Лабораторна робота Форма орбіти та рух ШСЗ за законами Кеплера

Рух супутника на орбіті визначається другим і третім законами Кеплера. У

другому законі Кеплера зазначається, що за рівні проміжки часу радіус-вектор супутника описує площі рівних секторів. Інакше кажучи, що секторіальна швидкість супутника є стала. Це можна довести, якщо розглядати рух ШСЗ у системі координат O , жорстко скріпленій з площиною орбіти (рис. 3). Дві осі,

О і O лежать у площині орбіти, тоді третя O – направлена перпендикулярно до площини орбіти по вектору інтеграла площ с. Вісь О направлена у точку перигею.

x

Рис. 3. Зв’язок систем координат O і Oxyz.

У вибраній орбітальній системі координат (рис. 3) інтеграли площ

отримаємо з виразу

де i , j , k - орти відповідних осей орбітальної системи координат. Розкриваючи визначник і прирівнюючи вирази при однакових ортах, отримаємо

. (36)

r c2 f 0

Вполярних координатах друге рівняння системи (36) після підстановки

r cos v прийме вид

де p – параметр кривої, е – ексцентриситет. Параметр орбіти (для еліптичного руху – фокальний параметр) можна виразити через велику піввісь орбіти

В залежності від ексцентриситету е плоска крива другого порядку може приймати різну форму і значення інтегралів c, f i h при цьому також змінюються. Дослідимо, які значення приймає інтеграл енергії V 2 2 r h при різних ексцентриситетах е. Для цього використаємо рівняння зв’язку перших семи інтегралів (25), в якому враховуючи позначення (37), отримаємо

В еліптичному русі 0 e 1, тоді на основі (40) h 0 , і з інтегралу енергії виходить, що

V 2 2 r .

Це означає, що кінетична енергія руху супутника менша за його потенціальну енергію. Для окремого випадку, коли e 0 , із (40) маємо

При коловому русі радіус орбіти r p a . Враховуючи це і підставляючи

(41) в інтеграл енергії, отримаємо

Таким чином, при параболічному русі кінетична і потенціальна енергії супутника однакові. Для Землі це відбудеться при швидкості супутника то V = 11,2 км/с.

В теорії руху ШСЗ прийнято колову швидкість супутника називати першою

космічною швидкістю, а параболічну – другою космічною швидкістю.

В цьому випадку визначальну роль відіграє кінетична енергія супутника, вона більша від потенціальної енергії.

Динамічний інтеграл. Всі, отримані вище, інтеграли (12), (18) і (23) не можуть бути загальним розв’язком системи диференціальних рівнянь незбуреного руху (6), тому що не містять час у явному виді. Інтеграл, який дає в явному виді залежність положення ШСЗ на орбіті від часу t отримаємо інтегруванням виразу для інтеграла площ (33), підставляючи туди рівняння

орбітальної кривої (38), маємо

Інтеграл в лівій частині виразу (45) залежить від того, яке значення приймає ексцентриситет орбіти е.

Оскільки ШСЗ, як правило, має еліптичну орбіту 0 e 1, тому розглянемо тільки цей випадок. Для обчислення інтеграла (45) вводять нову змінну на основі тангенса половинного кута за формулою

Після диференціювання (46), підстановки у (45) і інтегрування отримаємо

Це рівняння називається рівнянням Кеплера. Воно зв’язує допоміжну змінну,

якою є ексцентрична аномалія Е, середню аномалію М, момент проходження супутника через перигей і час t.

Згідно з формулою (49) середня аномалія М зростає прямо пропорціонально часові і визначає положення деякого фіктивного супутника, який рухається рівномірно по колу радіуса великої півосі а з періодом T, що дорівнює реальному.

Реальний супутник рухається по еліпсу і відповідно з другим законом Кеплера має максимальну швидкість в перигеї і мінімальну в апогеї.

Нехай супутник має період обертання Т. Тоді з рівнянь (49) і (50) виходить ,

що при повному оберті ШСЗ отримаємо 360 nT , звідси

Таким чином, n – середня кутова швидкість рухомої точки. В небесній механіці її називають середнім рухом.

Підставимо у формулу (51) замість n вираз (48) і після перетворень отримаємо

Ця формула відображає третій закон Кеплера, згідно з яким в еліптичному незбуреному русі відношення квадрата періоду Т обертання супутника по орбіті до куба її великої півосі а є величина стала для даної планети.

Рух ШСЗ за законами Кеплера є найпростішою моделлю орбітального руху супутника і називається кеплерівським або незбуреним рухом. Необхідною умовою виконання законів Кеплера є припущення, що Земля (центральне тіло) і

супутник - це матеріальні точки з масами рівними масам Землі і супутника відповідно. У цьому випадку супутник рухається під дією тільки двох сил -

гравітаційного притягання Землі та прискорення супутника.

Зміст роботи

Згідно в зазначеним вище, за модель Землі приймаємо кулю з середнім радіусом R = 6371.1 км і геоцентричною гравітаційною сталою = 398600.5

км3/с2. Ці параметри є вихідними для розв’язування задач.

Задача 1. Побудувати схематично еліптичну орбіту та її проєкцію на небесну сферу за такими параметрами:

-довготою висхідного, вузла орбіти ;

-кутом нахилу орбіти і;

-аргументом перицентру

та показати положення супутника на орбіті коли, відома його істинна аномалія v.

Результатом цієї задачі є схематично побудований рисунок, на якому за даними свого варіанту (параметрами орбіти , і, і v) нанесені параметри орбіти подібно до рис. 1.

Задача 2. Для ШСЗ на коловій орбіті обчислити три з наступних чотирьох величин: радіус орбіти r, період T, лінійну швидкість супутника V, висоту орбіти

H, якщо одна з цих величин відома. Виконати обчислення для таких трьох випадків:

а) відома висота орбіти H;

б) заданий середній рух n;

в) відомий період орбіти T для випадку, коли ШСЗ має геоcтацioнарну орбіту.

Формули для розв’язку задачі.

Випадок а). Якщо відома висота орбіти H, то можна обчислити радіус колової орбіти r, оскільки відомий радіус R сферичної моделі Землі

За відомим радіусом орбіти отримаємо лінійну швидкість супутника за формулою (42)

V r .

Тут досліджуємо колову орбіту, тобто e 0 , значить велика піввісь а дорівнює радіусу орбіти r, а саме: a r . При такій умові застосуємо третій закон Кеплера

T 2 4 2 .

a3

Звідси обчислимо період обертання супутника Т

За результатами обчислень необхідно зробити рисунок, на якому показати: Землю у вигляді сфери і колову орбіту ШСЗ. За одиницю масштабу прийняти радіус Землі R. Одиниця масштабу вибирається довільно (2-3 клітинки зошита або 1-1,5 см). На рисунку позначити: радіус Землі R , радіус колової орбіти r і висоту орбіти H, наприклад:

s

H

r

O R

Випадок б). Дано середній рух n в обертах за добу. Тривалість доби 24

години або 86400 секунд. Виходячи з формули (51) запишемо

Звідси період обертання супутника

86400s

T . n

За відомим періодом T з третього закону Кеплера отримаємо велику піввісь орбіти

Так як орбіта колова, то r a , і тепер висота орбіти Н і лінійна швидкість ШСЗ обчисляться за відомими вже формулами

попередній, за винятком першої формули, тому що період Т обертання ШСЗ нам вже відомий. Тільки одне застереження: перед обчисленням великої півосі орбіти супутника за формулою (55) необхідно період Т руху ШСЗ, заданий в годинах,

Задача 3. Для ШСЗ, який знаходиться на еліптичній орбіті необхідно обчислити: період Т, радіус-вектор супутника r, висоту H і лінійну швидкість ШСЗ в точкак периґею VП, апогею VА і в точці орбіти Vо із заданою дійсною аномалією v, якщо відомо велику піввісь орбіти а та ексцентриситет е.

іФормули для розв’язку задачі.

p a 1 e2 ,

де р – фокальний параметр.

До задачі необхідно зробити рисунок, на якому кут істинної аномалії v,

повинен відповідати значенню, заданому у вихідних даних.

Література

1.Космическая геодезия: Учеб. Для вузов / В Н. Баранов, Е. Г. Бойко, И. И.

Краснорылов и др. – М.: Недра, 1986. - 407 c.

2.М. Бурша. Основы космической геодезии. Ч. 1. Геометрическая космическая геодезия.- М.: Недра, 1971. – 128 с.