Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / 178
.pdfПостулаты классической механики. Преобразования координат Галилея.
Постулаты классической механики.
Механикой называется часть физики, изучающая движение и взаимодействие материальных тел. При этом механическое движение рассматривается как изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве.
|
Пространство |
|
Время |
|
|
|
|
1. |
Трехмерное |
1. |
Одномерное |
2. |
Евклидовое |
2. |
Евклидовое |
3. |
Однородное |
3. |
Однородное |
4. |
Изотропное |
4. |
Необратимое |
5. |
Континуальное |
5. |
Континуальное |
|
|
|
|
Однородность пространства означает, что его свойства не зависят от расстояния до наблюдателя. Однородность времени означает, что оно не растягивается и не сжимается, а течет равномерно.
Изотропность пространства означает, что его свойства не зависят от направления. Поскольку время одномерно, то об изотропности его говорить не приходится. Время в классической механике рассматривается как «стрела времени», направленная из прошлого в будущее. Оно необратимо: нельзя вернуться в прошлое и что-то там «подправить».
И пространство, и время континуальны (не-прерывное, сплошное)
Преобразования координат Галилея.
Система отсчета - тело или совокупность тел, которые условно считаются неподвижными и относи-тельно которых рассматривается движение изучаемого тела.
Различают инерциальные и неинерциальные системы отсчета
(соответственно ИСО и НИСО). ИСО – это такие системы отсчета, которые либо покоятся, либо двигаются прямолинейно и равномерно (без ускорения). В противном случае мы имеем дело с НИСО.
Принцип относительности Галилея:
Во всех инерциальных системах отсчета все законы механики одинаковы (т. е. описываются одинаковыми уравнениями).
Итак, для выявления всех тонкостей механического движения достаточно знать законы движения тел в ИСО. Поскольку различные ИСО могут относительно друг друга двигаться с постоянными скоростями, нам нужно уметь переходить от пространственно-временного описания движения тела в одной ИСО к описанию этого движения в другой ИСО.
Пусть, например, ИСО S′движется с постоянной скоростью V вдоль положительного направления оси x ИСО S. Тогда, как легко видеть из рис. 1.1, радиус-векторы некоторой точки P в системе S′и в
системе S связаны соотношением r′ = r − r0 , где r0 – радиус-вектор на-
чала системы S′, проведенный из начала системы S , которую мы условно считаем неподвижной.
(S) |
y |
(S ) |
y |
|
|
|
|
V |
P |
0 |
r |
|
|
r |
|
|
|
||
r0 |
|
0 |
x, x |
|
z |
|
|||
|
z |
|
|
Рис. 1.1. К выводу преобразований Галилея
Разложим обозначенные на рис. 1.1 радиус-векторы по координатам:
r′ = ix′+ jy′+ k′, r = ix + jy + kz, r0 = ix0 + iVt,
где i , j ,k – единичные векторы (орты) направлений x, y, z. Они, ес- |
||||
тественно, |
совпадают с ортами направлений x , y |
′ |
,z |
, так как |
|
′ |
′ |
|
|
x′ x, y′ y |
z′ ,z . Далее, используя выражение r′ = r − r0 , получаем |
x′ = x −Vt, |
|
|
y′ = y, |
(1.4) |
|
z′ = z, |
||
|
||
t′ = t. |
|
Формулы (1.4) носят название преобразований Галилея. Естественно, если скорость переноса V системы S′ относительно системы S имеет другое направление, то выражения (1.4) имеют иной вид.
Законы Ньютона.
Законы Ньютоны выполняются лишь в ИСО.
Первый закон Ньютона
Если на тело не действуют никакие силы или их равнодействующая равна нулю, то оно сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения.
∑Fi = 0 a = 0.
i
Второй закон Ньютона
Производная импульса тела по времени равна результирующей силе, действующей на это тело.
dp = F. dt
Для частного случая движения тела с постоянной массой (m = const), принимая во внимание (1.2), (1.3), получаем известную из школьного курса физики форму записи второго закона Ньютона: ma = F.
Третий закон Ньютона
При взаимодействии двух тел сила, с которой первое тело действует на второе, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.
F12 = −F21.
Сложение скоростей.
Сложение ускорений.
|
|
|
|
|
aотн = a абс +aпост + aК + aцб , |
|
|
|
где a |
= dv |
dt |
− относительное ускорение, a |
= dv |
dt − абсо- |
|||
|
отн |
отн |
|
|
|
абс |
абс |
|
лютное |
ускорение, a |
|
= −dV dt − поступательное |
ускорение |
||||
|
|
|
|
пост |
|
|
|
|
(в случае, если V ≠ const ), aK = −2[ωvотн ] − кориолисово ускорение, на- |
||||||||
a |
= − ω[ωr′] |
− |
цен- |
|
|
|
|
|
цб |
|
|
|
|
|
|
|
тробежное ускорение. Вам оно больше известно в виде, приводимом в школьных учебниках физики: aцб =ω2r или aцб = v2 / r . Приведенное здесь векторное выражение является более общим, так как определяет не только численное значение центробежного ускорения, но и его направление.
Центр масс. Поступательное движение.
Под центром масс (центром инерции) системы материаль-
ных точек понимают точку, радиус-вектор которой
|
∑iN=1 mi ri |
|
1 |
N |
|
|
rC = |
|
= |
|
∑mi ri |
, |
|
N |
|
|||||
|
∑i=1 mi |
|
m i=1 |
|
|
где mi и ri – соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки, а m – масса всей системы.
Поступательное движение твердого тела
Под абсолютно твердым телом в механике понимают такое тело, взаимное расположение точек которого не изменяется со временем, а также в процессе движения.
При поступательном движении твердого тела все его точки в любой момент времени будут двигаться параллельно друг другу с одинаковой скоростью и одинаковым ускорением.
Вращательное движение твердого тела
Вращение материальной точки. Рассмотрим вращение твердо-
го тела вокруг неподвижной оси z, проходящей через его центр инерции О.
Вращательное движение
ω = ddtϕ k – угловая скорость
ε = dω = d 2ϕ2 k – угловое ускорение dt dt
I = ∫ρr2dV – момент инерции
V
L = Iω – момент импульса
M = rF = dL – момент силы dt
Iε = M – основное уравнение динамики для случая I = const
K = Iω2 2 – кинетическая энергия
Теорема Нетер.
Если система сохраняет свои свойства при каком-либо преобразовании переменных, то в ней действует закон сохранения некоторой физической величины, связанной с данным преобразованием.
Закон сохранения импульса.
Полный импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.
Закон сохранения момента импульса
Полный момент импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.
Закон сохранения механической энергии
Полная механическая энергия замкнутой системы, равная сумме ее кинетической и потенциальной энергий, при наличии только консервативных сил остается постоянной:
E = K +U = const.
Опыт Майкельсона - Морли. Постулаты релятивистской механики.
[Опыт Мейк: вырожение скорости света в чистом виде]
Постулаты:
Все физические явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета.
Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Преобразования координат Лоренца.
Преобразования координат Галилея основаны на предположении, что длина тела и время являются инвариантами.
Это предположение вытекаетиз здравого смысла и опыта повседневной жизни, нооно терпит фиаско при обращении к большим скоростям движения.
Релятивистские эффекты.
Релятивистские эффекты - явления, наблюдаемые при скорости света. К ним относятся: сокращение масштабов, замедление времени.
|
|
|
|
|
|
τ0 |
|
|
|
L = L0 1− β |
2 |
. |
τ = |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
1− |
|
|||||||
|
|
|
|
|
β2 |
Четырехмерное пространство-время Минковского.
Это 4-й координатой является время. Пространственно-временной интервал:
Релятивистский закон сложения скоростей.
Релятивистские выражения для импульса.
Релятивистские выражения для энергии. Взаимосвязь массы и энергии.
E = |
m c2 |
|
1− β2 |
|
|
|
0 |
|
Энергия системы, из каких бы видов энергии она не состояла пропорциональна ее массе.
∆m = ∆E / c2
Характеристики электрического и магнитного полей
Напряженностью электрического поля в некоторой его точке называется физическая величина, равная отношению силы, с которой это поле действует на положительный заряд, помещенный в данную точку, к величине этого заряда:
|
F |
(вольт на метр). |
|
E = |
|
. |
|
Q |
|
Индукция электрического поля является силовой характеристикой электрического поля в веществе и в однородном изотропном диэлектрике связана с его напряженностью следующим образом:
|
|
(кулон на метр в квадрате). |
D = ε0εE, |
Потенциалом электрического поля в некоторой его точке называется величина, численно равная работе, совершаемой полем при удалении единичного положительного заряда из данной точки поля в точку, где его потенциальная энергия равна нулю (например, в бесконечно удаленную точку):
|
A |
|
(вольт). |
|
ϕ = |
Q . |
|||
|
Индукцией магнитного поля в некоторой его точке называется величина, равная отношению максимального вращательного момента, действующего на малый контур с током, помещенный в данную точку, к магнитному моменту этого контура:
B = |
Mmax . |
(тесла). |
|
pm |
|
Напряженность магнитного поля является силовой харак-
теристикой магнитного поля в веществе и в однородном изотропном магнетике связана с его индукцией следующим образом:
H = µBµ , (ампер на метр).
0
где µ0 = 4π 10−7 ≈12,56 10−7 Гн/м – магнитная проницаемость вакуума