Учебное пособие 800620

Рис. 9.8. Корреляционная функция процесса из задачи 6

Определить частотный диапазон, в пределах которого значения спектральной плотности мощности случайного процесса падают не более чем 2 раза относительно её максимума.

Решение

а) функция Bξ (τ) включает много неудобных числовых

констант, поэтому решение следует начать с их замены буквенными обозначениями. Перепишем Bξ (τ) в виде

Bξ (τ) = B0 exp(−α |τ |) cos(ω0τ ),

где B0 = 3,613 В2, α = 600 Гц, ω0 = 2,513 106 рад/c;

б) в соответствии с теоремой Винера-Хинчина корреляционная функция и спектральная плотность мощности СП связаны интегральным преобразованием Фурье, однако простая подстановка в (2.14) из [2, с.27] заданной в условии функции Bξ (τ )

приведет к необходимости громоздких расчетов из-за наличия в составе Bξ (τ) операции взятия модуля τ. В подобных ситуациях

40

полезно вместо (2.14) использовать аналогичное соотношение (2.16) из [2, с.27], которое автоматически устраняет проблему раскрытия модуля, т.к. предполагает интегрирование лишь значений τ ≥ 0.

Помимо использования (2.16) вместо (2.14) полезно учесть свойство №7 из прил. 4 «Спектральные свойства сигналов», которое указывает, что если рассчитать спектр огибающей сигнала

Bог (t) = B0 exp(−α | t |),

то получить спектр самого высокочастотного колебания можно просто за счет переноса копий спектра огибающей на частоты ±ω0; в) рассчитаем спектр огибающей сигнала с рис 9.8, используя (2.14) из [2, с.27] и «отбрасывая» операцию расчета мо-

дуля, т.к. для положительных моментов времени | t | = t :

Для выделения реальной части выгодно и числитель, и знаменатель возникшей дроби домножить на комплексносопряженное значение α − jω . Получаем:

Обратите внимание, что при переходе к интегрированию в пределах от 0 до ∞ обязательно следует использовать удвоеную реальную часть выражения, т.к. при попытке просто удвоения будет получено комплексное выражение 2B0 / (α + jω) , которое

не может соответствовать никакой корреляционной функции!

г) согласно свойству №7 из табл. П.4.2, если какая-либо оги-

бающая со спектром S (ω) домножается на высокочастотное

ог

41

заполнение вида «cos(ω0t)», то спектр соответствующего сигнала будет иметь вид

SВЧ (ω) = Sог (ω +ω0 ) / 2 + Sог (ω −ω0 ) / 2 .

Таким образом, для анализируемого случая получаем

д) график полученной спектральной плотности мощности в небольшой окрестности максимума, приходящегося на час-

тоту в герцах f0 =ω0 / 2π = 4 105 Гц, представлен на рис. 9.9.

Из графика видно, что диапазон частот, в пределах которого значения спектральной плотности мощности уменьшаются от максимума не более чем в 2 раза включает частоты от 399,9 кГц до

400,1 кГц.

Рис. 9.9. Спектральная плотность мощности СП из задачи 6

42

Ответ: (а) спектральная плотность мощности не может принимать отрицательных значений, (б) корреляционная функция обязана быть чётной, (в) значения корреляционной функции не могут по абсолютной величине превышать её значение при τ = 0, (г) не соблюдается требование положительной определенности.

9.2.4. Сопоставьте энергетические показатели процессов с приведенными ниже характеристиками.

Ответ: оба процесса имеют нулевую постоянную составляющую; мощности переменных составляющих равны P1~ = 40 В2 и P2~ = 8 В2. Интервалы корреляции процессов составляют τ1 = = 0,075 мс, τ2 = 3 мс ; соответственно ширина спектра процесса ξ1(t) в 40 раз больше чем уξ2(t).

9.2.5. Спектральные плотности мощности двух эргодических случайных процессов представлены на рисунках ниже. Сопоставьте средние мощности реализаций этих процессов.

Ответ: процесс ξ1(t) имеет в 4 раза большую мощность переменной составляющей, но его полная мощность превышает мощность процесса ξ2(t) лишь вдвое, т.к. у ξ1(t) постоянная составляющая отсутствует, а у второго имеет мощность S0 · f0.

44

9.3. Контрольные задания

Задача 9.1. Полная средняя мощность Pполн реализаций эргодического случайного процесса ξ(t) приведена в левой колонке приведенной ниже таблицы. В центральной колонке указана дисперсия этого случайного процесса. Определить параметры α и β, соответствующие корреляционной функции данного процесса, показанной в правой колонке табл. 9.1.

45

46

Задача 9.2. По представленной в табл. 9.2 спектральной плотности мощности эргодического случайного процесса ξ(t) определить постоянную составляющую реализаций этого процесса и его дисперсию Dξ.

47

48