Учебное пособие 800378

4. ОЦЕНКА ЖИВУЧЕСТИ ИНФОРМАЦИОННОТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ 4.1. Информационная система и оценки живучести

Живучесть-способность системы адаптироваться к новым изменившимся и, как правило, непредвиденным ситуациям, противостоять вредным воздействиям, выполняя при этом свою целевую функцию, за счет соответствующего изменения структуры и поведения системы. Свойство живучести позволяет сложной системе сохраняться целостной в экстремальных для нее условиях, приспособиться к ним, изменяя поведение, структуру, зачастую и цель функционирования. В зависимости от класса систем, их сложности, степени организованности, а также от выбранного уровня анализа свойство живучести может оцениваться как устойчивость, надежность, адаптивность, отказоустойчивость

[20].

Задачи анализа сетевых структур большой размерности являются NP-сложными и для их решения часто приходится строить отдельную модель, что сказывается на временных и ресурсных затратах. Исследования в данной области ведутся с середины XX века, и выработано множество подходов для моделирования задач живучести. Основные модели:

-Вероятностные полиномиальные процедурные модели расчета;

-Процедурные модели, построенные с искусственной нейронной сети— ИНС;

-Потоковые модели, основанные на критерии допустимости сетевой информационно-телекоммуникационной системы (ИТКС).

Принципиальная схема функционирования сетевой структуры формализуется известной математической моделью, которая называется многопродуктовой потоковой сетью (МПсетью) и задается с помощью графа.

Так как количество параметров модели велико и, к тому же, может варьироваться в зависимости от используемой

61

модели возникает потребность хранения большого количества данных, т.е. потребность в БД параметрах модели. Кроме того, часто приходится анализировать не только модель самой сетевой структуры, но также и модели чрезвычайных ситуаций (ЧС), при воздействии которых система должна функционировать. ЧС разделяют на внешние и внутренние. Моделирование внутренних рассматривает отказы программных средств, а внешних действия всех ЧС, лежащих вне системы. После параметризации полученные данные по ЧС также нужно хранить в специализированной БД. Ситуация развития сетевой структуры с течением времени приводит к необходимости создания БД готовых решений (или моделей), к которым можно будет вернуться в дальнейшем, не производя параметризацию СИС снова. Информационная СИС (СИС) представляет собой распределенную структуру, размещенную на большой территории. Схема функционирования ее задается с помощью графа, который определяет физическую структуру СИС, его ребра ri соответствуют физическим компонентам информационной СИС (таким, как каналы связи), проложенным от одной вершины графа (узла) Viк другому [20].

Узлы СИС соответствуют источникам/приемникам потоков, либо осуществляют транзитные функции для существующих потоков. Такие вершины графа информационной СИС носят название транзитных. Совокупность ребер, которую надо пройти потоку из вершины Vi до вершины Vjназывается путем (Vi,Vj).

Если для любых двух вершин графа существует путь (Vi,Vj), то граф называется связным (рисунок 4.1а), в противном случае граф не связан (рисунок 4.1б). Каждое ребро, входящее в вершину или исходящее из нее, называется инцидентным этой вершине. Общее количество ребер d(i),инцидентных вершине, называется степенью вершины. Если граф ориентирован, то различают полустепень исхода d+(i)и захода d-(i).

Сечением по ребрам (рисунок 4.1 в) называют наименьшее количество ребер, удаление которых из графа

62

разбивает последний на два несвязанных между собой компонента.

Разбиение множества всех вершин графа на два подмножества называется разрезом по вершинам.

V1 V2=V, (4.1)

Это разбиение определяет разрез по ребрам

где E1 — множество всех ребер, выходящих из вершин V1и входящих в вершины V2.Если элементу графа (ребру, вершине) приписана какая либо физическая величина (например, длина ребра, пропускная способность, задержка обработки информации), эта величина отмечается числом, называемым весом элемента (ребра, вершины) [20].

Рис. 4.1. Примерысвязного(а),несвязного(б)графаи сеченияграфапоребрам(в).

Длина пути между вершинами определяется матрицей расстояний ||Vi,Vj||, выбирается j-й столбец, и суммируются по i все длины ребер, расположенных в столбце. Вершина, расположенная на наименьшем расстоянии от всех остальных вершин, называется медианой графа, медианное расстояние R— радиусом графа. Удаление даже одного ребра увеличивает радиус графа, т.к. в таком случае необходимо отыскать обходной и потому более длинный путь. Таким образом,

63

удаление одного или даже нескольких ребер не всегда уничтожает связность графа. Такое свойство графа носит название живучести.

Удаление всех ребер, инцидентных некоторой вершине, изолирует ее - граф становится не связным, живучесть графа равна нулю.

Для обеспечения наибольшей живучести граф должен строиться с наибольшей степенью d(i)всех его вершин, т.е. полный граф, в котором каждая вершина связана ребром с каждой другой вершиной [20].

Число ребер m вычисляется по формуле:

где n- число вершин.

Каждая вершина имеет максимальную степень d = n-1, но на практике не все вершины нуждаются в подобной «защите», подобный усиленный граф нерентабелен. Необходимо создать такой граф из n вершин, чтобы каждая из них имела заданную ей степень Kαi, i =[1,n].

Решение задачи возможно при использовании «сжимающегося множества» чисел. Некоторое множество чисел {K1, …, Kn} при n>1 реализуется в качестве множества степеней вершин ненаправленного графа G c n вершинами и d = k тогда и только тогда, когда {K1, …, Kn} последовательно сжимаема.

Задается n вершин, строится последовательность чисел n- 1 ,n-2,...,1, из которой и выбираются необходимые значения степени d. Построение графа осуществляется

64

последовательным соединением смежных вершин, не превышая при этом их степени.

На практике, нам не известны ни число источников потоков, ни величины потоков, ни величины концевых задержек при передаче сообщений. Всё, что мы можем сделать - дать вероятностную оценку того или иного параметра. Задержки каналов, узлов, отказы элементов СИС могут привести к изоляции целого участка, но не разрушить ее. СИС останется живучей, но временно бездействующей. Самый непредсказуемый тип воздействия на СИС - внешний (например воздействия, носящие стихийный характер). Значительная часть СИС при таком типе воздействия может быть разрушена, но оставшиеся связанные между собой элементы продолжат функционировать [20].

4.2. Процедурные модели вычисления основных графовых характеристик

K-связность как мера живучести СИС.

Неориентированный граф G=(V,R)называется k-связным относительно пары вершин V',V"ϵV, если после удаления любых k-1 ребер обязательно останется путь, соединяющий вершины v',v". Граф Gназывается k-связным, если он является k-связным относительно каждой пары своих вершин. В k-связном графе для любой пары вершин существует не менее К ребернонепересекающихся путей их соединения. Основываясь на этих определениях, можно поставить задачу синтеза графа гарантированной высокой живучести: задан граф G=(V,R),для каждой пары вершин задано целое неотрицательное число K(v',v").Требуется в графе Gнайти подграф, в котором для любой пары узлов v',v”ϵV существует не менее K(v',v")ребернонепересекающихся путей соединения [20].

Живучесть и диаметр графа СИС.

В реально функционирующих информационных сетях используется ограничение на число переприемов одного сообщения. Соответственно, в модели такой СИС будут

65

считаться связными только те пары узлов (вершин графа), между которыми существует путь, имеющий длину не более заданной. При анализе подобных информационных СИС используется понятие диаметра графа.

Пусть в графе G найдены L{V’, V”} -длины кратчайших путей между всеми парами вершин V’, V” ϵV. Тогда величину Lназывают диаметром графа.

Проблема сложности общей задачи отыскания максимального числа вершинно-непересекающихся путей ограниченной длины L. В данном случае эффективное решение задачи существует только для графов с L< 3. При анализе живучести информационных СИС используют также верхние и нижниеоценки диаметра графа.

Обобщенное понятие диаметра

где х,у —произвольные точки на ребрах графа информационной СИС, а р(х,у)- длина пути в графе между этими точками [20].

Условная связность.

Вершины графа СИС считаются связными, если длина соединяющего их пути не превосходит заданной величины. Например, граф G считается условно связным, если удаление некоторого минимального числа ребер (вершин) оставляет в образовавшихся компонентах присущие исходному графу свойства: планарность, двудольность, заданную степень вершин, и т.д. если критерием связности положить минимальное число ребер, удаление которых в каждой компоненте оставляет некоторое N0 число вершин [20].

обеспечивающих эту живучесть, т.е. проблема стойкости. Стойкость численно равна наименьшей средней стоимости создания новой компоненты связности. Если стойкость графа C(g) ≥C0, то граф содержит не менее C0 ребернонепересекающихся остовных деревьев [20].

Вычисление плотности графа.

Пусть граф G'=(V',R') - подграф графа G. Плотностью p(G') подграфа G'называется отношение мощности множества его ребер к мощности множества его вершин:

Плотные графы являются менее уязвимыми [20].

Сечение и разрез.

Понятия сечения и разреза совпадают, но не всегда. Сечение - более общее понятие. При построении процедурной модели живучести СИС под воздействием ЧС для моделирования полного разрушения структуры пытаются удалить множество таких ребер (vsi, vti), IϵМ, что их удаление из СИС разрушает все пути соединения для всех инцидентных пар. Пропускная способность такого разреза равна сумме пропускных способностей всех входящих в него ребер. Минимальный разрез - разрез с минимальной пропускной способностью (т.е. включающий в себя наименьшее число ребер). При моделировании считается, что именно этот разрез будет подвергнут наибольшему воздействию ЧС и именно этот разрез укрепляют. При разрушении части СИС происходит перераспределение (перемаршрутизация) потоков.

Рассмотренные выше показатели структурной живучести мало представительны: в основу их построения полагается лишь один из многих аргументов целевой функции живучести графа - связность. Таким образом, отыскивается наиболее слабое звено графа, определяется минимальное сечение, которое используется в выражении показателя живучести. Так называемое гарантированное значение живучести графа СИС

67

задается наихудшим состоянием разрушения графа. При удалении ребер одна из вершин графа оказывается в изоляции, однако, если ее заранее объединить с какой-либо устойчивой вершиной, связность графа удастся сохранить. Продолжая далее этот часто употребляемый прием удаления и контракции ребер, сводят исходный граф G к петле. Если всем удалениям ребер обозначить одинаковую вероятность удаления р, то контракция их будет иметь вероятность q=l-p. В результате совокупности всех таких действий создается многочлен из произведений р и q различной степени. Численное значение такого многочлена при заданном значении р принимают за критерий живучести R(G)графа G [20[.

Верхний предел живучести СИС.

Прямой метод рекурсивного расчета полинома Татта для полного графа был предложен Аннаном (Annan). Рассмотрим граф Umr,полученный из Кm добавлением новой вершины vи соединением ее с каждой вершиной Кmс помощью г кратных ребер.

По определению Кmизоморфен Un-1, 1.

Формула соответствует рекурсивному применению формулы удаления/контракции ко всем ребрам, примыкающим к vи объединяющим все изоморфные миноры. Например, применим формулу удаления/контракции к n-1 ребрам, которые инцидентны вершине Кn. Как и в предыдущей процедурной модели, если мы объединим изоморфные миноры с одинаковым расположением ребер, то получим 2(n-1)-n+1 неизоморфных миноров. Однако эта формула предполагает дальнейшее объединение изоморфных миноров с различным расположением ребер. В этом случае мы получаем, что есть только n-1 неизоморфных миноров.

68

получаем из расчета всех T(Uj,k; х,у), таких, что j + k<n-

1[20].

4.3.Потоковая модель исследования живучести

Проведем исследование живучести стохастической сетевой информационной системы. Рассмотрим СИС, определенную связным физическим детерминированным графом, т.е. в ней всегда существует путь между двумя произвольными вершинами этого графа. Известны критерии, позволяющие судить о связности графа. Под воздействием ЧС неизвестной плотности и силы часть вершин и ребер графа потеряли свои функциональные способности (оказались полностью поражены) и граф распался на неизвестное число компонентов. Таким образом, можно положить, что проблема живучести - это проблема связности стохастического графа

[20].

При решении задач анализа стохастического графа определяют:

1.Вероятность распадения исходного графа на р компонентов; как правило, отыскивается вероятность того, что стохастический граф связан Р(р= 1))

2.Вероятность р существования ребра или вершин;

3.Вероятность принадлежности двух вершин одной

компоненте;

4.Верхняя и нижняя границы вероятности существования графа, ребра которого существуют с вероятностью р.

Структура случайного графа описывается множеством вершин {V0,Vn} и множеством элементарных ситуаций {ɛij};i,j= 1...n,где ɛijопределяет событие, состоящее в наличии или отсутствии связи между вершинами Viи Vjчерез ребро {Vi, Vj}.

Определяется вероятность (или распределение вероятностей, если случайные события не являются независимыми) p(ɛij). Если события независимы и

69

равновероятны, граф называется несмещенным, в противном случае - смещенным. СИС должна быть максимально живучей, однако такого математического или даже логического выражения, из которого, варьируя численные значения параметров, можно получить частные решения для разных графов, не существует. Приемлемые значения можно получить для однородных симметрических структур, где граф имеет форму решетки, в которой каждая вершина соединена с ближайшими соседними (рис. 4.2).

В этом случае граф определяется степенью вершины d и правилом соединения одной вершины с соседними. В начальном состоянии граф предполагается связным, т.е. не имеет изолированных вершин. Это означает, что каждой вершине инцидентно по крайней мере одно ребро.

Пусть Qi- событие, состоящее в том, что не существует поврежденных ребер, инцидентных Vi. Объединение событий {Qi},i= 1..n есть событие, что одна вершина графа не имеет поврежденных ребер. Дополнительным событием поэтому служит следующее: каждая вершина имеет, по крайней мере, одно существующее инцидентное ребро [20].

Рис. 4.2. Общая живучесть для d=2, d=3, d=8

Для решетчатых структур общая живучесть определяется

(рис.4.3):

70