=31. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
1 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
103 |
|
|
|
|
3.2.6. Замена переменных в определенном интеграле
b
Пусть для вычисления интеграла ∫ f (x)dx от непрерывной функции сде-
лана подстановка |
a |
|
|||
x =ϕ(t ), |
(3.15) |
||||
|
|
||||
где ϕ(t ) – монотонна и имеет непрерывную производную ϕ′(t ) |
в промежутке |
||||
[ta ;tb ], где ϕ(ta )= a , ϕ(tb )= b . |
|
|
|
||
Согласно замене (3.15) исходный интеграл принимает вид: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
tb |
|
|
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t )) ϕ′(t )dt |
. |
(3.16) |
||
|
a |
ta |
|
|
Формула (3.16) называется формулой замены переменных в определенном интеграле.
Замечание 3.1. При вычислении определенного интеграла методом замены переменных возвращаться к старой переменной х не требуется, так как в интеграле правой части равенства (3.16) пределы интегрирования были изменены и соответствуют новой переменной t.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.9. Вычислить интеграл |
∫ 3 5x + 2dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dt |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 2 =t 5dx = dt dx |
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
27 |
|
1 dt |
|
|
|
|
∫ 3 5x + 2dx = |
|
t1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= ∫ 3 t |
= |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= 5 − |
|
+ 2 =1 |
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5 5 + 2 = 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
27 |
1 |
t |
4 |
|
27 |
4 |
4 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
∫ |
t 3dt = 1 |
|
|
= 1 |
3 273 |
−13 = |
34 |
−1 = |
|
[ |
81 |
−1 = |
80 =12. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5 |
5 |
4 |
|
5 |
4 |
|
20 |
|
|
20 |
|
] |
20 |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104
3.2.7. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Пусть u =u (x) и υ =υ(x) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [a;b]. Для u =u (x) и υ =υ(x) имеет место равенство
(u υ)′ =u′ υ +u υ′.
Следовательно, функция u υ есть первообразная для непрерывной функции u′ υ +u υ′. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем
b |
|
|
|
|
|
ba . |
|
||
∫(u′ υ +u υ′)dx =u υ |
|
(3.17) |
|||||||
|
|||||||||
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя свойство интегралов, перепишем (3.17) в виде |
|
||||||||
b |
|
b |
|
b |
|
||||
′ |
|
′ |
|
(3.18) |
|||||
|
|||||||||
∫u |
υdx + ∫u υ dx = u υ |
|
a . |
||||||
|
|
|
|||||||
a |
|
a |
|
|
|
||||
′ |
|
′ |
|
|
|
||||
Учитывая, что u dx = du , а υ dx = dυ равенство (3.18) представим в виде |
|||||||||
|
b |
b |
|
|
|
||||
|
∫υdu + ∫u dυ =u υ |
|
ba . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
aa
Витоге получим формулу интегрирования по частям в определенном
интеграле
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
∫u dυ =u υ |
|
ba − ∫υ du |
, |
(3.19) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
где u υ |
|
b |
=u (b) υ(b)−u (a) υ(a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
Пример 3.10. Вычислить интеграл ∫6 (2 − x)sin3xdx .
0
Решение.
105
π |
|
|
|
|
|
|
u = 2 − x |
du = −dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(2 − x)sin 3xdx = |
dυ |
=sin 3xdx |
|
|
υ = ∫sin 3xdx |
= |
1 |
∫sin 3xd(3x)= − |
1 |
cos3x |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
− |
cos3xdx =(2 |
|
|
− |
cos3x |
|
6 |
− |
|
sin 3x |
6 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||
|
=(2 − x) − |
3 |
cos3x |
|
|
3 |
∫ |
− x) |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 − |
π |
|
− |
cos3 |
π |
|
( |
|
|
|
|
cos(3 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
π |
|
+ |
sin (3 0)= |
|
|||||||||||||||||
|
= |
6 |
|
3 |
6 |
− |
2 −0) − |
3 |
0) |
9 |
sin 3 |
6 |
|
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
0 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
− |
1 |
1 |
+ |
1 |
0 |
|
= |
2 |
− |
1 |
= |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
−2 |
3 |
1 |
9 |
9 |
|
3 |
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Приложение определенных интегралов к задачам геометрии |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3.2.8. Вычисление площадей плоских фигур |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сначала рассмотрим вычисление площади криволинейной трапеции – |
фигуры, ограниченной прямыми x = a и x =b , снизу осью Ox (прямой y = 0 ) и сверху – графиком непрерывной функции y = f (x)> 0 .
Для определения площади этой фигуры отрезок [a;b] |
разобьем произ- |
|
вольным образом точками x0 = a , x1, x2 ,…, xn =b |
(x0 < x1 < x2 <…< xn ) на n |
|
частичных отрезков [x0; x1], [x1; x2 ], …, [xn−1; xn ] (рис. 3.5). |
|
|
В каждом частичном отрезке [xi−1; xi ], (i =1,2,…,n ) возьмем произволь- |
||
ную точку ci и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f (ci ). |
||
Умножим найденное значение функции f (ci ) |
на длину |
xi = xi − xi−1 со- |
ответствующего частичного отрезка. Произведение |
f (ci )Δxi |
равно площади |
прямоугольника с основанием xi и высотой f (ci ). Сумма Sn |
всех произведе- |
|
ний |
|
|
n
Sn = f (c1 )Δx1 + f (c2 )Δx2 +…+ f (cn )Δxn = ∑ f (ci )Δxi
i=1
равна площади ступенчатой фигуры. Площадь S криволинейной трапеции приближенно равна
n
S≈ Sn = ∑ f (ci )Δxi .
i=1
106
у
y = f (x)
f (ci )
|
c |
c |
ci |
cn |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
О a = |
|
|
|
|
= x |
х |
x0 x1 |
x2 |
xi−1 xi |
b |
|||
|
|
|
|
|
n |
|
Рис. 3.5. Определение площади криволинейной трапеции
Для того, чтобы найти точное значение S, будем неограниченно увеличи-
вать число разбиений ( n → ∞), считая, что d = max xi →0 . Если площадь
i=1,...,n
ступенчатой фигуры Sn будет стремиться к конечному пределу, то этот предел считают равным площади S криволинейной трапеции
|
|
n |
|
b |
|
S = lim Sn = |
lim |
∑ f (ci ) |
xi , т.е. |
S = ∫ f (x)d x |
(3.20) |
d →0 |
d →0 |
i=1 |
|
a |
|
(n→∞) |
(n→∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Рассмотрим случай, когда криволинейная трапеция расположена «ниже» |
|||
оси Ox , т.е. ограничена функцией y = f (x)< 0 |
(рис. 3.6). |
|
|
Так как f (x)< 0 , тогда « − f (x)> 0 ». |
Следовательно, |
формула (3.20) |
|
примет вид |
|
|
|
|
b |
|
|
|
S = −∫ f (x)d x |
. |
(3.21) |
|
a |
|
|
107 |
|
|
у |
|
a |
b |
О |
х |
|
S |
y = f (x)
Рис. 3.6. Вид криволинейной трапеции для функции y = f (x)< 0
Если плоская фигура ограничена сверху и снизу графиками функций y = f2 (x) и y = f1 (x) соответственно и прямыми x = a и x = b (рис. 3.7), то для
вычисления площади используется следующая формула:
|
S = b |
f |
2 |
(x)d x − b |
f |
(x)d x = b f |
2 |
(x)− f |
(x) d x |
. |
(3.22) |
|
|
∫ |
|
∫ |
1 |
∫ |
1 |
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми |
y = c и |
y = d , осью |
Oy и непрерывной кривой x =ϕ(y)> 0 (рис. 3.8), то ее площадь находится по формуле
d |
|
|
S = ∫ϕ(y)d y |
. |
(3.23) |
c |
|
|
Если плоская фигура имеет «сложную форму» (рис. 3.9), то прямыми, параллельными оси Oy или Ox , ее следует разбить на части так, чтобы можно
было применить рассмотренные формулы: (3.20) – (3.23).
108
у
y = f2 (x)
S
y = f1 (x)
О |
a |
b |
х |
Рис. 3.7. Плоская фигура ограниченная сверху и снизу графиками функций y = f2 (x) и y = f1 (x)
у
d
x =ϕ(y)
S
с
О |
х |
Рис. 3.8. Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми y = c и y = d , осью Oy и непрерывной кривой x =ϕ(y)
у
S2
S3
S1
О a |
с |
d |
b |
х |
Рис. 3.9. Плоская фигура «сложной формы»
109
3.2.9. Интегрирование четных и нечетных функций
Пусть функция |
|
f (x) |
непрерывна на отрезке [−a;a], симметричном отно- |
|||||||
сительно точки x = 0 . Покажем, что |
|
|
|
|||||||
a |
|
|
|
a |
(x)d x, |
|
f (x)− четная функция, |
|||
|
|
|
2∫ f |
если |
||||||
∫ |
|
|
|
|||||||
f (x)d x = 0 |
|
|
|
|
|
(3.24) |
||||
−a |
|
|
|
|
|
если |
f (x)−нечетная функция. |
|||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|||
Для этого разобьем отрезок интегрирования [−a;a] |
на части [−a;0] и |
|||||||||
[0;a]. Тогда по пятому свойству определенного интеграла имеем |
||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
∫ |
f (x)d x = ∫ f |
(x)d x + ∫ f (x)d x . |
(3.25) |
|||
|
|
|
|
−a |
|
|
|
−a |
0 |
|
|
0 |
|
f (x)d x сделаем замену x = −t . Тогда |
|
||||||
В интеграле ∫ |
|
|||||||||
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x = −t t = −x |
|
|
0 |
a |
a |
|||
|
|
|||||||||
(x)d x = |
dx = −dt |
|
|
|||||||
∫ f |
|
|
= −∫ f |
(−t )dt =∫ f (−t )dt =∫ f (−x)d x |
||||||
−a |
|
t |
a |
= −(−a)= a |
|
|
a |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
tb = 0 |
|
|
|
|
|
|
(определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования).
Возвращаясь к равенству (3.25), получим
a |
a |
a |
a |
|
∫ |
f (x)d x = ∫ f (−x)d x + ∫ f (x)d x = ∫(f (−x)+ f (x))d x . |
(3.26) |
||
−a |
0 |
0 |
0 |
|
Таким образом, если функция |
f (x) четная, то подынтегральная функция |
в (3.26) примет вид f (−x)+ f (x)= f (x)+ f (x)= 2 f (x), если же функция f (x) нечетная, то подынтегральная функция в (3.26) будет равна нулю, так как f (−x)+ f (x)= − f (x)+ f (x)= 0 . Следовательно, равенство (3.26) принимает
вид (3.24).
Геометрический смысл равенства (3.24) очевиден. Если f (x) – четная
110