Kalinin_V.V._Matematika_-__uchit_-_ne_uchit
.pdfстейшей моделью для описания такого движения является дви
жение вязкой капли в тонком капилляре, заполненном водной
средой. При наложении градиента давления капля, как впрочем и
окружающая ее жидкость, начинает перемещаться. Математи
ческие расчеты позволили устаноnить зависимость скорости дви
жения от физика-химических, гидродинамических и геометричес
ких характеристик системы:
др= 20 [4caL+(JI-l)Z +2,21·(3Са)
аа
Здесь
др = Р-- Р+ -перепад давления на конgах капилляра;
U - |
скорость движения капли; |
~tP ~2 |
-вязкость воды и нефти соответственно /1=~/~ 1; |
cr - |
поверхностное натяжение; |
а - радиус капилляра;
L - длина капилляра; l -длина капли.
Первое слагаемое в квадратных скобках описывает обыч
ное движение :;.кидкости по цилиндрическому капилляру (в гид
родинамике оно называется течен.ие.м Пуазейля), а второе слага
емое обусловлено поверхностными эффектами. Численные оцен
ки показьшают, что при медленных движениях капли, характер
ных для прочессов извлечения углеводородов, роль поверхност
ных эффектов оказывается весьма значительной, и пренебреrать
ею, как это было принято в ранних классических исследованиях,
нельзя.
Математикавеликая и сложная наука, с ее помощью мож но решить множество разнообразных проблем, поставляемых нам окружающей действительностью. Вспомним еще раз фразу <<Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаётся пользоваться математикой)>. И действительно, без этой науки вряд ли человечество продвинулось бы так далеко в познании за
конов, по которым устроена природа. Вместе с тем математика (и математики) часто занимается весьма абстрактными задачами,
10
не учитывать возможности, которые предоставляет компьютер,
и не научить студента пользоваться этими возможностями в про
водимых теоретических расчетах в наше время просто недопус
тимо.
Известно множество программ, которые позволяют про
водить математические исследования не только в численном виде
(это можно было делать еще сотню лет назад на арифмометрах
только долго!), а в символьной, аналитической форме. Один из луч
ших образgов такого рода - система Mathematica, созданная С.
Вольфрамом лет пятнадgать назад. Удивительно, как эта програм
ма, умещавшаяся вначале на двух дискетах, могла выполнять вы
числения, потребовавшие бы у квалифиgированного спеgиалис
та-математика часы и даже дни кропотливого труда. И матема
тик при этом наверняка бы где-нибудь ошибся в расчетах.
Какие же возможности предоставляют компьютерные под
ходы в математике? Начнем с простого примера из школьного
курса, связанного с решением систем линейных алгебраических
уравнений. Пусть дана система
Zx-y=-1
{х+ у=10
Любой школьник быстро найдет решение: {х=3, у=7}. Одна
ко таких примеров в жизни, как правило, не возникает. Скажем,
решить систему
123456789x+98765432ly=987654330
{ 135792468х+975318642у=864297540
так легко уже не удастся. И калькулятор не поможетон просто
не справится с умножением чисел, имеющих такое количество
значащих gифр. А nот система Mathematica справляется за секун
ды. Достаточно ввести исходные числовые значения
14
А=(123456789 |
987654321)· |
d=( 987654330 |
)· v=(ух) |
135792468 |
975318642 ' |
864297540 |
' |
и выполнить команду
Solve[A.v==d, {х,у}].
Тут же компьютер даст отnет:
Out[2] := {{х4- 8,у42}}.
(Кто бы мог подумать, что таю1я громоздкая система уравнений
имеет такое простое р~шение!)
Следующая задача еще более сложная. Известно, что сво бодные колебания стержней или струн описываются так называ
емым во.л.но8ьt.М уравнением:.
(Здесь и(х,t) - отклонение струны от положения равнове
сия, как функчия времени t, и координаты х.)
К волновому уравнению должны быть добавлены гранич ные и начальные условия. Если постоянная а= 1, длина струны
равна 2, а ее кончы закреплены (вспомним, например, струны на гитаре), то граничные условия имеют nид и (0, t) =и (2,t) =О.
Будем считать, что в начальный момент струна отклонена
от равновесного положения так, что
u(x,O) =О,
ди(х,О)={0, |
х ji!;(Z/3, 4/3) |
|
дt |
1, |
2/3<х<4/3' |
15
Математики (в том числе студенты старших курсов) легко
могут решить такую задачу и получить ответ в виде ряда
nn2nn) . nnt . nnx
~4( cosз-cos-3- sштsшz-
uxt=z( ) .-
' |
n=l |
n 2 n 2 |
Однако наглядно представить этот результат практически
невозможно. Ведь для этого надо изобразить сумму ряда с беско
нечным числом членов, зависящих от двух переменных - х и t.
Невозможно даже изобразить сумму нескольких членов такого
ряда. Так что математикам (и инженерам) оставалось только лю боваться красотой полученного решения, не имея возможности провести его детальный анализ.
Система Mathematica может не только решить задачу, но и изобразить форму струны либо в заданный момент времени, либо
в виде анимаgии, охватывающей произвольный интервал време ни. Не имея возможности показать в рукописном варианте лек чии анимираванную картину, ограничимся графическим изобра жением формы струны.
|
|
-t=0,5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
- t=1 |
|
|
|
t = 1,5 |
-t=1,5 |
|
|
0,4 |
- t=3 |
|
||
|
|
|||
0,3 |
|
|
||
|
- t=4 |
|
||
0,2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
-0,1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
-0,2 |
|
|
|
|
-0,3 |
|
|
|
|
|
Форма струны в различные моменты времени t |
16
Еще более интересная задача связана с колебаниями прямо
угольной мембраны. Такие колебания описываются уравнением
Если мембрана натянута на прямоугольную область
О<х<4, О<у<1 и закреплена по своему периметру:
и/х=О =и/х=4 =О,
ujy=o = ujy=1 =О,
а в начальном состоянии ее отклонение от положения равнове
сия задается условиями
u\t=O = ху(1- у)(4- х),
ди
дt t=O =0'
то решение такой задачи записывается в виде двойного ряда
00 |
00 |
|
|
1 |
1 |
|
|
u(x,y,t) 1 |
~ Amn cos(kt)sin1t:tsin(1tny), |
||
|
|
|
|
Amп=f6 х(4- х) sin 1t7x dx · JбуС1- у) sinnny dx.
17