Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 2000

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

	x=3
	x
g
o	2
o
l
=
y

0 1 3

x=3

0 3

					3										)
					3									2
					x=							1
											-
											x
										(
										4
									g2
							o
				)			l
				)		=
			3			y										)
			-			y										)
		x													3
		(													-
	g2													x
	g2												(
o											g2
l					2						g2
y=					2					lo
									=
								y

4 x 0

							а)
					)			y
					3
				-
				x
			(
		g
	o			2
	o
	l
	2						)
=							)
=						-
y						3
y					x
					(
				g2
		o
		l
	=
y
4 5						x		0
							в)
y					3
					x=
	y=log\|2 x-3\|

3 4

б)

x=3
y=\|log2(x-3)\|
						)
					3
					-
				x
				(
			g2
		o
		l
	=
	y
3 4						x

г)

					)
				3
			-
			x
			(
		g2
		o
	l
	=
	y
0 2 3 4				x

д) Рис. 48

Функция не обязательно должна быть задана явно – уравнением y

x . Она может

быть определена также неявно – уравнением F x, y

0 или параметрически.

Пусть заданы функции

, непрерывные на некотором промежутке I

число-

вой оси. Уравнения

t ,

называются параметрическими уравнениями кривой

в декартовой прямоугольной системе

координат,

если выполнено следующее условие: для всякого значения параметра t I

точка

t ,

принадлежит кривой

и,

наоборот,

для всякой точки M

x, y

кривой

су-

ществует такое значение параметра t

I , что x

и y

t .

Исключением параметра

из параметрических уравнений уравнение кривой может

быть представлено в неявном виде F

x, y 0 .

Пример 2. Исключением параметра t найти уравнение заданной кривой и построить

эту кривую

a cos t,

a sin t,

0, 2 .

Решение. Если точка M

x, y

такова, что x

a cost и y a sin t для некоторого значе-

ния t

0, 2

, то

a2 cos2 t

a2 sin2 t

a2 ,

т.е. точка M x, y принадлежит окружности x2 y2 a2 , график которой известен. График

также можно получить непосредственно из параметрических уравнений, воспользовавшись таблицей

a 2

3a 2

2a 2

a 2

2a 2

3a 2

и свойствами функций cost

и sin t

при рассмотрении остальных значений параметра t .

3.4. Задачи

Группа А

1. Найти области определения функций.

1)	f	x					lg3x					.

				x			3 lg x				1

3)	f	x				x	3		.
3)	f	x							.
				cos x

5)	f	x			lg x					1	1 .
7)	f	x	arcsin					x		1	.
7)	f	x	arcsin							3	.
										3

					lg		x	1		.
2)	f	x	9	x2			x	1
2)	f	x	9	x2			x	2
							x	2
4)	f	x	lg x	2	3				.


						x		4
						x		4

6)f x arctg 2x .

8)f x lg 2 x x2 .

2x 1

10) f

2 .

x3 1

lg 1 x

2. Найти множества значений функций.

f x

2) f x

x 1 .

f x

4) f x

lg 1 x .

sin x .

2 x 1 .

1 .

2cos x .

arcsin x 2 .

10)

arctgx .

3. Построить графики функций.

3) y 3x2

y 2

2) y 3

x 1

2 .

5) y

6) y

6x 1

2x 4

8) y 2 3

9) y

2x 3

10)

Группа Б

1. Найти области определения и множества значений функций.

												1		x	2
1)	y		ln 1		x .	2)	y	arcsin				1		x	2	.

														2
														2
								arccos			1			2x	.
3)	y		lg 5x		x 2 6 .	4)	y				1			2x
3)	y		lg 5x		x 2 6 .	4)	y
												4
5)	y	e x2		2 .		6)	y	2arccos 1					x .

7)	y	ln 1		2cos x .		8)	y	1	x	.
7)	y	ln 1		2cos x .		8)	y	1	x	.

9)	y		arcsinlg					x	.			10)		y			arccos				2x
9)	y		arcsinlg						.			10)		y			arccos					x2
							10														1	x2
		2. Построить графики функций.

1)	y	lg			x	3 .					2)	y		ln	x		2			.	3)	y
4)	y		x	tg x						.	5)	y		x 1					.		6) y



			x				2							x

7)	y		log1 2 3					x		.	8)	y	21			x		.			9)	y

e	x	2	.	4 x	.

2		sin
				2

arctg x .

10)y x arctg x .

3.Воспользовавшись графиками функций y f x и y g x , построить графики

функций y

x и y

x .

f x

2x 3 , g x

ln x 2 . 2. f x

x , g x

ln x .

1 ,

ex .

x2 ,

sin x .

cos x .

arctg x .

1 ,

2x , g x

cos 2x .

sin x .

8. f

ex .

10.

, g

1 .

4. Построить графики функций y

sign f

, y

f x и y

f x .

3arctg x ; 2.

5sin

3 ; 3.

3cos x ;

0, 25x2

f x

x 1 2 ; 5. f x

2 ; 6. f x

1 ;

2 arcctg x

2 ;

3 ;

1 ;

10.

2sin x

1 .

5. Найти

, если

f x 1 x2

3x 2 ;

2. f x

2 ;

1 x2

, x 0 ;

4. f

x2 ;

f x 1

;

6. f

x 1

;

f x 2

;

8. f x 1

;

x 4

lg x ;

10. f

sin x

cos 2x

tg x .

Группа В

1. Построить графики функций, заданных параметрически.

1)	x	1	t,	2)	x	4 cos3 t,
	y	1	t 2.		y	4 sin3 t.

4)	x	cht,		5)	x	2 t	sint ,
	y	sht.			y	2 1	cost .

7)	x	2R cos2 t, t				2,	2 .
	y R sin 2t.

3)	x	10cost,
	y	sint.

6)	x	5 cos2 t,
	y	3sin2 t.

8)	x	2cost	1,
	y	2sint	3.

1 2sect,

2 .

10)

1 t ,

1 tgt,

t 1 t2 .

2. Воспользовавшись графиками функций

x и y g x , построить графики су-

перпозиций функций y

f g x

и y

f x .

cos x , g

arctg x ,

x2 ;

x ;

arcsin x ,

ln x ;

sin x ,

x2 ;

arcctg x ,

ex ;

arccos x ,

ln x ;

sin x , g

ln x ;

arcsin x ,

x ;

arccos x ,

ex ;

10.

cos x ,

ln x .

3. Для каждой из нижеприведенных функций записать аналитическое выражение, найти

область определения и множество значений, а также построить график соответствующей обратной функции.

1 x2 , 0 x 1;

2. y 2x2

1, x 0 ;

sh x , где sh x

x ;

ch x , где ch x

e x

0 ;

x2 ,

2 ;

th x , где th x

sh x

;

ch x

2 , x

2 ;

10.

, x

4.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

4.1.Определение предела функции

Впервые определение предела функции было дано О.Коши в 1821 г.

Пусть функция

определена на некотором множестве X . Рассмотрим последова-

тельность точек

, сходящуюся к точке a , при этом a может и не принадлежать множест-

ву X . Соответствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют

числовую последовательность

xn .

Определение 1 (по Гейне). Число

A называется пределом функции

f x

в точке a

(при x

a ), пишут lim f

A , если для любой сходящейся к a последовательности значе-

ний аргумента

xn ,

отличных от a , соответствующая последовательность значений функции

сходится к числу A .

Функция

f x

может иметь в точке только один предел, так как последовательность

имеет только один предел.

Определение 2 (по Коши). Число

A называется пределом функции

f x

в точке a

(при x

a ), пишут lim f

A , если для любого числа

0 существует такое число

0 ,

что

для

всех

( x

a ),

удовлетворяющих неравенству

выполняется

Определение 3 (геометрическое определение предела функции). Число A называется

пределом функции f

x ,

если для любой

окрестности точки A найдется такая

окре-

стность точки a , что для всех x

a из этой

окрестности соответствующие значения функ-

ции лежат в

окрестности точки A , т.е. точки графика функции f

лежат внутри полосы

шириной 2	, ограниченной прямыми y	A , y A . Очевидно, что величина зависит
от выбора	(рис. 49).
		Рис. 49
Пример 1. Доказать, что lim sin x		0 .
	x 0

A+

			)
		x
	f(
=
y

A
A-
0	a-	a	a+	x

Решение. Воспользуемся неравенством

sin x

x R . Зададим произвольное

sin x

и положим

. Тогда, если

, то

. Это и означает (согласно определе-

нию предела функции по Коши), что lim sin x

0 .

Пример 2. Доказать, что функция sin x не имеет предела при x

Решение. Докажем, что эта функция не удовлетворяет определению предела функции

при

по Гейне. Для этого укажем такую бесконечно большую последовательность

что

последовательность

sin xn

расходится.

Положим

1 .

Тогда

lim xn

а последовательность

sin xn

1, 1,

1, 1, расходится. Отсюда следует, что

функция sin x не имеет предела при x

Теорема 1. Первое и второе определения предела функции эквивалентны.

В определении предела функции считается, что x стремится к a

любым способом, оста-

ваясь меньше или больше, чем a . Если способ приближения аргумента x

к a

существенно

влияет на значение предела, то рассматриваются односторонние пределы.

Определение 4. Число A называется правым (левым) пределом функции f

в точке a

при x

a , пишут

lim

A (

lim

A ),

если для любого числа

0 существует

такое

число

0 , что

для

всех

X ,

удовлетворяющих неравенству

0 x

(

x a

0), выполняется неравенство

Теорема 2. Для того, чтобы функция

имела в точке a предел, необходимо и доста-

точно, чтобы в этой точке существовали левый и правый пределы и чтобы они были равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам

lim	f x	lim	f x	lim f x .
x a	0	x a	0	x a
Пример 3. Пусть

	f	x	x,		x	0,
	f	x	sin x,		x	0
			sin x,		x	0
и не определена при x 0 . Существует ли lim f				x	?
		x	0
Решение. Вычислим в точке a		0 односторонние пределы функции
f a	0	lim	sin x		lim sin x 0 ;
		x 0	0		x	0
f	a	0	lim	x	lim x 0 .

x 0 0

x 0

Отсюда по теореме 2 следует, что lim f x существует и равен нулю.

4.2.Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение

Функция

называется

бесконечно

малой

при

a ,

если

lim

0 .

x a

Определение

Функция

называется

бесконечно

большой

при

a ,

если

0 такое, что

x X ,

удовлетворяющего условию

, выполняется нера-

венство

M . Пишут lim f

Теорема 1. Для того, чтобы функция f x имела предел при x

a , равный A , необхо-

димо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде f

x , где

- бес-

конечно малая при x

a .

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Теорема 3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой функцией.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых функций является беско-

нечно малой функцией.

Теорема 4. Если функция

f x

- бесконечно большая, то функция 1 f x

является бес-

конечно малой. Если функция

- бесконечно малая и

0 ,

то функция 1 x явля-

ется бесконечно большой.

4.3. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если

C - постоянная,

X , то

lim f

C .

Теорема 2. Если

C ,

и существует конечный или определенного знака

бесконечный предел lim f

, то

lim f

C .

x a

Теорема 3. Если существуют конечные пределы lim f

lim g x ,

то существуют

x a

и конечные пределы

lim

lim f x

lim g

R ;

x a

lim f

x lim g

;

x a

lim f

а если lim g x 0 , то

lim

lim g

x a

Пример 1. Вычислить предел

lim

x 1

Решение. Так как lim

0 и lim

x 1

0 , то этот предел является неопределен-

ностью вида 00 и мы не можем воспользоваться теоремой 3 для предела частного двух функ-

ций. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке x									1 ее аргумент не
принимает значения, равного 1. Поэтому lim	x2	1	lim	x	1	x	1	lim x	1 2 .
принимает значения, равного 1. Поэтому lim			lim					lim x	1 2 .
x 1 x		1	x 1		x	1		x 1


Пример 2. Вычислить предел lim	3	x 2	.

x 1		x 1

Решение. Этот предел, как и в примере 1, является неопределенностью вида 00 . Однако в отличие от примера 1 здесь нельзя непосредственно сократить числитель и знаменатель

дроби на x	1. Поэтому предварительно преобразуем функцию, умножив числитель и знаме-

натель на 3	x 2 - выражение, сопряженное числителю. Получим
						3		x		4								x	1					.


				x		1		3		x	2				x		1		3		x 2
Так как при рассмотрении данного предела аргумент																		x		не принимает значения x 1, то, со-
кращая на x	1, получим

					lim		3			x	2		lim					1				1	.
									x	1											4
																	3	x	2
					x	1							x	1			3	x	2
Пример 3. Вычислить предел										lim	100x2			1			.
Пример 3. Вычислить предел										lim		x2	100				.
									x			x2	100
Решение. Этот предел является неопределенностью вида																										, так как числитель и
знаменатель – бесконечно большие функции при x																			. Разделив числитель и знаменатель на
x2 , получим
			100x2 1					100				1 x2				lim		100			1 x2				100
		lim				lim									x											100 .
		lim	x2 100			lim		1		100 x2										100 x2					1	100 .
		x	x2 100			x		1		100 x2						lim		1		100 x2					1
															x

4.4. Признаки существования пределов

Теорема 1. Если функция

x - неубывающая и ограничена сверху, то существует ее

предел

lim

. Если функция

f x

- невозрастающая и ограничена снизу, то существует

ее предел lim

x .

На основании данного признака доказывается существование второго замечательного

1 x

предела

lim

e , который также записывается в виде lim

1 x

e и используется

x 0

при раскрытии неопределенности вида 1 .

1 3 x

Пример. Вычислить предел

lim

x 1

Решение. Этот предел является неопределенностью вида 1

. Сделаем замену x y 1.

Тогда

3y 2 1 3 y 1 1

lim

3x 1 1

3 x 1

lim

y 2

y 0

Приводим дробь к виду 1

, где

- бесконечно малая функция, и умножаем и делим

степень на

. Получаем

lim	1	2 y

		y 2
y 0		y 2

y 2	2 y	1
					2 y
2 y	y 2 3 y	1 1	lim	1	2 y
			lim	1	y 2
			y 0		y 2

	2 y	1
y 2

	y 2 3 y	1 1
2 y		.
		.

		lim	2 y	1
		lim
Применив второй замечательный предел, преобразуем данный предел к виду	e	y 0 y 2			3 y 1 1	.
	e					.

Полученный предел является неопределенностью вида 00 , поэтому умножаем числитель и

знаменатель на выражение, дополняющее знаменатель второй дроби до разности кубов. Получаем

2 3

1 3

y 1

2 3

1 3

2 y

lim

y 0 y 2

y 1 1

y 0

y 2

Теорема 2 (о пределе промежуточной переменной). Пусть функции

f x

, g x , h x

определены в некоторой окрестности точки a ,

кроме,

быть может, самой точки a

и удовле-

творяют неравенствам

x .

Если при этом

lim g

lim h x

A , тогда и

lim f x

A .

С помощью теоремы о пределе промежуточной переменной доказывается существование

первого замечательного предела

lim

sin x

Теорема 3 (критерий Коши). Функция f

, x

X ,

имеет в точке a конечный предел

тогда и только тогда, когда для любого числа

0 существует такое число

0 , что для

всех точек x

X ,

X , удовлетворяющих неравенствам

, выполняет-

ся неравенство

Теорема 4. Пусть функция f

задана на множестве X , функция g y

- на множест-

ве Y и f

Y . Если существуют конечные или бесконечные пределы

lim f

A ,

lim g

B ,

то

при

существует

предел

(конечный или

бесконечный)

композиции функций

f x

, причем

lim g

y .

4.5. Сравнение бесконечно малых функций

Если функции

бесконечно малы при x

a ,

то lim

(неопределен-

ность вида

)

может равняться либо нулю, либо бесконечности,

либо какому-нибудь числу,

отличному от нуля; наконец, он может не существовать.

Если lim

0 ,

то при x

a функция

быстрее стремится к нулю,

чем

x .

Говорят, что - бесконечно малая более высокого порядка, чем

. Пишут

Если

lim

, то

бесконечно малая более низкого порядка, чем

Пишут

Если

lim

0 , то

- бесконечно малые одного порядка, чем

. Пишут

Особенно важен частный случай, когда lim

1 . В этом случае

называются

x a

эквивалентными бесконечно малыми (при x

a ). Пишут

Если lim

не существует, то

называют несравнимыми бесконечно малыми.

Функция

x a

при

называется

бесконечно малой

первого

порядка.

Если

lim

0 , то бесконечно малую

называют бесконечно малой порядка k .

a k

x a

Пример 1. Вычислить предел

lim

cos x

Решение.

Так

как

cos x

2sin

2 x

из

первого

замечательного

предела следует

lim

sin

x 2

1 , то имеем

x 0

x 2

cos x

2 sin2

x 2

sin x 2

lim

x 2

x 0

Поэтому 1

cos x и x2

2 - эквивалентные бесконечно малые при x

0 . Отсюда следует, что

1 cos x - бесконечно малая второго порядка по сравнению с x .

Из первого замечательного предела, его следствий и следствий из второго замечатель-

ного предела следует при x

0 эквивалентность следующих функций

x sin x tg x arcsin x arctg x ln 1

x ex

Теорема 1. Для того чтобы функции

были эквивалентными при x

a ,

необходимо и достаточно, чтобы

x .

Это условие можно записать в виде

lim

0 . Оно означает, что разность эквива-

лентных бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка.

При вычислении пределов весьма полезной оказывается следующая теорема.

Теорема 2. Если при

a функции

1 x ,

1 x бесконечно малы и

1 ,

1 , то

lim

x a

либо оба предела не существуют.

ln 1

Пример 2. Вычислить предел

lim

0 arcsin 2x

tg 3x

Решение. Поскольку ln 1

x2 ,

arcsin 2x 2x ,

tg3x 3x при x

0 , то

ln 1

lim

0 arcsin 2x tg 3x

2x 3x

4.6. Задачи

Группа А

1. Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения.

lim f

2) lim f x

lim

a .

lim

f x

b .

x a

10)

lim

b .

2. Вычислить пределы функций, используя разложение на множители.

lim

4x2

3x 18

lim

7x2

15x 9

5x2

8x2

x 3 x3

3x 9

3 x3

21x 18

lim

6x2

12x 8

lim

5x2

8x 4

3x2

7x2

x 2

2 x3

16x 12

lim

3x 2

lim

4x2

5x 2

x 1 x3

x 1

3x 2

lim

5x2

8x 4

lim

5x2

8x 4

3x2

x 2

lim

5x 3

10)

lim

5x2

7x 3

4x2

x 1 x3

x 1

1 x3

5x 2

3. Вычислить пределы функций, используя умножение на сопряженное выражение.

1)	lim		1					x		3		.			2)	lim		9				2x		5		.
1)	lim											.			2)	lim										.
	x	8	2					3 x								x	8		3 x				2
			3
3)	lim		3					x	1				.		4)	lim		1				x		1 x				.


			1 x								2x							3 1 x					3	1 x
	x 1		1 x								2x					x 0		3 1 x					3	1 x
				3															3
5)	lim			3			4x		2					.	6)	lim			3		9x		3				.


					2 x							2x							3 x						2x
	x 2				2 x							2x				x 3			3 x						2x

7)	lim				3	16x			4					.	8)	lim		9				2x		5		.

																		3
			4					x				2x										2
	x	4	4					x				2x				x	8			x		2	4
																				x			4


9)	lim			10	x	6		1 x	.
9)	lim								.
	x	8			2	3 x
		4. Вычислить пределы
1)	lim		ln 1		sin x		.
1)	lim						.
	x	0 sin 4 x


10)	lim				3 x 4		1 2			.

				1 2		x		2x
	x		1 2	1 2		x		2x
функций.
2) lim		1	cos 10 x						.
2) lim				ex2					.
x	0			ex2		1

3)	lim			ln 1			7x					.				4)	lim		2sin				x	1					.
3)	lim											.				4)	lim												.
	x	0 sin				x		7									x	0		ln 1			2x
5)	lim			sin 5 x							.					6)	lim				e4x		1							.
5)	lim			e3x							.					6)	lim													.
	x	0		e3x			1										x	0 sin				x 2		1
7)	lim		1		cos x										.	8)	lim		arcsin2x							.
7)	lim							2							.	8)	lim									.
	x	0		e		3x	1	2									x	0 ln e				x		1
	x	0				3x											x	0 ln e				x		1

9)	lim			tg		1	x 2								.	10)	lim				e4 x			1							.
9)	lim			ln 1 x											.	10)	lim		1		cos		x					1			.
	x	0		ln 1 x													x	0	1		cos		x					1
		5. Вычислить пределы функций.
1)	lim			72x			53x						.			2)		lim		62x			7 2x				.
1)	lim												.			2)		lim									.
	x	0		2x		arctg3x												x	0 sin3x				2x
3)	lim			32x			53x		.							4)		lim			35x		2x			.
	x	0 x3				arctg x												x	0 x			sin9x
	lim			12x			5 3x														4x	27 x
5)														.			6)	lim							.
5)														.			6)	lim							.
	x	0		2 arcsin x					x									x	0 tg3x				x
7)	lim			102x			7	x							.		8)	lim				32x			7x							.
7)	lim			2tg x			arctg x								.		8)	lim														.
	x	0		2tg x			arctg x											x	0 arcsin3x									5x
9)	lim			45x			9 2x			.						10)		lim			9x		23x								.
9)	lim									.						10)		lim													.
	x	0 sin x					tg x3											x	0 arctg 2x							7x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.7 Mб6Учебное пособие 1998.pdf
#
30.04.20223.72 Mб4Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб8Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб11Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf