Osetinskiy_N.I._Matemat._teoriya_sistem_upravleniya._Ch._2
.pdfфедеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Российский государственный университет нефти и газа (национальный исследовательский университет) имени И.М. Губкина»
Кафедра прикладной математики и компьютерного моделирования
Осетинский Н.И.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ. МЕТОДЫ ИНВАРИАНТНОГО АНАЛИЗА В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. ЧАСТЬ II
учебное пособие для бакалавров и магистрантов, специальностей 01.03.04 и 01.04.04 Прикладная математика аспирантов специальности 05.13.18 “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ”.
Москва, РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2018
УДК 512
ББК 22.14 О-72
Р е ц е н з е н т ы :
кандидат физико-математических наук, профессор С.Ю. Жолков
Осетинский, Н.И. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ. МЕТОДЫ ИНВАРИАНТНОГО АНАЛИЗА В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. ЧАСТЬ II [Электронный ресурс]: учебное пособие / Н.И. Осетинский. – М.: РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2018. – 0,64 Мб – Электрон.дан. - 1 электрон.опт.диск (CD-ROM); 12 см. – Систем.требования: компьютер IBM-PC совместимый; монитор, видеокарта, поддерживающ. разреш.1024x768; привод CD-ROM; программа для чтения pdf-файлов. – Загл.с этикетки диска.
В учебном пособии представлены основные направления развития современной теории управления линейными динамическими системами. Достаточно подробно освещены работы зарубежных авторов, доступные только в иностранной периодике. Пособие предназначено для использования в дисциплинах “Теория управления”, “Математическое моделирование”, “Современные проблемы прикладной математики”, “Математическая теория систем”, “Методы математического моделирования”, “Общая теория динамических систем”, входящих в учебные планы бакалавров и магистров специальностей 01.03.04 и 01.04.04 “Прикладная математика”.
Кроме того, пособие может быть так же использовано в дисциплинах, читаемых аспирантам специальности 05.13.18 “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ”.
Минимальные системные требования:
Тип компьютера, процессор, частота: IBM-PC совместимый
Видеосистема: монитор, видеокарта, поддерживающая разрешение1024x768 Дополнительное оборудование: привод CD-ROM
Дополнительное программное обеспечение: программа для чтения pdf-файлов.
©РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина,
2018
©Н.И. Осетинский, 2018
Содержание
Предисловие |
4 |
1 Достижимость и обратная связь |
4 |
1.1Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2Задача о размещении полюсов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3Группа обратной связи по состоянию и показатели управляемости линейной системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4Расслоение Хермана Мартина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2Проблема размещения полюсов при помощи обратной связи по
выходу |
12 |
2.1Задача синтеза, введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2Статическая задача синтеза в случае min(m; p) = 1. . . . . . . . . . . . 15
2.3Замечания о синтезе динамической обратной связи. . . . . . . . . . . . 15
2.4Комбинаторно-геометрические методы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5Методы аффинной алгебраической геометрии в задаче синтеза. . . . . 21
2.6Проективные методы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7Топологические методы и стабилизируемость. . . . . . . . . . . . . . . . 28
Список литературы |
31 |
Предисловие
Данное учебное пособие является продолжением учебного пособия Осетинский Н.И. Математическая теория систем. Методы инвариантного анализа в теории управления. Часть I . В нем рассматриваются математические проблемы управления линейной динамической системой при помощи обратной связи по состоянию и при помощи обратной связи по выходу. Математическая теория управления системой при помощи обратной связи по состоянии является в настоящее время практически завершенным разделом теории систем. Теория управления системой при помощи обратной связи по выходу продолжает интенсивно развиваться. В ней имеются и уже полученные интересные результаты, и большое число задач, требующих своего решения и могущих служить темой научных исследований. Для обеих частей пособия список литературы является общим и представлен в каждой части.
1Достижимость и обратная связь
1.1Введение.
Рассмотрим систему (1.1) без выхода x(t) = Ax(t) + Bu(t), ãäå t > 0. Предположим, что входное воздействие системы изменяется согласно соотношению
u(t) = F x(t) + v(t); t > 0; |
(5:1) |
ãäå v(t) некоторое новое входное воздействие, а F |
: X ! U произвольное |
линейное отображение, которое называется обратной |
связью по состоянию. Â |
результате введения обратной связи система (A; B) заменяется на систему (A + |
|
BF; B). Одна из классических задач теории управления выяснение результатов |
этого изменения с |
точки |
зрения свойства достижимости новой системы и |
||
возможности получения подходящего спектра отображения A + BF . |
достижима , |
|||
Оказывается, что |
(A + BF j B) = (Aj B). В частности, |
(A; B) |
||
для любой обратной |
связи |
по состоянию F достижима |
система |
(A + BF; B), |
см., например, [118], [124]. Это утверждение вытекает, например, из свойства инвариантности показателей управляемости системы относительно действия группы обратной связи. Следующий результат, принадлежащий М. Хейманну, позволяет в некоторых задачах заменять систему с несколькими входами на систему с одним входом [73], [124].
Теорема 1.1. Пусть (A; B) 2 rn;m(K) и b 2 B, где b 6= 0. Тогда существует такая обратная связь F : X ! U, что система (A + BF; b) 2 rn;1(K).
Интересное доказательство некоторой модификации этого утверждения принадлежит К. Бирнсу, см. разд. 6 данного пособия.
1.2Задача о размещении полюсов.
Далее будем рассматривать системы, определенные над R (èëè íàä C). В прикладных задачах обратную связь по состоянию вводят для того, чтобы изменить динамику поведения свободной системы (без управления) x = Ax некоторым желательным
образом например, обеспечить устойчивость получающейся системы или повысить ее быстродействие. Многие подобные критерии качества можно выразить в виде
условий, накладываемых на спектр Spec(A + BF ) скорректированной системы, описываемой матрицей A + BF . Так условие maxfRe : 2 Spec(A + BF )g <
4
0 соответствует условию устойчивости, а для подходящим образом выбранных параметров > 0 è 0 неравенства
maxfRe : 2 Spec(A + BF )g ; maxfjIm j : 2 Spec(A + BF )g
соответствуют условиям достаточного быстродействия при ограниченной частоте собственных колебаний системы. Оказывается, что введение обратной связи может
обеспечить выполнение любых подобных условий, если только пара (A; B) является достижимой. Следующий результат был получен М. Уонэмом [124].
Теорема 1.2. Пара (A; B) является достижимой , для любого симметрического множества из n комплексных чисел существует такая обратная связь, что
Spec(A + BF ) = .
Теорема, аналогичная 1.2 для комплексных матриц A; B è F и произвольного
множества , была доказана К. Лангенхопом [89], и В. Поповым [101].
В прикладных задачах иногда приходится различать "удовлетворительные"в некотором смысле, (скажем, устойчивые) и "неудовлетворительные"собственные числа. С этой целью разобьем всю комплексную плоскость на два подмножества
C = Cg [ Cb; Cg \ Cb = ;: |
(5:2) |
Выберем множество Cg так, чтобы
|
(5:3) |
Cg = Cg; Cg \ R 6= ;; |
т.е. чтобы из s 2 Cg следовало бы, что s 2 Cg, и чтобы Cg принадлежала хоть одна вещественная точка. Разбиение (5.2), обладающее свойствами (5.3), называется симметрическим [124]. Пусть ( ) минимальный полином отображения A.
Рассмотрим разложение ( ) = g( ) b( ), где все принадлежащие C нули полиномаg (соответственно b) принадлежат Cg (соответственно Cb). Но так как полиномыg è b взаимно просты, то X = Xg(A) Xb(A), ãäå Xg(A) := ker g(A) è Xb(A) := ker b(A).
Подпространства Xg(A) è Xb(A) можно рассматривать соответственно как подпространства удовлетворительных и неудовлетворительных режимов отображения A. Критерий, сформулированный ниже [124], утверждает, что неудовлетворительные
собственные числа отображения A можно с помощью подходящей обратной связи по состояниям преобразовать в удовлетворительные , все неудовлетворительные режимы отображения A являются управляемыми.
Теорема 1.3. Пусть C = Cg [ Cb симметрическое разбиение комплексной плоскости. В этом случае обратная связь F : X ! U, такая, что Spec(A + BF )
Cg, существует , Xb(A) (Aj B).
Введем на комплексной плоскости области устойчивости и неустойчивости
|
C := fs : Re s < 0g; C+ := fs : Re s 0g: |
(5:4) |
||||||
Система (A; B) называется стабилизируемой, если существует такая обратная |
||||||||
связь F : X |
! |
U, ÷òî |
Spec(A + BF ) |
|
C . Пусть |
минимальный |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
полином отображения A è = + |
|
разложение, в котором все комплексные |
||||||
|
|
|
|
|
||||
нули полинома (соответственно +) принадлежат C (соответственно C+). |
||||||||
Подпространство |
ker +(A) |
X может рассматриваться как |
подпространство |
"неустойчивых режимов"отображения A и из теоремы 5.3 вытекает следующий важный частный случай, который был доказан М. Уонэмом [124].
5
Теорема 1.4. Система (A; B) является стабилизируемой , ker +(A) (Aj B).
Можно поставить вопросы о размещении полюсов и синтезе коэффициентов характеристического многочлена матрицы переходов для случая систем, определенных над кольцами. Эта тематика имеет приложение в проблемах синтеза для семейств
систем, зависящих от параметров. Пусть R кольцо и система = (A; B) определена над R, ò.å. A 2 Rn n; B 2 Rn m; (A) = det(sEn A) характеристический полином системы . Говорят, что для разрешима задача
синтеза при помощи обратной связи по состоянию , åñëè |
для любого набора |
a1; : : : ; an 2 R существует гомоморфизм обратной связи L |
2 Rm n такой, что |
(A + BL) = sn + a1sn 1 + : : : + an. Несколько более слабой является задача о размещении полюсов, которая формулируется так: требуется для любого набора b1; : : : ; bn 2 R найти такую обратную связь L, чтобы (A + BL) = (s b1) : : : (s bn). Справедливы утверждения, доказанные в [60]:
Теорема 1.5. Если m = 1, то проблема синтеза для системы над R эквивалентна ее достижимости; это означает, что R(A; B) определяет сюръективный гомоморфизм Rr ! Rn, ãäå r = m(n + 1).
Теорема 1.6. Если для системы над R задача размещения полюсов разрешима, то будет достижимой.
Неизвестно, следует ли в общем случае из достижимости системы разрешимость задачи о размещении полюсов. Однако Э. Зонтаг доказал [115], что для колец с конечным числом максимальных идеалов достижимость влечет разрешимость
задачи синтеза. В случае конечности самого кольца R этот факт находит интересные приложения в теории конечных последовательностных машин [13]. Как установил А. Морз [97], для кольца полиномов от одного переменного над полем R = K[z]
теорема, обратная к 5.6, справедлива. Это верно и в более общей ситуации кольца главных идеалов. Имеются, однако, простые примеры, демонстрирующие, что даже,
когда R = K[z], из свойства достижимости еще не вытекает разрешимость задачи синтеза. Отметим, что для m = 1 и неуправляемой системы Б. Уимен [127]
описал препятствие к этому в терминах некоторой группы Ext. Следующая теорема
принадлежит К. Бирнсу [32], ее простое доказательство, использующее показатели управляемости линейной системы над кольцом и каноническую форму Бруновского, дал М. Хазевинкель [60]. Хотя показатели управляемости вводятся только в разд. 5.3, ее формулировку уместно рассмотреть здесь.
Теорема 1.7. Пусть (z) полиномиальное семейство достижимых систем над полем K, параметризованное переменными z = (z1; : : : ; zr) или эквивалентно(z) достижимая система над K[z1; : : : ; zr]. Предположим, что показатели управляемости семейства (z) постоянны как функции от z для всех значений
z 2 |
|
r, ãäå |
(K) |
K алгебраическое замыкание поля K. Тогда для (z) задача синтеза |
разрешима.
Исследования в этом направлении излагаются в работах [32], [60], [115], и др.
1.3Группа обратной связи по состоянию и показатели управляемости линейной системы.
"Самая большая"группа линейных преобразований систем из n;m(K) появляется при одновременных заменах координат состояний и входов системы, а также при
6
действии обратной связи. Это приводит к следующим преобразованиям пары (A; B)
(A; B) 7!(T AT 1; T B); T 2 GLn(K); |
|
||
(A; B) |
7!(A; BS 1); |
S 2 GLm(K); |
(5:5) |
(A; B) |
7!(A + BL; B); |
L 2 Km n: |
|
Таким образом, группа обратной связи по состоянию F (n; m) есть подгруппа в GLn+m(K). Ее элементами являются матрицы вида
T 0 |
; T 2 GLn(K); S 2 GLm(K); L 2 Km n: |
L S |
Группа F (n; m) действует на пространство n;m(K) по формуле
(A; B) 7!(T AT 1 + T BL; T BS 1); |
(5:6) |
и возникают естественные вопросы об инвариантах этого действия и о канонических формах, то есть о классификации F (n; m)-орбит. Ответы на них впервые получены П. Бруновским [30]:
Имеется взаимно однозначное соответствие между F (n; m)-
орбитами систем из rn;m(K) и разбиениями числа n на m слагаемых: n = k1 +
: : : + km; k1 : : : km 0. В каждой F (n; m)-орбите содержится в точности одна система (Ac; Bc), называемая канонической формой Бруновского:
0 |
J |
0 |
0 |
: : : 0 |
1 |
|
0k1 |
Jk2 0 |
: : : 0 |
|
|||
Ac = B |
0 |
0 |
Jk3 |
:.:.: 0 |
C |
; |
B . |
. . |
. . |
C |
|
||
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
0 |
0 |
0 |
: : : Jkr |
C |
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
: : : |
0 |
0 |
1 |
: : : |
|
Jr = B . . . ... |
||||
B |
0 |
0 |
0 |
: : : |
B |
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
: : : |
@ |
|
|
|
|
01
0C
C
. C;
C
1 A
0
Bc = |
0 0 k1 |
Bk2 |
0 |
: : : 0 |
|
0 : : : |
0 1 |
; |
|||||
|
|
B |
0 |
0 |
: : : 0 |
|
0 |
: : : |
0 |
|
|
||
|
|
. . . |
.. |
. . |
|
.. |
. . |
|
|
||||
|
B |
|
. |
|
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B |
0 |
0 |
0 |
: : : Bkr |
|
0 |
: : : |
0 |
C |
|
||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
ãäå r = rank B è Jki åñòü ki ki-матрица, а Bk есть k-мерный вектор-столбец, в котором отлична от нуля только последняя координата (см. также [118], [124]).
Последовательности (k1; : : : ; kr) называются показателями управляемости (или наборами Кронекера) системы (A; B) и обозначаются через K(A; B). Очевидно,
они тесно связаны с индексами Кронекера линейной системы, которые подробно рассматривались в разд.4.
Пусть (A; B) 2 rn;m(K). Тогда показатели управляемости системы (A; B) можно определить при помощи следующей процедуры. Рассмотрим множество пар (i; j)
индексов из I(n; m), упорядоченное лексикографически, и определим I(A; B) I(n; m) условием:
(i; j) 2 I(A; B) , Aibj не является линейной комбинацией всех векторов
Arbs; (r; s) < (i; j):
Очевидно, в I(A; B) входят ровно n элементов (i; j). Из этого определения следует, что множество двойных индексов I(A; B) будет тонким набором: (i; j) 2 I(A; B) ,
7
(i 1; j) 2 I(A; B), см. п.3.4. Кроме того, для любой системы (A; B) 2 rn;m(K) è T 2 GLn(K) : I(A; B) = I(T AT 1; T B), и для любой обратной связи
L 2 Km n : I(A; B) = I(A + BL; B). |
|
|
|
|||
Пусть теперь для каждого j = |
1; : : : ; m символ kj(A; B) или кратко kj, |
|||||
если ясно о какой системе идет речь, есть число элементов |
(i; s) 2 I(A; B), |
|||||
таких, что s |
= |
j. Упорядочим |
эти числа по убыванию, отбросив нули: |
|||
k1(A; B) : : : |
kr(A; B); |
r = |
rank B. Тогда |
числа kj(A; B) и называются |
||
показателями |
управляемости |
системы (A; B) è |
K(A; B) := |
(k1; : : : ; kr), îíè |
||
инвариантны |
относительно всех преобразований группы F (n; m). Представляют |
интерес следующие результаты о показателях управляемости (см. также [124]). Предположим, что 1 m n; n = km + r, ãäå 0 r < m. Тогда для всех точек
некоторого открытого в топологии Зарисского подмножества пространства n;m(K)
|
k; |
r + 1 i m: |
ki = |
k + 1; 1 i r |
Например, если (n; m) = (5; 2), то показатели управляемости для общей системы (A; B) èç 5;2(K) = K35 будут (k1; k2) = (3; 2). Åñëè æå n = 8; m = 3, то среди возможных показателей для матрицы B ранга 3 (это уже общий случай) имеются наборы: (3; 3; 2); (4; 2; 2); (4; 3; 1); (5; 2; 1); (6; 1; 1). И общим будет набор (3; 3; 2).
Теорема 1.9. Пусть (A; B) 2 rn;m(K); rank B = m è K(A; B) = (k1; : : : ; km). Тогда
возможные размерности ненулевых подпространств управляемости пары |
(A; B) |
|||||||||||
представлены в следующем списке: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
km; |
|
km 1 + 1; : : : ; km 1 + km; |
|
|
||||||||
km 1; |
|
|
||||||||||
km |
|
2; |
km |
|
2 + 1; : : : ; km |
|
2 |
+ km |
|
1 + km; |
(a) |
|
|
|
|
|
... . |
|
|
|
|
||||
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1; |
|
k1 + 1; |
: : : ; k1 + k2 + : : : + km: |
|
Для того, чтобы имелось всего одно подпространство управляемости ненулевой размерности r, достаточно, чтобы r = n, или чтобы для некоторого j (1 j
m 1)
kj > r = kj+1 + kj+2 + : : : + km: |
(b) |
Если же r 6= n и условие (b) не имеет места, но r принадлежит списку (a),
то существует несчетное множество различных подпространств управляемости размерности r.
Например, если K(A; B) = (5; 2; 1), то подпространство управляемости ненулевой размерности r существует , 1 r 8; r 6= 4. Эти подпространства управляемости единственны, если = 1; 3; 8. Они принадлежат некоторому несчетному множеству
подпространств, если r = 2; 5; 6; 7.
В работе [51] доказан следующий критерий принадлежности пары систем одной F (n; m)-орбите.
Теорема 1.10. Пусть (A1; B1); (A2; B2) 2 n;m(K). Тогда следующие условия эквивалентны:
(1)(A1; B1) è (A2; B2) принадлежат одной F (n; m)-орбите;
(2)для некоторой матрицы F1 2 Km n существует матрица F2 2 Km n, такая,
что n n-матрицы A1 + B1F1 è A2 + B2F2 подобны и наоборот.
8
Отображение n;m(K) ! fKg; (A; B) 7!K(A; B) оказывается непрерывным,
если на множестве показателей управляемости ввести топологию, согласованную с частичным упорядочением:
K K0 , k1 k10 ; k1 + k2 k10 + k20 ; : : : ; k1 + : : : + km k10 + + km0 :
Интересные результаты в этом направлении и их связь с некоторыми задачами других разделов математики обсуждаются в статье [63].
Åñëè (A; B; C) 2 n;m;p(K), то по определению K(A; B; C) = K(A; B). Отметим, что K(A; B) можно ввести, исходя из индексов Кронекера сингулярного пучка
матриц (sEn A; B) [6], [82]. Впервые понятие показателей управляемости ввел
П. Бруновски [30], затем их рассматривали М. Уонэм и А. Морз [125]. Наше изложение основывается на статьях Р. Калмана [246], Г. Розенброка [107] и
М. Хазевинкеля [57], [60]. К построению K(A; B) можно подойти иначе, исходя
из взаимно простого разложения передаточной матрицы системы в произведение полиномиальных и используя расслоение Хермана Мартина [72]. Для линейной
системы (A; B; C) 2 n;m;p(K) определим ее показатели наблюдаемости как показатели управляемости пары (At; Ct). Ясно, что они также будут инвариантами
соответствующих преобразований.
1.4Расслоение Хермана Мартина.
В работе [72] предложена красивая конструкция, сопоставляющая линейной системе векторное расслоение над проективной прямой и позволяющая переопределить многие инварианты системы в терминах характеристик этого расслоения. Дальнейшее изложение в данном разделе следует [72].
Пусть T (s) |
2 Cp m(s) собственная матрица, в частности T (s) ! 0 ïðè |
s ! 1. Ïî |
теореме 2.6 имеется разложение T (s) = N(s)D(s) 1, ãäå N(s) 2 |
Cp m[s]; D(s) |
2 Cm m[s] и для некоторых матриц X(s) 2 Cm p[s]; Y (s) 2 Cm m[s] |
справедливо тождество X(s)N(s) + Y (s)D(S) = En. Причем матрицы N(s) è D(s) определены однозначно с точностью до унимодулярных множителей из Cm m[s]. Âñå
это позволяет ввести некоторое регулярное отображение из проективной прямой P1(C) в грассманиан, т.е. их морфизм как алгебраических многообразий. Прежде
всего, для каждого s 2 C, не являющегося полюсом для матричной функции T (s), рассмотрим подпространство
T (s) := f(T (s)u; u) j u 2 Cmg Cp+m:
ßñíî, ÷òî T (s) можно доопределить на всю прямую C1, положив
T (s) := f(N(s)u; D(s)u) j u 2 Cmg Cp+m:
Очевидно, что в обоих случаях получается одно и то же подпространство размерности m, åñëè N(s) 6= 0 èëè D(s) 6= 0. Но в силу представления
X(s)N(s) + Y (s)D(S) = Em равенства N(s) = 0 è D(s) = 0 не могут выполняться одновременно. То есть для всех s 2 C1 образ T (s) это подпространство в Cp+m размерности m. Кроме того, построенное соответствие задает морфизм T (s) : C1 ! Gm(Cp+m) алгебраических многообразий, так как плюккеровы координаты
подпространства T (s) будут, очевидно, полиномиальными функциями от s. Òàê
как любое рациональное отображение гладкой кривой в проективное пространство можно продолжить до морфизма алгебраических многообразий [14], то в данной
ситуации получаем морфизм T (s) : P1(C) ! Gm(Cp+m) проективной прямой в грассманиан. Его образом будет некоторая рациональная кривая T (P1(C)).
9
Первое важное наблюдение состоит в том, что если T (s) è T 0(s) передаточные функции систем (A; B; C) è (A0; B0; C0), принадлежащих одной орбите группы обратной связи, т.е.
|
A0 |
= T (A BRF SC)T 1; B0 = T BR 1; C0 = SCT 1; ãäå |
|
T 2 GLn(C); R 2 GLm(C); S 2 GLp(C); F 2 Cm p; |
|
òî |
существует индуцированное линейное действие на грассманиан Gm(Cp+m), |
|
переводящее |
кривую T (P1(C)) в кривую T 0 (P1(C)). Оказывается также, |
|
÷òî |
степень Макмиллана передаточной матрицы T (s), т.е. размерность |
|
åå |
минимальной реализации совпадает с индексом пересечения T (P1(C)) è |
некоторого подмногообразия в Gm(Cp+m). Остановимся на этом подробнее. Пустьобозначает плюккерово вложение Gm(Cp+m) в проективное пространство P( m(Cp+m)), ãäå m(U) обозначает пространство элементов степени m во внешней
алгебре пространства U. Определим некоторую гиперплоскость N â P( m(Cp+m)).
Предположим, что !1; : : : ; !m линейные функции на Cp+m. Они определяют линейное отображение m(Cp+m) ! C1 при помощи соотношения
(!1 : : : !m)(v1 : : : vm) = det |
0 !1(.v1) :.:..: |
!1(.vm) |
1 |
; |
|
@ !m(v1) : : : |
!m(vm) A |
|
так как оно кососимметрично по векторам v1; : : : ; vm. Ядро этой линейной функции задает гиперплоскость N â P( m(Cp+m)).
Рассмотрим разложение Cp+m = Cp Cm в прямую сумму и определим линейные формы !1; : : : ; !m 2 (Cp+m) êàê !i(y; u) = ui; 1 i m; u = (u1; : : : ; um). Òî åñòü !i(y; u) åñòü i-àÿ координата вектора u. Легко проверить, что верно равенство
(!1 : : : !m) T (s) = det D(s). В частности, T (s) пересекает гиперплоскость N |
|
, |
||||||||||||||||
det D(s) = |
0. Следующий факт является ключевым. Индекс пересечения кривой |
|||||||||||||||||
T (P1(C)) и гиперплоскости N равен степени многочлена |
det D(s). Но поскольку |
|||||||||||||||||
степень det D(s) |
равна размерности минимальной реализации функции T (s), òî |
|||||||||||||||||
справедлива |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема |
1.11. Пусть |
(A; B; C) |
2 |
c |
( |
C |
); T (s) = |
C(sE |
n |
|
A) 1B; |
T |
: |
|||||
1 |
(C) ! Gm(C |
p+m |
|
|
n;m;p |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
P |
|
|
)) отображение, |
|
|
|
|
|
|
|
индекс |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
которое определенно выше и |
|
|
|
пересечения гиперплоскости N и кривой T (P (C)). Тогда = n, т.е. есть степень Макмиллана передаточной функции T (s).
Изложим конструкцию одного векторного расслоения над P1(C), которое естественным способом получается из передаточной функции T (s). Отметим, что векторные расслоения над проективной прямой P1(C) хорошо известны [87]: для любого целого числа k существует единственное с точностью до изоморфизма линейное расслоение O(k) íàä P1(C), и любое векторное расслоение над P1(C) изоморфно прямой сумме таких расслоений. Для описания O(k) воспользуемся открытым покрытием
U0 := f( ; ) 2 P1(C) j 6= 0g; U1 := f( ; ) 2 P1(C) j 6= 0g;
и рассмотрим тривиальные расслоения C U0 è C U1:
(t; ( ; ))0 C U0 ! O(k) |
C U1 (t; ( ; ))1 |
|||
# |
# p0 |
# p |
# p1 |
# |
( ; ) |
U0 |
! P1(C) |
U1 |
( ; ) |
10