Учебники 80131
.pdfc0 , во втором – за c1 и т.д. Значит, коэффициент c0 можно найти из первого уравнения и подставить его в остальные. Тогда c1 можно получить из второго уравнения и т.д.
В общем случае для функции n аргументов получается система треугольного вида из 2n линейных уравнений с 2n неизвестными – коэффициентами многочлена Жегалкина.
Пример 12. Найдем многочлен Жегалкина булевой функции, заданной таблицей истинности, последовательно вычисляя коэффициенты многочлена и подставляя их в остальные уравнения.
X Y Z |
f |
c0 |
|
c1Z |
c2Y |
c3YZ |
c4 X |
c5 XZ c6 XY c7 XYZ |
|
0 0 0 |
0 |
c0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
0 |
0 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
0 |
0 |
0 |
c2 |
|
|
|
|
|
0 1 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
c3 |
|
|
|
|
1 0 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
100 |
c4 |
|
|
|
1 0 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
101 |
0 |
c5 |
|
|
1 1 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
110 0 |
110 |
c6 |
|
|
1 1 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
111 |
0 |
111 |
111 |
c7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из первого уравнения следует, что c0 |
0 Из второго и |
третьего уравнений следует, что c1 0 и c2 |
0 , значит, c1Z и |
c2Y тождественно равны нулю. Из четвертого уравнения по- |
|
лучаем: c3 1, значит, надо вычислять значения конъюнкции |
c3YZ в остальных уравнениях. Аналогично получаем: c4 0 ,
c5 |
1, |
c6 1 и c7 0 . Таким образом, найдены все коэффици- |
||||
енты |
многочлена |
Жегалкина |
и |
сам |
многочлен |
|
P |
YZ |
XZ XY . |
|
|
|
|
19
9. РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫЕ СХЕМЫ
Рассмотрим одно из приложений логики высказываний
– применение ее к теории электрических цепей, а именно к контактным схемам.
Релейно-контактной схемой называется схематическое изображение некоторого дискретного устройства из проводников и контактов, связывающих полюса источника тока.
Пусть x1, x2 ,..., xn – набор контактов в электрической
схеме. Контакты могут быть размыкающими и замыкающими. Контакт называется размыкающим, если он размыкается при подаче напряжения на обмотку реле, к которому он подключен, а когда напряжение не подается, контакт замкнут. Контакт называется замыкающим, если он замыкается при подаче напряжения на обмотку реле, к которому он подключен, а когда напряжение не подается, контакт разомкнут. В схеме один и тот же контакт может неоднократно быть как
размыкающим, так и замыкающим. Будем считать, что xi |
1, |
если на обмотку контакта xi подается напряжение, и xi |
0 в |
противном случае. |
|
Основные булевы функции можно интерпретировать с помощью простейших релейно-контактных схем. Каждый контакт xi моделирует одночлен Xi , последовательное со-
единение релейных контактов – конъюнкцию Xi X j , а параллельное соединение – дизъюнкцию Xi X j .
20
xi |
xj |
Xi X j
xi
xj Xi X j
Простейшие релейно-контактные схемы можно соединить в сложные. Каждой последовательно-параллельной схеме с контактами x1, x2 ,..., xn поставим в соответствие ее функ-
цию проводимости f X1, X 2 ,..., X n , которая принимает зна-
чение 1, если схема проводит ток, и значение 0 – если не проводит. Заметим, что две схемы считаются эквивалентными, если их булевы функции равносильны.
Задача анализа релейно-контактной схемы состоит в построении булевой функции для заданной релейно-контактной схемы и сводится к выделению всех путей между входными и выходными полюсами схемы. Каждый такой путь соответствует конъюнкции переменных, обозначающих путь, а вся схема соответствует дизъюнкции этих конъюнкций, т.е. дизъюнктивной нормальной форме булевой функции.
Задача синтеза релейно-контактной схемы состоит в построении релейно-контактной схемы для булевой функции
f X1, X 2 ,..., X n , которая может быть задана как формулой,
так и таблицей истинности. Для построения схемы надо предварительно булеву функцию преобразовать так, чтобы она содержала только логические связки дизъюнкции, конъюнкции и тесные отрицания. Основной задачей синтеза ре- лейно-контактных схем является построение оптимальной схемы, эквивалентной заданной, т.е. схемы, состоящей из
21
меньшего числа элементов, что упрощает и удешевляет конструкцию. С математической точки зрения эта основная задача сводится к процедуре минимизации булевых функций, т.е. к такому их представлению, в котором формулы содержат минимальное число вхождений переменных.
Пример 13. Составить релейно-контактную схему для
|
|
|
функции, заданной формулой X Y |
Z . |
Решение. Исключая логическую связку эквиваленции и переходя к тесным отрицаниям, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X Y Z |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
X Y Z |
|
|
|
X Y Z |
X Y Z |
|
X Y Z |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
X |
|
Y |
Z |
X |
Y |
Z . |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, релейно-контактная схема имеет вид:
X
X Y
Y
Z
Z
Пример 14. Упростить релейно-контактную схему:
22
|
Y |
Y |
X |
|
Z |
|
Z |
X
Y
Решение. Запишем функцию проводимости и упростим
ее:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y Y Z X |
X Z Y |
|
|
X |
Y Y Z |
Z Y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
X Y Y Z |
|
Y Z |
X Y |
Z . |
|
Тогда эквивалентная схема будет иметь вид:
Z
X
Y
Упражнения
1. Определить, является ли данная последовательность формулой и построить для формул таблицы истинности.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) (X1 |
X2)X3 X1 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ( X1 |
X2) |
(X3 X1); |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (X1 |
|
X2 ) |
|
X3 ; |
23
г) ((X1 X 2 ) X3 ) X1;
д) (X1 X2 ) (X2 X3 ) .
2. Являются ли формулы тавтологией? Выполнимыми? Опровержимыми? Тождественно-ложными?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) (X1 |
|
X2) |
((X1 |
|
|
X 2 ) |
X1); |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) (X1 |
X2) |
(( X1 |
X2) |
(X1 |
X 2 )); |
|||||||||
в) ((X1 |
|
X2) |
X3) |
((X1 |
X2) |
(X1 X3)). |
||||||||
3. Доказать равносильности: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) X1 |
( X1 |
X2) X1 |
X2; |
|
|
|||||||||
б) X1 |
(X1 |
X2) (X3 |
X2) (X1 X3) (X1 X2); |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) (X1 |
|
X2 ) X1 |
X2 ; |
|
|
|
||||||||
г) X1 |
|
|
|
X1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
4.Для равносильностей а) и б) из задачи 3 выписать равносильности для двойственных формул.
5.Построить таблицу истинности для формул, двойственных к данным:
|
|
|
|
|
|
|
а) ( X1 |
X2) |
( X1 (X2 X1)); |
||||
|
|
|
|
|
|
|
б) ( X1 |
X2) |
X 3 . |
6. Привести к ДНФ или КНФ формулы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ((X |
|
Y) |
|
|
(Z |
|
X )) |
( Y |
|
|
Z ); |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) ((X |
|
Y) |
|
|
|
X ) |
|
|
(X |
(Y |
|
|
X)); |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ((X |
|
Y) |
X) |
((X |
Y) |
|
Y) ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) (X |
|
Y) |
|
|
((Z |
X) |
Y) ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) (X |
Y) |
(Y Z) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ((X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X)) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Y) |
(Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ж) (X |
Y)(X |
|
|
|
|
|
Y) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
з) (X Z) (X Y) ;
и) (X (Y Z)) ((X Y) Z) ;
к) ((X Y) (Y X)) .
7. Найти СДНФ и СКНФ для формул:
а) (X Y) Z ;
б) X ( Y Z);
в) X (Y Z);
г) ( X Y) ( X Z).
8. Построить многочлен Жегалкина для следующих
формул: |
|
|
|
|
|
|
|
а) X |
Y; |
|
|
|
|||
б) (X |
Y) |
Z; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (X |
Y) ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
г) (X |
Y) |
Z ; |
|||||
д) (X |
Y) |
|
Z; |
||||
|
|
|
|
||||
е) (X |
Y) |
Z . |
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Y |
Z ; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) X |
|
Y; |
|
||||||||||||||
в) X |
Y; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) Y |
|
(X |
Z); |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) X |
|
|
Y ; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е) X |
|
Y; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ж) X |
|
|
|
Y; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
з) X |
|
Z ; |
|
||||||||||||||
и) (X |
|
Y) |
Z; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
к) ( X |
|
|
|
|
Y ) |
(X Y). |
8.
а) X + Y + 1;
б) XYZ + XY + 1; в) XY + 1;
г) X + Y + Z + 1;
д) XZ + YZ + Z + X + Y;
е) XYZ + YZ + XZ + YX + X + Y .
26
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Леденева, Т.М. Специальные главы математики. Дискретная математика / Т.М. Леденева. – Воронеж: Воронеж.
гос. техн. ун-т, 1997. – 130 с.
2.Мендельсон, Э. Введение в дискретную математику / Э. Мендельсон. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
3.Мощенский, А.М. Лекции по математической логике / А.М. Мощенский. – Минск: Изд-во БГУ, 1973. – 160 с.
4.Нефедов, В.Н. Курс дискретной математики / Нефедов В.Н., Осипова В.А. – М.: Изд-во МАИ, 1992. – 262 с.
5.Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику / С.В. Яблонский. – М.: Наука, 1979. – 272 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………1
1. Формулы логики высказываний……………………………..1
2. Булевы функции………………………………………………6
3.Равносильные формулы……………………………………...7
4.Двойственность……………………………………………….9
5.Нормальные виды формул………………………………….11
6.Совершенные нормальные формы…………………………12
7.Многочлены Жегалкина…………………………………….15
8.Алгоритмы построения многочлена Жегалкина……….....17
9.Релейно-контактные схемы………………………………...20
Упражнения…………………………………………………….23 Ответы…………………………………………………………..26
Библиографический список…………………………………...27
27
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы по дисциплине
«Математика» для студентов направления 11.03.01 «Радиотехника», профиля «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов», специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», специализации «Радиоэлектронные системы передачи информации», направления 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств», профиля «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», направления 12.03.01 «Приборостроение», профиля «Приборостроение» очной формы обучения
Составители: Ускова Наталья Борисовна
Бондарев Алексей Владимирович Пашуева Ирина Михайловна Ряжских Александр Викторович
В авторской редакции
Подписано к изданию 03.10.2017 Уч.-изд. л. 1,6.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
28