Учебники / Акуленок М.В. Статистическое управление процессами. Индикаторные показатели
.pdf
Решение проблем - процесс продвижения от признаков к причинам (особым или обыч- ным) для непрерывного совершенствования. Основные методы решения проблем - диа- граммы Парето, причинно-следственные диаграммы и другие методы статистического управления процессами.
Стабильный процесс - процесс, находящийся в статистически управляемом состоянии. Стабильность - отсутствие особых причин изменчивости. Это основное свойство стати- стически управляемого процесса.
Статистически управляемое состояние - это состояние процесса, в котором удалены все особые причины изменчивости, а наблюдаемая изменчивость может быть объяснена дей- ствием системы постоянных случайных причин. Такое состояние означает, в частности, отсутствие точек за контрольными границами и трендов в рамках контрольных границ. Следует различать статистически управляемое состояние процесса и отсутствие призна- ков неуправляемости, которое может быть связано с неверно выбранными промежутками времени между выборками, в течение которых особые причины могут как появляться, так и исчезать.
Стандартное отклонение распределения значений характеристики процесса, выра-
женной в виде некоторой статистики σ. Стандартное отклонение конкретной статистики,
основанной на выборках, обычно обозначают соответствующим индексом, например, σ Х - стандартное отклонение распределения средних для подгрупп; σR - стандартное откло- нение распределения размахов подгрупп; σр - стандартное отклонение распределения до-
лей несоответствующих единиц и т.д. Обозначение σˆ соответствует оценке стандартного отклонения. Обозначение оценки стандартного отклонения может быть уточнено, напри-
мер, σˆT - оценка стандартного отклонения (полной изменчивости) процесса на основе вы-
борочного стандартного отклонения объединенной выборки индивидуальных значений
относительно среднего значения объединенной выборки; σˆ I - оценка стандартного откло- нения (собственной изменчивости) стабильного процесса по среднему размаху или сред- нему стандартному отклонению выборок.
Возможности процесса определяют способность процесса удовлетворять требованиям технического допуска, которая может быть оценена индексами (например, Ср и Cpk), учи- тывающими как настроенность, так и разброс при выполнении некоторых предположе- ний. При использовании ККУ по альтернативным данным возможности процесса опреде- ляют как среднюю долю или частоту несоответствий (либо несоответствующих единиц). Указанные индексы рассчитываются на основе оценки собственной изменчивости ста-
бильного процесса 6σˆ I .
Пригодность процесса оценивается путем соотнесения технического допуска с полным
размахом изменчивости процесса 6σˆТ .
Анализ зон - метод анализа контрольных карт Шухарта, использующий деление диапазо-
на между контрольными границами на три эквивалентных зоны выше и три таких же зоны ниже среднего значения процесса. Эти зоны называют «сиговыми» зонами, где сигма (σ) - стандартное отклонение распределения выборочных средних. Каждой зоне приписывают вероятность нахождения в ней точек ККУ в предположении нормального распределения.
Например, зоны, соседние со средним значением всех выборок, имеют вероятность нахо- ждения в них средних отдельных выборок, равную 0,3413; следующие зоны - по 0,136 и внешние зоны - по 0,02135. Областям за контрольными границами приписывают вероят- ность 0,00135. Для карт по альтернативному признаку вероятности рассчитывают на ос- нове либо биноминального распределения, либо распределения Пуассона. Простые пра- вила, которые можно определить для этого метода, могут быть использованы в системе раннего предупреждения слабых изменений процесса.
11
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Для понимания отличий методов SPC от SQC и корректного применения индикаторных
показателей процессов важным является представление о генеральной совокупности и ее отличиях от выборки.
Генеральная совокупность - все возможные значения (измерения, наблюдения), описы- вающие поведение исследуемого объекта или явления.
Выборка из генеральной совокупности - ограниченный набор реально наблюдаемых выборочных из генеральной совокупности значений, описывающих исследуемый объект или явление. Количество этих значений называется объемом выборки. Принципиальные отличия генеральной совокупности (и ее характеристик) от выборки представлены в табл.1.1.
Таблица 1.1
Принципиальные отличия параметров и характеристик выборки и генеральной совокупности
Параметры |
|
|
|
|
Выборка |
|
|
Генеральная |
|||||||||||
и характеристики |
|
|
|
|
|
|
совокупность |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Количественная ха- |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рактеристика |
|
|
= |
1 å Xi |
|
|
μ = lim |
X |
|
||||||||||
X |
|
||||||||||||||||||
(среднее) |
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дисперсия |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 = |
|
|
å(Xi − X )2 |
|
σ2 |
||||||||||||||
|
|
n − |
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассеяние (средне- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
квадратическое откло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ = σ2 |
||||||||
|
s = |
|
|
å(Xi − X ) |
|
|
|||||||||||||
нение) |
|
|
|
|
n −1i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Диапазон изменения |
|
R = X max − X min |
|
|
±3σ |
||||||||||||||
(размах) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из приведенных определений, статистическая стабильность процесса и состояние статистической управляемости показателей качества процесса взаимосвязаны. Национальные стандарты определяют стабильный процесс как статистически управляе- мый. Исходя из этого определения, суть статистического управления заключается в под-
держании изменчивости статистически стабильного процесса в рамках установленного допуска. Другими словами, под статистически управляемым процессом можно также по- нимать статистически стабильный процесс, изменчивость которого на определенную ве- личину меньше допуска.
12
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2.Основы теории вариабельности
Влюбой системе всегда действует множество факторов, и их совместное действие не позволяет процессам оставаться стабильными (устойчивыми) с неизменными парамет- рами. Как следствие, параметры продуктов отличаются. Теория вариабельности предпола- гает, что под действием множества различных факторов в процессе происходят постоян- ные изменения, что приводит к изменениям в его результатах или в параметрах создаваемого продукта. Под изменчивостью процесса понимают прежде всего неизбеж- ные различия между индивидуальными значениями результатов процесса, которые возни- кают вследствие огромного количества факторов, влияющих на качество процесса. Неко-
торые причины изменчивости процесса порождают кратковременные различия между единицами продукции, другие причины приводят к изменениям в продукте только через длительные интервалы времени.
2.1.Источники и причины вариабельности
Источниками вариабельности процесса являются люди, машины (оборудование), методы и технологии, материалы и производственная среда, в которой реализуется про- цесс (рис.2.1). Перечисленные источники вариабельности сокращенно могут быть обозна-
чены как 5М (men, machines, methods, materials, milieu ouvrier). Свою погрешность в оцен-
ку измеряемого параметра вносит способ измерения. Как следствие, найти два одинаковых изделия с абсолютно идентичными параметрами невозможно. Все причины изменчивости процесса делят на обычные и особые.
К обычным причинам относятся многочисленные источники изменчивости процесса, ре- зультат действия каждого из которых незначителен, которые имеют устойчивый во вре- мени характер действия. Обычные причины - это стабильная система случайных факторов (пример - источники, приведенные на рис.2.1). Если в системе присутствуют только обычные причины и они не изменяются, то результат процесса предсказуем, а сам процесс находится в статистически стабильном состоянии.
13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис.2.1. Составляющие и источники вариаций параметров
Особые причины изменчивости являются факторами, которые воздействуют на процесс нерегулярно. Если особые причины изменчивости процесса не идентифицирова- ны и не устранены, то они вли яют на выход процесса непредсказуемым образом. Приме- рами такого рода причин могут быть разладка станка, изменение качества комплектую- щих, вмешательство в систему, отклонения от технологического процесса и т.п. При наличии особых причин резул ьтат процесса нестабилен во времени (табл. 2.1).
В соответствии с концепцией У. Шухарта производственные процессы можно разделить на управляемые (стабильные), находящиеся под влиянием обычных причин вариаций, и неуправляемые (нестабильные, неустойчивые), на которые, кроме обычных, воздействуют особые причины вариаций. У. Э. Деминг уточнил данную классификацию, показав, что обычные (или случайные) при чины являются частью организационной си стемы, а особые (или неслучайные) носят внеси стемный характер. Это означает, что для устранения обыч- ных причин необходимо совершенствовать саму систему, т.е. составляющие ее компонен- ты (процессы) и связи между ними. Чтобы устранить особые причины и сделать процесс управляемым, стабильным, сле дует оградить его от факторов, действующ их «со сторо- ны». Как правило, последнее сделать легче, поскольку особые причины проявляются сильнее и чаще всего они связ аны с человеческим фактором.
На практике исключительно ва жно поддерживать все ключевые процессы предприятия в стабильном, статистически уп равляемом состоянии. Это обязательное условие воспроиз- водимости (повторяемости) результатов любого процесса. Никакое соверш енствование процесса невозможно без достижения состояния статистической управляемости.
14
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
Таблица 2.1 |
|
Причины вариаций и их характеристика |
|
|
|
|
Причины |
Характеристика причин |
Необходимые |
|
|
воздействия |
Обычные |
Относятся к многочисленным источ- |
Требуют воздействия на сис- |
(common) |
никам, действующим в системе. |
тему в целом. |
|
Влияние каждой из них |
Обычно необходимо управлен- |
|
незначительно. |
ческое решение для их устра- |
|
Имеют случайный характер. |
нения, однако могут быть |
|
Стабильны и воспроизводимы во |
идентифицированы в самом |
|
времени, действуют постоянно. |
процессе |
|
Определяют стабильный и предска- |
|
|
зуемый характер распределения ре- |
|
|
зультатов процесса. |
|
|
Связаны с 85% проблем в процессе |
|
Особые (special) |
Относятся к некоторым (даже к еди- |
Требуют локального воздейст- |
|
ничным) факторам, действующим в |
вия. |
|
процессе. |
Требуют вмешательства пер- |
|
Каждая особая причина оказывает |
сонала, непосредственно свя- |
|
существенное влияние на качество. |
занного с процессом, но в слу- |
|
Имеют неслучайный характер. |
чае неудачи может |
|
Нестабильны во времени, действуют |
потребоваться и управленче- |
|
непостоянно. |
ское воздействие |
|
Если не идентифицированы, дейст- |
|
|
вуют непредсказуемым образом. |
|
|
Приводят к непредсказуемому харак- |
|
|
теру распределения результатов про- |
|
|
цесса. |
|
|
Связаны с 15% проблем в процессе |
|
Основные различия между обычными и особыми причинами вариаций представле- ны в табл.2.2.
Собственная изменчивость процесса - изменчивость, вызываемая только обычными причинами; оценивается с помощью отношений R/d2 или s / c4 , где R - среднее арифмети- ческое значение выборочных размахов, полученных на стадии предварительного анализа процесса при измерении в подгруппах между двумя ближайшими наладками процесса; s - среднее арифметическое значение выборочных стандартных отклонений в подгруппах; d2 и c4 - стандартные коэффициенты, зависящие от объема выборки.
15
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Таблица 2.2
Основные различия между группами причин вариаций процесса
Группа |
Обозначение |
Диапазон |
С какими |
Что характе- |
Для расчета |
причин ва- |
|
вариаций |
причинами |
ризуют |
каких пока- |
риаций |
|
процесса |
связаны |
|
зателей ис- |
процесса |
|
|
|
|
пользуются |
Собственные |
σI |
±3σI |
С обычны- |
Возможности |
Cp, Cpk, CpU, |
|
|
|
ми |
процесса |
CpL, CR |
Полные |
σТ |
±3σТ |
С обычны- |
Пригодность |
Pp, Ppk, PpU, |
|
|
|
ми и осо- |
(или степень |
PpL, PR |
|
|
|
быми |
совершенства) |
|
|
|
|
|
процесса |
|
Полная изменчивость процесса - изменчивость, вызываемая как обычными, так и особыми причинами; оценивается с помощью выборочного стандартного отклонения, ис- пользующего все индивидуальные значения:
|
n |
|
|
2 |
|
|
(Xi − X ) |
||||||
σ = å |
|
|
||||
n −1 |
|
|
||||
|
i=1 |
. |
||||
|
|
|
||||
Непонимание того, с каким типом проблем владелец процесса имеет дело, является источником огромных потерь. При этом обычно наблюдаются два типа ошибок:
-ошибка первого рода - принятие обычных причин вариаций за особые; такая ошибка ве- дет к неоправданному вмешательству в процесс, интерпретируется как «излишнее управ- ление»;
-ошибка второго рода - принятие особых причин вариаций за обычные; интерпретируется как «беспечность».
Следует заметить, что любой процесс (стабильный и нестабильный) может быть охарак- теризован множеством показателей, тем или иным образом выявляемых в процессе. Раз- личают три группы показателей:
-показатели процесса, в том числе качественные и количественные (абсолютные и отно- сительные);
-показатели продукта процесса;
-показатели удовлетворенности потребителей процесса.
Количественные показатели первых двух групп могут служить основой для расче- тов показателей результативности процесса, индексов воспроизводимости, пригодности.
Выбор группы показателей (показателей качества) для управления процессом осу- ществляется индивидуально. При этом важно понимать, что для успешного решения задач управления процессами не существует одного единственного показателя, который бы ис- черпывающе характеризовал процесс. Однако большое число показателей, или неопти-
16
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
мальная система мониторинга процесса также создает проблемы в управлении процессом вследствие избыточности информации. Общие рекомендации могут быть сформулирова- ны исходя из понятия «уровня управляемости» (7±2), а также исходя из того, в каком со- стоянии процесс находится, какой уровень зрелости достигнут.
2.2. Распределение случайной переменной
Случайным образом изменяющаяся непрерывная переменная распределена по за- кону нормального распределения, называемому также законом Гаусса (или гауссовым распределением) в честь известного математика. В соответствии с этим законом нормаль- но распределенная случайная величина - это непрерывная случайная величина, плотность распределения которой имеет вид:
f (x) = |
|
1 |
|
é |
(x - m)2 ù |
|
||
|
|
|
|
expê- |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
2ps2 |
|
|||
|
|
2ps |
2 |
ê |
ú |
(2.1) |
||
|
|
|
ë |
|
û . |
|||
В выражение плотности f(x) входят два параметра: математическое ожидание μ и дисперсия σ2, которые являются предельными значениями оценок X и s2 для n→∞ (см.
табл.1.1).
Функция нормально распределенной величины имеет вид:
P(x < t) = F(t) = 1 |
òe− |
(x−μ)2 |
||
2σ2 |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2ps2 |
−∞ |
|
dx
. (2.2)
Выражение (2.2) определяет вероятность обнаружения x в диапазоне от –∞ до t.
|
|
|
x - m |
|
= u |
|
||
При подстановке приведенной величины |
|
s |
|
|||||
|
|
|
, т.е. величины с μ = 0 и σ = 1, функция |
|||||
(2.2) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z |
|
u2 |
|
|
P(u < z) = Ф(z) = |
|
|
òe− 2 du |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
2p −∞ |
, |
(2.3) |
||||
что соответствует вероятности u < z. График этой зависимости представлен на рис.2.2. Соответствующая дополнительная вероятность (рис.2.3) определяется как
R(z) = 1 – Ф(z), |
(2.4) |
поскольку вероятность обнаружения переменной z в диапазоне от –∞ до +∞ равна 1.
17
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис.2.2. Вид функции нор- |
Рис.2.3. Определение допол- |
мального распределения |
нительной вероятности на |
переменной |
кривой нормального |
|
распределения переменной |
Значения функции стандартного нормального распределения приведены в табл.П1.
Задача 2.1. Определите, какая доля генеральной совокуп- ности, подчиняющейся нормальному распределению, ле- жит в диапазо не от –1,5σ до 2,5σ. Проиллюстрируйте решение, отметив диапазон на кривой нормального рас- пределения.
Решение.
По данным та бл. П1:
За пределами –1,5σ располагается 0,0668,
в диапазоне от 1,5σ до μ |
0,5 - 0,0668. |
Обратите вним ание на единицы измерения параметра на оси абцисс рис .2.2 и 2.3, а также параметра t в табл.П1. Единицу изме рения отклонений в статистике принято на- зывать «сигмой».
за пределами 2 ,5σ - |
0,00621, |
в диапазоне от μ до 2,5σ |
0,5 - 0,00621. |
Таким образом , в диапазоне от –1,5σ до 2,5σ располагает-
ся
1 - 0,0668 - 0,00621 = 0,927.
Графическая интерпретация решения представлена на рис.2.4.
18
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис.2.4. Графическая интерпретация решения задачи 2.1
Кривая плотности нормального распределения имеет колоколообразную форму, которая полностью характеризуется двумя параметрами - математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ. Л юбое правильное нормальное распределени е симметрично. С каждой стороны от среднего значения располагается по 50% результатов измерений (или половина генеральной со вокупности). Если результаты измерений им еют нормальное распределение, то около 68,26 % всех индивидуальных значений лежат в пределах ±σ от среднего; около 95,44% - в пределах ±2σ и около 99,73% - в пределах ±3σ . Кроме того, с каждой стороны от среднего з начения за пределами ±σ оказывается примерно 16% значе- ний, за пределами ±2σ - 2,5%, а за пределами ±3σ - всего 0,1%. Таким образом, за преде- лами диапазона, определенного как диапазон устойчивого протекания процесса (±3σ), ре- комендованного У. Шухартом, существует один шанс из тысячи случайного обнаружения значения измеряемой величин ы, что означает весьма маловероятное собы ие (рис.2.5). Знание распределения перемен ной позволяет также оценить долю бракованных изделий.
Задача 2.2. Тех ническим заданием на кремниевые пластин ы определены верхняя и нижняя границы основного параметр а изделия - толщи ны. Толщина пластины должна быть 520 - 510 мкм, при этом не более 2% пластин должны иметь тол- щину не ниже указанного уровня LSL и не более 8% - выше USL. Определит е статистические параметры распределения такого процесса.
Решение.
2% соответствует (1 – р = 0,02) 2,054σ ≈ 2σ, 8% соответствует (1 – р = 0,08) 1,405σ ≈ 1,4σ.
ì520 = m +1,4s;
íî 510 = m - 2s.
Откуда μ ≈ 515,9 и σ ≈ 2,9.
Графическая интерпретация решения представлена на рис.2.6.
19
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис.2.5. Особенности |
Рис.2.6. Графическая |
стандартного нормального |
интерпретация решения |
распределения |
задачи 2.2 |
Собирая данные на выходе из процесса, например, результаты измерения парамет- ров готовых изделий (продукт ов данного процесса), можно построить фактическое рас- пределение измеренной велич ины.
Данные о распределении характеристики продукта являются основ ой для:
-определения контрольных границ (поскольку выборочные средние подгрупп имеют тен- денцию к нормальному распределению, даже если исходные данные не подчиняются нор- мальному распределению);
-принятия решений о возможн остях процесса (поскольку результаты мно гих процессов производства соответствуют нормальному распределению).
Действие причин вариа бельности, или изменения в процессе приводят к измене- нию значений μ и σ, т.е. к изменению распределения, либо к смещению распределения от- носительно установленного центрального значения, либо к изменению размаха характери- стики. Возможные ситуации п редставлены на рис.2.7. Среди приведенных ситуаций случай на рис.2.7,а - наиболее простой, но и наиболее распространенный. Наиболее слож- ная ситуация показана на рис.2 .7,в, где происходят одновременные изменения и μ, и σ.
Отклонения распределения от нормального закона находят отражен ие в ККУ в ви- де особых точек, называемых сигнальными признаками. Например, выход значения за предельно допустимые границы показан на рис.2.8. В этом смысле контрольные карты - важный инструмент идентификации особых причин изменчивости процессов.
20
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com